16 Однократные измерения с приближенным оцениванием погрешности

Для таких измерений в качестве результата измерения принимают значение отсчета, а оценивание погрешностей производится на основе нормативных данных о свойствах используемых средств измерений (пределов допускаемой основной погрешности, дополнительных погрешностей и др.).

Общую схему оценивания погрешностей можно представить следующим образом. Выбрав, исходя из условий измерительной задачи, необходимое средство измерения (прибор), уточняют условия измерения (нормальные, рабочие) и оценивают возможные дополнительные погрешности прибора, возникающие от воздействия влияющих величин.

В результате для оценивания погрешности измерения имеются:

- предел допускаемой основной погрешности прибора пр;

дополнительные погрешности ₁, ₂..., _п.

Методические погрешности должны быть учтены заранее. Объективные погрешности предполагаются малыми и не учитываются.

Погрешность результата измерения _ находится суммированием составляющих по абсолютной величине:

(33)

17 Косвенные измерения

При косвенных измерениях искомое значение величины находится расчетом на основе измерения других величин, связанных с измеряемой известной зависимостью

A=f(a₁,...,a_п).

Поскольку каждый из аргументов а измеряется с некоторой погрешностью, то задача определения погрешности результата сводится к суммированию погрешностей измерения аргументов. Однако особенность косвенных измерений состоит в том, что вклад отдельных погрешностей прямых измерений аргументов в погрешность результата зависит от вида функции f(х).

Для оценки погрешностей существенно разделение косвенных измерений на линейные и нелинейные измерения.

При линейных косвенных измерениях уравнение измерений имеет вид

, (34)

где b_i - постоянные коэффициенты при аргументах а_i.

Любые другие функциональные зависимости относятся к нелинейным косвенным измерениям.

Результат линейного косвенного измерения вычисляется по формуле (34), подставкой в нее измеренных значений.

Погрешности измерения задаются границами а_i , либо доверительными границами а_i (Р), с доверительными вероятностями Р.

При малом числе аргументов (меньше пяти) простая оценка погрешности результата А определяется суммированием предельных погрешностей (без учета знака). Однако эта оценка является завышенной, поскольку погрешности измерения всех аргументов одновременно имеют максимальное значение и совпадают по знаку. Вероятность такого совпадения практически равна нулю. Поэтому переходят к статистическому суммированию погрешностей аргументов по формуле

, (35)

где коэффициент k определяется принятой доверительной вероятностью (k=1,1 при Р=0,95).

При различных доверительных вероятностях погрешностей прямых измерений их необходимо привести к одному и тому же значению Р.

Нелинейные косвенные измерения характеризуются тем, что результаты измерений подвергаются функциональным преобразованиям, что приводит к изменению законов их распределения.

При сложной функции, по которой вычисляется результат косвенного измерения определение закона распределения погрешности результата измерения практически невозможно. Поэтому при нелинейных косвенных измерениях отказываются от интервальных оценок погрешности результата, ограничиваясь приближенной верхней оценкой ее границ.

В основе приближенного оценки погрешности лежит линеаризация функции получения результата косвенного нелинейного измерения и дальнейшая обработка результатов как и при линейных измерениях.

Производится замена полного дифференциала функции А:

. (36)

Полный дифференциал функции – это приращение функции, вызванное малыми приращениями ее аргументов.

Учитывая, что погрешности измерения аргументов всегда являются малыми величинами по сравнению с номинальными измеренными значениями, можно заменить дифференциалы на погрешности измерений , а дифференциал функции на погрешность результата измерений :

. (37)

Если в косвенном измерении используется менее 5 результатов прямых измерений, то границы погрешности результата косвенного нелинейного измерения находят как и для косвенного линейного измерения, т.е. как сумму или статическую сумму погрешностей прямых измерений.

Используется несколько основных правил определения погрешности результата косвенного измерения.

1. Погрешности суммы и разности. Если и измерены с погрешностями и и измеренные значения используются для вычисления косвенной величины , то погрешности суммируются без учета знака

. (38)

2. Погрешности произведения или частного. Если и измерены с погрешностями и и измеренные значения используются для вычисления косвенной величины или , то погрешности суммируются в относительных величинах без учета знака по формуле:

. (39)

3. Погрешность умножения результата на постоянное число. Если измерено с погрешностью и измеренное значения используются для вычисления косвенной величины , то погрешность определятся без учета знака по формуле

. (40)

4. Погрешность возведения в степень. Если измерено с погрешностью и измеренное значения используются для вычисления косвенной величины , то погрешность определятся без учета знака по формуле

. (41)