17)Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Уравнение вращения. Векторы угловой скорости и углового ускорения.

При вращении тела вокруг неподвижной оси две его точки, например A и B, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными (рис 72, a).

Так как точки A и B кинематической модели неподвижны, то движение одной ее подвижной точки C определяет движение всех точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

В частности (рис. 72, a), мы видим, что точка C движется по окружности радиуса OC = R, который называется радиусом вращения, в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Следовательно, траекториями всех точек тела, не лежащих на оси вращения, я вляются окружности соответствующих радиусов, которые лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.

Скорости и ускорения точек тела.

В этом случае для определения скоростей и ускорений всех точек тела нам нужно найти скорость и ускорение только одной точки тела.

Для этого на рис. 73 покажем вид сверху на рис. 72, b и перейдем к естественному способу задания движения точки C тела. Начало отсчета будет в точке пересечения O1 окружности радиуса R с осью Ox, от которой отсчитывается угол поворота φ , а положительное направление отсчета дуговой координаты будет направлено в сторону увеличения угла поворота. Тогда положение точки C тела на ее траектории (окружности) определяется дуговой координатой s = RΔ , а скорость и ускорение точки выражаются в виде

	(9)
	(10)

Согласно формулам (9) и (10), величины этих векторов равны

	(11)
	(12)
	(13)

Так как касательная к окружности перпендикулярна ее радиусу, единичный вектор τ R, а единичный вектор n направлен по радиусу вращения к оси вращения от точки C к точке O. Следовательно, вектор an будет также направлен по радиусу вращения к оси вращения s'2 / R = R φ'2 > 0 . Векторы V и aτ будут перпендикулярны радиусу вращения:

(14)

Вектор V направлен в сторону вращения, которую указывает стрелка угловой скорости, а вектор aτ - в сторону стрелки углового ускорения, так как знаки производных от угла поворота определяют знаки производных дуговой координаты (R > 0) . На рис. 73 изображен случай замедленного вращения, когда φ' > 0, φ'' < 0, и соответственно, s' > 0, s'' < 0. 

Итак:

1. Величина вектора скорости любой точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению величины угловой скорости тела на радиус вращения точки; вектор скорости перпендикулярен радиусу вращения и направлен в сторону вращения.

2. Величина вектора касательного ускорения равна произведению величины углового ускорения на радиус вращения; вектор касательного ускорения перпендикулярен радиусу вращения и направлен в сторону стрелки углового ускорения.

3. Величина вектора нормального ускорения равна произведению квадрата величины угловой скорости на радиус вращения; вектор нормального ускорения направлен по радиусу вращения всегда от точки к оси вращения.

Величина вектора ускорения точки, которое часто называют полным ускорением, равна

(15)

Вектор полного ускорения отклонен от радиуса вращения на угол β, который определяется из формулы

Векторные выражения скоростей и ускорений.

Для получения этих выражений рассмотрим угловую скорость и угловое ускорение как векторы.

Представим угловую скорость вектором, модуль которого равен величине угловой скорости, направленным по оси вращения так, что с его конца вращение тела наблюдается против хода часов (рис. 74).

То есть вектор угловой скорости будет одновременно определять величину угловой скорости  , направление вращения и саму ось вращения.

Вектором углового ускорения будет производная по времени от вектора угловой скорости:

(16)

Т ак как ось вращения неподвижна, вектор угловой скорости не меняет своего направления, изменяясь только по модулю, то при вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен по оси вращения. По направлению он совпадает с вектором угловой скорости, когда вращение ускоренное, при замедленном вращении векторы направлены в разные стороны. На рис. 74 изображено ускоренное вращение.

На рис. 75 построен вектор скорости точки тела, когда известны ее радиус вращения, величина угловой скорости и направление вращения. Там же построен вектор угловой скорости и показан радиус-вектор точки, определяющий ее положение относительно начала координат.

Нетрудно убедиться, что

(17)

Действительно,   , а вектор   , согласно правилу построения вектора векторного произведения, направлен так же, как вектор скорости V. Формула (17) называется векторной формулой Эйлера, которую он впервые получил в виде аналитических выражений, так как в его время векторное исчисление не было известно.

Из определения ускорения и векторной формулы Эйлера имеем

Учитывая, что  , получаем

(18)

Первое слагаемое в (18) является касательным ускорением, а второе - нормальным ускорением:

(19)

В справедливости выражений в (19) убеждаемся, рассматривая их правые части:  , что совпадает с величиной вектора касательного ускорения;  , так как V ω, а V = ωR, что совпадает с величиной вектора нормального ускорения. Очевидно, что и направления векторов этих векторных произведений совпадают с направлениями векторов касательного и нормального ускорений.

По определению скорости точки V = dr / dt. С другой стороны, по формуле Эйлера  . В последней формуле r = const, так как радиус-вектор соединяет между собой две точки твердого тела. Поэтому формулу Эйлера можно использовать для дифференцирования по времени любого вектора, например, b, постоянного по величине (b = const):

(20)

где ω является угловой скоростью вращения вектора b.