7)Определение траектории движения точки по ее уравнениям движения в координатной форме. Связь между векторным, координатным и естественным способами задания движения точки.

Траектория точки – непрерывная пространственная кривая, которую точка описывает в процессе движения. Если траекторией является прямая линия, то движение называют прямолинейным, если кривая – криволинейным.

 Координатный способ задания движе­ния точки.

Положение точки можно непосредственно опре­делять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.1), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви­жения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент вре­мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости 

,  ,  .

Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр  .

Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения.

Разложим вектор   на составляющие по осям координат:

 

где  - проекции вектора на оси;  – единичные векторы направленные по осям, орты осей.

Так как начало   вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M. Поэтому 

     РИС 1                                        

.

Связь между способами задания движения точки. Все три способа задания движения точки связаны между собой.

Найдем связь между координатным и векторным способами задания движения. Из математики известно, что координаты точки M являются проекциями ее радиус-вектора на оси системы координат. Записав радиус-вектор в координатной форме, выражаем эту связь:

(5)

где i,j,k являются единичными векторами (ортами) осей координат (рис. 57).

Рассмотрим переход от координатного способа задания движения к естественному. Выделим на траектории точки элементарное дуговое перемещение (дифференциал дуговой координаты)ds (рис. 57). Оно представляет собой диагональ прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz, являющимися элементарными приращениями прямоугольных координат (дифференциалами этих координат). Величина диагонали ds равна

(6)

Обозначая производные по времени от координат

(7)

выражаем их дифференциалы: dx = xdt; dy = ydt; dz = zdt. Подставляя последние равенства в выражение (6), получаем

(8)

Предполагая, что при t = 0 точка находится в начале отсчета (s = 0), интегрируя выражение (7) в интервалах от 0 до s и от 0 до t, находим закон движения точки вдоль траектории:

(9)

8)Вектор скорости: точки при векторном, координатном и естественном способом задания их движения.

Вектор скорости точки

Одной из основных кинематических характеристик движе­ния точки является векторная величина, называемая скоростью точки.

Известно, что при движении точки по прямой линии с постоянной скоростью, равномерно, скорость её определяется делением пройденного расстояния s на время:  . При неравномерном движении эта формула не годится. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Пусть движущаяся точка находится

Рис. 5

 

в момент времени t в положении М, определяемом радиусом-векто­ром  , а в момент   приходит в положение M1 определяемое векто­ром   (рис.5). Тогда перемещение точки за промежуток времени   определяется вектором   который будем называть вектором перемещения точки. Из треугольника ОММ1 видно, что  ; следовательно,  .

Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую сред­ней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени  :

.

Скоростью точки в данный момент времени   называется векторная величина  , к которой стремится средняя скорость   при стремлении промежутка времени   к нулю:

,         .

Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.

Так как предельным направлением секущей ММ1 является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени  направлен по касательной  к траектории точки в сторону движения.

Определение скорости точки при координатном способе задания движения

Вектор скорости точки  , учитывая, что  ,  ,  ,  найдем:

,  ,  .

Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т.е. углы  ,  ,  , которые вектор   образует с координатными осями) по формулам

;

,  ,   .

Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки по времени.        

Направлен вектор скорости по касательной к траектории, кото­рая нам наперед известна.

 

Определение скорости точки при естественном способе задания движения

Величину скорости можно определить как предел (  – длина хорды  ):

где  – длина дуги  . Первый предел равен единице, второй предел – производная  

Следовательно, скорость точки есть первая производная по времени от закона движения:

                                                                     

Направлен вектор скорости, как было установлено ранее, по касательной к траектории. Если величина скорости в данный момент будет больше нуля, то вектор скорости направляется в положительном направлении.

 

9)Вектор ускорения точки при векторном, координатном способе задания ее движения.

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.

Пусть в некоторый момент времени   движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость  , а в момент   приходит в положение   и имеет скорость   (рис. 6).

Рис.6

Тогда за промежуток времени   скорость точки получает приращение  . Для построения вектора   отложим от точки М вектор, равный  , и построим параллелограмм, в котором диагональю будет  , a одной из сторон  . Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изображать вектор  . Заметим, что вектор   всегда направлен в сторону вог­нутости траектории.

Отношение приращения вектора скорости   к соответствующему про­межутку времени   определяет век­тор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

.

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и век­тор  , т. е. направлен в сторону вогнутости траектории.

Ускорением точки в данный момент времени t называется век­торная величина  , к которой стремится среднее ускорение   при стремлении промежутка времени   к нулю: Вектор ускорения точки в данный момент време­ни равен первой производной от вектора скорости или второй произ­водной от радиуса-вектора точки по времени.

Найдем, как располагается вектор   по отношению к траекто­рии точки. При прямолинейном движении вектор   направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией точки явля­ется плоская кривая, то вектор ускорения  , так же как и вектор  , лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости. Если траектория не является плоской кривой, то вектор   на­правлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, про­ходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, па­раллельную касательной в соседней точке M1 (рис. 4). В пределе, когда точка Мстремится к М, эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, т.е. плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки. Следовательно, в общем случае вектор ускорения   лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.

Определение ускорения при координатном способе задания движения

Вектор ускорения точки  в проекции на оси получаем:

,    ,  

или

,   ,   ,

т.е. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул

;

,  ,   ,

где  ,  ,   - углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.

Ускорение точки при векторном способе задания движения.

По определению ускорение является производной по времени от вектора скорости:

(1)

К огда Δ   0, точка M1   M; плоскость, где лежат векторы  (t),  (t + Δt) и  (Δt), содержащая две касательные к траектории в точках M и M1 (рис. 62), стремится занять положение соприкасающейся плоскости в точке M; сам вектор направлен в сторону вогнутости траектории.

Таким образом, вектор ускорения a лежит в соприкасающейся плоскости и всегда направлен в сторону вогнутости траектории.

Очевидно, что a является ускорением в данное мгновение времени или мгновенным ускорением, а средним ускорением за промежуток времени Δt называется отношение ΔV / Δt. Соответственно, размерностью ускорения будет м / с2 (метр за секунду в квадрате).