17 Совместные измерения

Целью совместных измерений является установление функциональной зависимости между величинами (установление сопротивления проводника от температуры).

Для определения зависимости между переменными и необходимо последовательно устанавливая и измеряя значения , одновременно измерять величину , получая координаты исследуемой зависимости . Так как результаты измерения величин и содержат погрешности, то полученные координаты не будут принадлежать истинной зависимости. Исключив систематические погрешности, можно уточнить координаты, но они отклоняются от истинной зависимости из-за наличия случайных погрешностей. Поэтому при выполнении совместных измерений возникает задача аппроксимации зависимости по экспериментальным данным так, чтобы она наилучшим образом описывала истинную зависимость. При этом необходимо оценить точность аппроксимирующей функции.

Решение этой задачи осуществляется на основе применения метода наименьших квадратов. В этом методе координаты зависимости определяются из условия, что сумма квадратов отклонений расчетных значений аппроксимирующей функции от экспериментальных значений должна быть минимальной.

При использовании метода наименьших квадратов считается, что результаты измерений удовлетворяют следующим условиям;

- значения аргументов известны точно;

- систематические погрешности измерений исключены, а случайные погрешности независимы и имеют одинаковые дисперсии;

- погрешности измерения имеют нормальное распределение.

При этих условиях метод наименьших квадратов дает несмещенные оценки параметров зависимости, имеющие минимальные дисперсии.

Рассмотрим построение методом наименьших квадратов линейной зависимости , где и - постоянные. График функции — прямая линия с наклоном , пересекающая ось ординат в точке (рисунок 9).

Рисунок 9 – График линейной зависимости

Выполнив совместные измерения х_i и у_i с абсолютной точностью считаем, что каждая экспериментальная точка попадает в поле прямоугольника со сторонами, которым соответствуют границы погрешностей измерения x_i и у_i. По принятым условиям погрешности измерения х_i малы, поэтому экспериментальные точки имеют отклонения от идеальной прямой только в пределах погрешности измерения у_i.

Задача определения наилучшей прямой линии, аппроксимирующей набор из п экспериментальных точек сводится к нахождению значений постоянных А и В .

Наилучшими оценками для неизвестных постоянных А и В являются те, для которых минимально выражение

, (42)

где — среднее квадратическое отклонение погрешности измерения у.

Продифференцировав это выражение по А и В и приравняв производные нулю, получим систему уравнений для определения А и В:

(43)

Формулы дают оценки постоянных А и В для прямой линии , основанные на точках, полученных совместными измерениями.

Представление о приближении аппроксимирующей функции к истинной зависимости получим, оценив погрешности в определении постоянных А и В. Они определяются расчетом по правилам косвенных измерений, исходя из погрешностей измерения .

Среднее квадратическое отклонение погрешности измерения может быть известно до начала измерений, либо вычислено по результатам измерения

. (44)

Тогда

. (45)

Задача аппроксимации результатов совместных измерений линейной зависимостью только частный случай широкого класса задач по аппроксимации результатов измерений, многие из которых могут решаться методом наименьших квадратов. Так, на основе этого метода решается задача аппроксимации зависимостей, выражаемых полиномами вида , экспоненциальными функциями вида . Конкретные методики аппроксимации этих и других зависимостей рассматриваются в специальной литературе.

Если результат измерения определяется совместным измерением, погрешность результата можно определить, воспользовавшись таблицей 5:

Таблица 5 – Погрешность совместного озмерения

Функция	Погрешности
	- абсолютная погрешность	- относительная погрешность
X+Y+Z
X-Y
X*Y
Xn	± n*Xn-1* x
Sin X	± cos X x	± ctg X x
Cos X	± sin X x	± tg X x
Tg X
Ctg X
Arctg X