- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Глава 1. Матрицы и определители
- •1.1.Понятие матрицы
- •1.2. Основные операции над матрицами
- •1.3. Определители второго и третьего порядка
- •1.4. Определитель n-го порядка
- •1.5. Основные свойства определителей.
- •1.6. Алгебраические дополнения.
- •1.7. Ранг матрицы.
- •1.8. Обратная матрица.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •2.1. Основные понятия и определения.
- •2.2. Условие совместимости слау. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.3. Правило Крамера решения слау
- •2.4. Метод Гаусса
- •2.5. Решение произвольных слау
- •2.6. Системы однородных уравнений
- •2.7. Матричные уравнения
- •Глава 3. Векторы
- •3.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
- •3.2. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Базис
- •3.3. Скалярное произведение векторов
- •3.4. Векторное произведение векторов
- •3.5. Смешанное произведение трех векторов
- •Глава 4. Аналитическая геометрия
- •4.1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •4.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между прямыми
- •4.3. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •4.4. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках
- •4.5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
- •4.6. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данных точки. Угол между плоскостями
- •4.7. Прямая в пространстве
- •4.8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •4.9. Окружность
- •4.10. Эллипс
- •4.11. Гипербола
- •4.12. Парабола
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 5. Функции
- •5.1. Понятие множества. Логическая символика
- •5.2. Понятие функции. Основные свойства функции
- •5.3. Основные элементарные функции
- •5.4. Элементарные функции. Классификация функций.
- •Глава 6. Пределы и непрерывность
- •6.1. Предел числовой последовательности
- •6.2. Предел функции в бесконечности и в точке
- •6.3. Бесконечно малые величины
- •6.4. Бесконечно большие величины
- •6.5. Основные теоремы о пределах
- •6.6. Признаки существования предела
- •6.7. Первый замечательный предел
- •6.8. Второй замечательный предел
- •6.9. Непрерывность функции в точке и на промежутке
- •6.10.Классификация точек разрыва
- •Раздел III. Дифференциальное исчисление
- •Глава 7. Производная и дифференциал
- •7.1. Физический и геометрический смысл производной
- •7.2. Определение производной. Свойства
- •7.3. Производная сложной и обратной функций
- •7.4. Производные тригонометрических функций
- •7.5. Производная обратных тригонометрических функций
- •7.6. Производная показательной, логарифмической и степенной функций
- •7.7. Производная гиперболических функций
- •7.8. Логарифмическая производная. Производная неявной и параметрической функции
- •7.9. Дифференциал функции
- •7.10. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Глава 8. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •8.1. Теорема Ферма
- •8.2. Теорема Ролля
- •8.3. Теорема Лагранжа
- •8.4. Теорема Коши
- •8.5. Правило Лопиталя
- •8.6. Формулы Тейлора и Маклорена
- •Глава 9. Приложения производной
- •9.1. Интервалы монотонности. Признаки экстремума
- •9.2. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба
- •9.3. Асимптоты графика функции
4.5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
Рассмотрим величину , μ – нормирующий множитель. Умножим обе части общего уравнения плоскости на μ. Получим . Коэффициенты при x, y, z являются направляющими косинусами вектора нормами плоскости: , , , где α, ß, γ – углы, которые нормаль образует с координатными осями.
Обозначим . Получим – нормальное уравнение плоскости.
Расстояние от точки до плоскости
Пусть уравнение плоскости Р : Ax + By + Cz + D = 0, дана (∙) , которая не принадлежит плоскости. Тогда . Чтобы найти расстояние от точки до плоскости, следует подставить координаты этой точки в уравнение плоскости и полученную величину поделить на модуль вектора , т.е. на нормирующий множитель μ. Для определения расстояния от точки до плоскости можно пользоваться нормальным уравнением плоскости. В этом случае .
4.6. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данных точки. Угол между плоскостями
Пусть точки лежат в плоскости Р и точка – любая точка плоскости. Тогда , , лежат в одной плоскости и являются компланарными. Условие компланарности: равенство нулю смешенного произведения: , т.е.
—уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
Взаимное расположение 2-х плоскостей
Пусть плоскости Р1 и Р2 заданы общими уравнениями , . Соответственно векторы и этих плоскостей , . Угол между плоскостями равен углу между нормалями, который можно найти по формуле , .
Плоскости параллельны, если || , следовательно .
Плоскости перпендикулярны, если .
4.7. Прямая в пространстве
В общем случае прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения 2-х плоскостей:
Канонические уравнения прямой
Пусть (∙) М0 (x0; y0; z0) – точка лежащая на прямой; , где m, n, p – координаты направляющего вектора прямой, т.е. вектора параллельного данной прямой. М (x; y; z) – текущая точка. , получаем уравнение – канонические уравнения прямой.
Чтобы перейти от общего уравнения прямой к каноническому, в качестве точки М0 берут любое решение системы, направляющий вектор прямой можно найти как векторное произведение векторов нормалей × .
. Если направляющий вектор прямой задан точками M1, M2, то можно записать уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки , : .
Угол между прямыми
Пусть 2 прямые заданы в канонической форме, т.е. известны направляющие векторы каждой прямой: , .
Угол между прямыми равен углу между направляющими векторами: .
Если прямые параллельны, то и .
Если прямые перпендикулярны, , то =0 и = 0 – условия перпендикулярности прямых.
4.8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Пусть дана прямая и плоскость .
Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: = t и выразим x, y, z через параметр t: – параметрические уравнения прямой.
Если прямая параллельна плоскости α, то направляющий вектор прямой (нормальному вектору плоскости), т.е. , .
Если координаты точки М0 (x0; y0; z0) удовлетворяют уравнению плоскости, то прямая l принадлежит плоскости. Если , то прямая перпендикулярна плоскости, т.е. – условие перпендикулярности плоскости и прямой.
Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, уравнение прямой необходимо записать в параметрическом виде и подставить в уравнение плоскости из полученного равенства находим параметр t и подставив найденное значение t в параметрические уравнения прямой, определяем координаты точки пересечения прямой и плоскости.
Угол φ – угол между прямой и плоскостью определяется следующим образом – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость.
Если между векторами и острый угол, то , или – угол между прямой и плоскостью.
Кривые на плоскости