11 Нормальный закон распределения случайной величины

Наиболее распространенным дифференциальным законом распределения непрерывных случайных величин является нормальный закон (закон Гаусса). Плотность вероятности случайной величины , распределенной по нормальному закону, определяется равенством:

, (11)

где – математическое ожидание случайной величины; - среднее квадратическое отклонение.

Нормальному закону распределения подчиняются практически все измеренные величины, рассматриваемые в метрологии.

График нормального распределения случайной величины обладает следующими свойствами:

- существует при всех действительных значениях случайной величины;

- симметричен относительно прямой х = а;

- ось абсцисс является асимптотой графика;

- имеет одно экстремальное значение (максимум) при х = а равный ;

- имеет две точки перегиба, симметрично расположенные относительно максимальной плотности вероятности находящиеся на расстоянии  от нее. Ординаты точек перегиба одинаковые и равны .

График плотности вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону, называется нормальной кривой (рисунок 5).

Р исунок 5 – График плотности вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону.

Нормальная кривая с параметрами а = 0 и  = 1 называется основной (или нормированной).

Нормальные кривые случайных величин с равными  имеют одинаковую форму, а отличаются друг от друга только положением максимальной ординаты, определяемой значением а (рисунок 6).

Рисунок 6 – Графики плотности вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону (а ₁ < а ₂ < а ₃).

Р исунок 7 – Графики плотности вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону ( ₁ <  ₂ <  ₃).

Если случайные величины имеют одинаковые математические ожидания, но различные средние квадратические отклонения графики нормального распределения имеют неодинаковую форму (рисунок 7).

Следовательно, математическое ожидание не влияет на форму нормальной кривой и определяет лишь положение ее максимальной ординаты. При уменьшении среднего квадратаческого отклонения  нормальная кривая становится около максимальной ординаты более острой и высокой и лишь на небольшом участке поднимается над осью абсцисс, а далее почти сливается с ней. С возрастанием  кривая медленнее приближается к оси абсцисс, ее максимальная ордината уменьшается в  раз, распределение вероятностей становится более равномерным.

Вероятность того, что случайная величина, распределенная по нормальному закону, примет какое-нибудь значение из интервала (х₁, х₂) определяется интегралом:

. (12)

Для практического применения формулы используется подстановка t = (х-а)/. Вероятность случайной величины в этом случае равна:

, (13)

где – функция Лапласа, значения которой приводятся в приложении 2.

Кривая симметрична относительно начала координат и имеет две асимптоты.

; ; .

Функция Ф(х) является нечетной, т. е. , монотонно возрастающей.

Вероятность попадания случайной величины в интервалы а  , а  2 и а  3 составляет:

,

, (14)

.

Данные выражения показывают, что при нормальном распределении 68,3 % всех значений окажется в интервале от до , 95,4% – в интервале , 99,7% – в интервале .

Два последних выражения демонстрируют правила двух и трех сигм: вероятность того, что любое отдельное значение не отклоняется от истинного значения более чем на и равна 95,4% и 99,7%, соответственно.

Для обработки большого количества случайных величин, полученных при измерениях, контроле или испытаниях, в метрологической практике широко используется принцип практической уверенности и закон больших чисел.

Принцип практической уверенности: если при выполнении определенных условий вероятность события мала, то при однократном их возникновении можно быть уверенным в том, что это событие не произойдет, а в практической деятельности событие считается невозможным.

В математической статистике вероятность, которой пренебрегают в данном исследовании, называют уровнем значимости и обозначают .

Уровень значимости связан с вероятностью:

.

В метрологии рекомендуется пользоваться уровнем значимости от 0,05 при предварительных исследованиях до 0,001 при окончательных выводах.

С вероятностью 0,997 для распределенной по нормальному закону случайной величины, ее отклонение от математического ожидания не превосходит утроенной величины среднего квадратического отклонения. В этом случае уровень значимости составляет 0,003.

Под законом больших чисел понимается совокупность предложений, в которых утверждается, что с вероятностью как угодно близкой к единице (или к нулю), произойдет (не произойдет) событие, зависящее от очень большого, неограниченно увеличивающегося числа случайных событий, каждое из которых оказывает на него незначительное влияние.

Средняя арифметическая числовых характеристик некоторых признаков в большом числе однородных случайных явлений подвержена незначительным колебаниям. В этих колебаниях проявляется закономерность сущности явлений, взаимно погашается влияние отдельных факторов, которые делали случайными результаты единичных наблюдений.

Таким образом, каждая случайная величина может принимать значения, заметно отклоняющиеся от математического ожидания. Но в среднем арифметическом большого числа случайных величин их индивидуальные отклонения взаимно погашаются, компенсируются. Поэтому практически можно быть уверенным в совпадении средней арифметической случайных величин с постоянной величиной - средней арифметической их математических ожиданий. Средняя арифметическая большого числа измеряемых величин, практически не является случайной величиной, а является постоянной.