10 Случайные погрешности. Вероятностное описание результатов

и погрешностей

Если при проведении повторных измерений одной и той же постоянной величины полученные результаты, отличаются друг от друга, это свидетельствует о наличии в них случайных погрешностей. В этом случае узнать результат отдельного наблюдения и исправить его введением поправки невозможно. Можно лишь с определенной долей уверенности утверждать, что истинное значение измеряемой величины находится в пределах разброса результатов наблюдений от до (нижней и верхней границы разброса). Однако при этом неизвестен конкретный результат измерения, погрешность измерений и показатели ее характеризующие. Для ответа на эти вопросы результаты измерений и их погрешности рассматриваются как случайные величины. Установить закономерности появления случайных погрешностей и дать количественные оценки результата измерения позволяют методы теории вероятностей и математической статистики.

Чтобы по полученным экспериментальным путем результатам наблюдений, содержащим случайные погрешности, найти оценку истинного значения измеряемой величины - результат измерения, необходимо, чтобы систематических погрешностей в результатах наблюдений не было.

К оценкам, получаемым по статистическим данным, предъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности. Оценка называется состоятельной, если при увеличении числа наблюдений она стремится к истинному значению оцениваемой величины.

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемой величины. Если несколько несмещенных оценок, лучшей из них считается точка, которая имеет наименьшую дисперсию. Чем меньше дисперсия оценки, тем более эффективной считается оценка.

Для характеристики результатов измерения в метрологии используются дифференциальный закон распределения вероятностей случайной величины - закон распределения плотности вероятностей случайной величины.

Рассмотрим формирование дифференциального закона на примере измерений с многократными наблюдениями.

Пусть проведено последовательных наблюдений одной и той же величины и получена группа наблюдений . Каждое из значений содержит случайную погрешность. Расположим результаты наблюдений в порядке возрастания от до и найдем размах ряда . Разделив размах ряда на равных интервалов , подсчитаем количество наблюдений , попадающих в каждый интервал. Изобразим полученные результаты графически, нанеся на оси абсцисс значения физической величины и обозначив границы интервалов, а по оси ординат - относительную частоту попаданий . Построив на диаграмме прямоугольники, основанием которых является ширина интервалов, высотой , получим гистограмму, дающую представление о плотности распределения результатов наблюдений в данном опыте.

Таблица 4 – Частоты и относительные частоты

Номер интервала	1	2	3	4	5
	5	10	18	11	6
	0,1	0,2	0,36	0,22	0,12

Рисунок 4 – Гистограмма

На рисунке 4 показана полученная в одном из опытов гистограмма, построенная на основании результатов 50 наблюдений, сгруппированных в таблице 4. В данном опыте в первый и последующие интервалы попадает соответственно 0,1; 0,2; 0,36; 0,22 и 0,12 от общего количества наблюдений; при этом очевидно, что сумма этих чисел равна единице.

Если распределение случайной величины статистически устойчиво, то можно ожидать, что при повторных сериях измерений той же величины, в тех же условиях, относительные частоты попаданий в каждый интервал будут близки к первоначальным. Это означает, что раз построив гистограмму, при последующих наблюдениях можно с определенной долей уверенности предсказать распределение результатов наблюдений по интервалам. Относительную частоту попаданий результатов наблюдений в каждый интервал можно определить как отношение площади соответствующего прямоугольника шириной к общей площади.

При бесконечном увеличении числа наблюдений и бесконечном уменьшении ширины интервалов , ступенчатая кривая, огибающая гистограмму, перейдет в плавную кривую , называемую кривой плотности распределения вероятностей случайной величины. Уравнение, описывающее эту кривую соответствует дифференциальному закону распределения случайной величины. Кривая плотности распределения вероятностей всегда неотрицательна и подчинена условию

. (9)

Если известен дифференциальный закон распределения случайной величины , то вероятность ее попадания в интервал от до определяется

. (10)

Графически эта вероятность выражается отношением площади, лежащей под кривой в интервале от до к общей площади, ограниченной кривой распределения.

Для характеристики случайной величины, отражения присущих ей закономерностей с помощью постоянных чисел, используется математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

Математическое ожидание случайной величины это постоянное число, определенным образом связанное с ней. Оно характеризует величину «в среднем», показывает какое значение случайной величины следует ожидать при испытаниях или наблюдениях.

Если математическое ожидание дает необходимое представление о случайной величине, то вместо детального изучения сложных законов ее распределения ограничиваются рассмотрением математических ожиданий. Однако в большинстве случаев требуется указание вариации (рассеивания) измеряемой величины вокруг среднего значения. Мерой рассеяния случайной величины является дисперсия и среднее квадратическое отклонение .

Арифметическое значение корня квадратного из дисперсии, называется средним квадратическим отклонением измеряемой величины. Среднее квадратическое отклонение при отсутствии систематической составляющей погрешности в метрологии также называется средней квадратической погрешностью или стандартным отклонением.

Для детальной характеристики случайных величин с помощью постоянных чисел используются также моменты различных порядков.