- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Глава 1. Матрицы и определители
- •1.1.Понятие матрицы
- •1.2. Основные операции над матрицами
- •1.3. Определители второго и третьего порядка
- •1.4. Определитель n-го порядка
- •1.5. Основные свойства определителей.
- •1.6. Алгебраические дополнения.
- •1.7. Ранг матрицы.
- •1.8. Обратная матрица.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •2.1. Основные понятия и определения.
- •2.2. Условие совместимости слау. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.3. Правило Крамера решения слау
- •2.4. Метод Гаусса
- •2.5. Решение произвольных слау
- •2.6. Системы однородных уравнений
- •2.7. Матричные уравнения
- •Глава 3. Векторы
- •3.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
- •3.2. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Базис
- •3.3. Скалярное произведение векторов
- •3.4. Векторное произведение векторов
- •3.5. Смешанное произведение трех векторов
- •Глава 4. Аналитическая геометрия
- •4.1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •4.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между прямыми
- •4.3. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •4.4. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках
- •4.5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
- •4.6. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данных точки. Угол между плоскостями
- •4.7. Прямая в пространстве
- •4.8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •4.9. Окружность
- •4.10. Эллипс
- •4.11. Гипербола
- •4.12. Парабола
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 5. Функции
- •5.1. Понятие множества. Логическая символика
- •5.2. Понятие функции. Основные свойства функции
- •5.3. Основные элементарные функции
- •5.4. Элементарные функции. Классификация функций.
- •Глава 6. Пределы и непрерывность
- •6.1. Предел числовой последовательности
- •6.2. Предел функции в бесконечности и в точке
- •6.3. Бесконечно малые величины
- •6.4. Бесконечно большие величины
- •6.5. Основные теоремы о пределах
- •6.6. Признаки существования предела
- •6.7. Первый замечательный предел
- •6.8. Второй замечательный предел
- •6.9. Непрерывность функции в точке и на промежутке
- •6.10.Классификация точек разрыва
- •Раздел III. Дифференциальное исчисление
- •Глава 7. Производная и дифференциал
- •7.1. Физический и геометрический смысл производной
- •7.2. Определение производной. Свойства
- •7.3. Производная сложной и обратной функций
- •7.4. Производные тригонометрических функций
- •7.5. Производная обратных тригонометрических функций
- •7.6. Производная показательной, логарифмической и степенной функций
- •7.7. Производная гиперболических функций
- •7.8. Логарифмическая производная. Производная неявной и параметрической функции
- •7.9. Дифференциал функции
- •7.10. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Глава 8. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •8.1. Теорема Ферма
- •8.2. Теорема Ролля
- •8.3. Теорема Лагранжа
- •8.4. Теорема Коши
- •8.5. Правило Лопиталя
- •8.6. Формулы Тейлора и Маклорена
- •Глава 9. Приложения производной
- •9.1. Интервалы монотонности. Признаки экстремума
- •9.2. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба
- •9.3. Асимптоты графика функции
3.3. Скалярное произведение векторов
Проекцией вектора на ось называется длинна отрезка (АВ) между основаниями перпендикуляров, опущенных из конца и начала вектора на ось , причем эта длинна берется со знаком «+», если АВ совпадает с направлением оси, иначе со знаком «–». Аналогично – проекция одного вектора на другой – скаляр.
Свойства проекций:
Проекция равна 0, если .
При параллельном переносе вектора его проекция не меняется.
(знак регулируется знаком косинуса).
Скалярный множитель можно выносить за знак проекции: .
Проекция суммы равна сумме проекций: .
Скалярное произведение векторов и равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними: – скаляр. Иначе: . Пример из физики: , А – работа, – сила, – перемещение.
Свойства скалярного произведения:
Скалярное произведение равно 0, если векторы перпендикулярны, то есть , , α = 900. Если , то и тоже перпендикулярны.
, так как скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля.
Перестановочный закон: .
Распределительный закон: .
.
Пример:
.
3.4. Векторное произведение векторов
Пусть дана тройка некомпланарных векторов с общим началом, причем – первый вектор, – второй, – третий. Такая тройка называется правой, если поворот от к осуществляется против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора . Тройка называется левой, если поворот от к осуществляется по часовой стрелки. Если – правая, то – левая.
При циклической перестановке «смысл» тройки не меняется: если – правая тройка, то – правая, и – правая.
Векторным произведением векторов и называется вектор , определяемый следующими условиями:
, – угол между векторами – это площадь параллелограмма, построенного на этих векторах
и ;
упорядоченная тройка , , – правая.
Свойства:
если , то и ;
– S не меняется, меняется направление;
- если сторону параллелограмма увеличить в раз, то S тоже увеличится в раз;
.
Эти свойства дают возможность раскрывать скобки. Например:
Имеем: , , , , , , . Тогда если , то – это выражение векторного произведения через координаты векторов.
3.5. Смешанное произведение трех векторов
Пусть даны три вектора: , , . Тогда смешанное (или векторно-скалярное) произведение – – скалярная величина, т.е. первые два вектора умножаются векторно, а результат – скалярно на третий вектор.
Геометрический смысл – – объем параллелепипеда, построенного на векторах , которые образуют правую тройку. Если тройка левая, то .
Свойства:
– при циклической перестановке множителей смешанное произведение не меняется (не меняется параллелепипед).
– знак меняется при перестановке двух сомножителей.
, когда компланарны. Действительно, параллелепипед выражается чисто в плоскость и .
. Это выражение смешанного произведения через координаты векторов.
Векторы компланарны, если . Обычно смешанное произведение обозначают .
.