1.8. Обратная матрица.

Рассмотрим квадратную матрицу А порядка n: . Считаем, что матрица А – невырожденная, т.е. ее определитель отличен от нуля.

Квадратная матрица А^-1 называется обратной для матрицы А, если выполняются равенства:

А^-1А=АА^-1=Е , где Е – единичная матрица порядка n.

Теорема. Для того чтобы квадратная матрица А имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Доказательство.

1) Необходимость. Пусть матрица А имеет обратную матрицу, тогда будет выполняться равенство . Вычислим определитель от левой и правой части: det (А^–1А)=det E, , отсюда det A 0 .

2) Достаточность. Предположим, что определитель матрицы det А отличен от нуля. Рассмотрим матрицу . Это присоединенная матрица, в которой A_ij – алгебраическое дополнение элементов a_ij матрицы А, причем алгебраические дополнения образуют транспонированную матрицу. Рассмотрим произведение . В этом произведении любой элемент, не лежащий на главной диагонали, равен нулю, т.к. это сумма произведений элементов одной строки на алгебраические дополнения другой строки. Элементы, лежащие на главной диагонали, равны определителю матрицы det А:

Таким образом, Окончательно получим формулу для обратной матрицы: .

Полученная формула является достаточно громоздкой, поэтому рассмотрим другой способ определения обратной матрицы.

Элементарными называются следующие преобразования матриц:

• Перестановка двух любых строк и столбцов.

• Умножение строки или столбца на число отличное от нуля.

• Прибавление к одному столбцу или строке линейной комбинации других столбцов или строк.

Две матрицы называется эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. Если матрицы А и В – эквивалентные, то это обозначают так: A≈B.

Для отыскания обратной матрицы выполним элементарные преобразования следующей матрицы: , в левой части которой – матрица А, а в правой – единичная матрица. С помощью элементарных преобразований на месте матрицы А нужно получить единичную матрицу, тогда на месте единичной матрицы получится обратная матрица.

Пример 1.3. Вычислить обратную матрицу для матрицы

Определитель матрицы Алгебраические дополнения:

Тогда .

Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)

2.1. Основные понятия и определения.

В общем случае система n линейных с неизвестными уравнений имеет вид:

(2.1)

Через обозначены неизвестные, подлежащие определению; величины , называемые коэффициентами системы, и величины , называемые свободными членами, предполагаются известными. Каждый коэффициент системы имеет два индекса, первый из которых указывает номер уравнения, а второй – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Решением системы называется всякая совокупность чисел , которая, будучи подставлена в систему вместо неизвестных, превращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хоты бы одно решение и несовместной, если она не имеет решений. Будем говорить, что совместная система – определенная, если она имеет единственное решение и неопределенная, если она имеет более одного решения.