- •Раздел 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Глава 1. Матрицы и определители
- •1.1.Понятие матрицы
- •1.2. Основные операции над матрицами
- •1.3. Определители второго и третьего порядка
- •1.4. Определитель n-го порядка
- •1.5. Основные свойства определителей.
- •1.6. Алгебраические дополнения.
- •1.7. Ранг матрицы.
- •1.8. Обратная матрица.
- •Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений (слау)
- •2.1. Основные понятия и определения.
- •2.2. Условие совместимости слау. Теорема Кронекера-Капелли
- •2.3. Правило Крамера решения слау
- •2.4. Метод Гаусса
- •2.5. Решение произвольных слау
- •2.6. Системы однородных уравнений
- •2.7. Матричные уравнения
- •Глава 3. Векторы
- •3.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
- •3.2. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Базис
- •3.3. Скалярное произведение векторов
- •3.4. Векторное произведение векторов
- •3.5. Смешанное произведение трех векторов
- •Глава 4. Аналитическая геометрия
- •4.1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •4.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Угол между прямыми
- •4.3. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой
- •4.4. Общее уравнение плоскости. Неполные уравнения плоскости. Уравнение плоскости в отрезках
- •4.5. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
- •4.6. Уравнение плоскости, проходящей через 3 данных точки. Угол между плоскостями
- •4.7. Прямая в пространстве
- •4.8. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •4.9. Окружность
- •4.10. Эллипс
- •4.11. Гипербола
- •4.12. Парабола
- •Раздел II. Введение в математический анализ
- •Глава 5. Функции
- •5.1. Понятие множества. Логическая символика
- •5.2. Понятие функции. Основные свойства функции
- •5.3. Основные элементарные функции
- •5.4. Элементарные функции. Классификация функций.
- •Глава 6. Пределы и непрерывность
- •6.1. Предел числовой последовательности
- •6.2. Предел функции в бесконечности и в точке
- •6.3. Бесконечно малые величины
- •6.4. Бесконечно большие величины
- •6.5. Основные теоремы о пределах
- •6.6. Признаки существования предела
- •6.7. Первый замечательный предел
- •6.8. Второй замечательный предел
- •6.9. Непрерывность функции в точке и на промежутке
- •6.10.Классификация точек разрыва
- •Раздел III. Дифференциальное исчисление
- •Глава 7. Производная и дифференциал
- •7.1. Физический и геометрический смысл производной
- •7.2. Определение производной. Свойства
- •7.3. Производная сложной и обратной функций
- •7.4. Производные тригонометрических функций
- •7.5. Производная обратных тригонометрических функций
- •7.6. Производная показательной, логарифмической и степенной функций
- •7.7. Производная гиперболических функций
- •7.8. Логарифмическая производная. Производная неявной и параметрической функции
- •7.9. Дифференциал функции
- •7.10. Производные и дифференциалы высших порядков
- •Глава 8. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •8.1. Теорема Ферма
- •8.2. Теорема Ролля
- •8.3. Теорема Лагранжа
- •8.4. Теорема Коши
- •8.5. Правило Лопиталя
- •8.6. Формулы Тейлора и Маклорена
- •Глава 9. Приложения производной
- •9.1. Интервалы монотонности. Признаки экстремума
- •9.2. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба
- •9.3. Асимптоты графика функции
2.7. Матричные уравнения
Дана система n линейных уравнений с n неизвестными (2.1). Введём обозначения:
, , , тогда данную систему можно записать в матричном виде . Умножим это уравнение на обратную матрицу А-1 слева (считаем, что определитель матрицы системы не равен 0). Тогда: ,
. Это формула для решения уравнения (2.1) с помощью обратной матрицы.
Если в уравнении все три матрицы являются квадратными, причем , тогда решение .
Рассмотрим матричное уравнение вида . Имеем ; .
Пример 2.4. Решить систему примера 2.1 матричным способом (способом обратной матрицы).
Матрица системы , матрица неизвестных , матрица свободных членов .
Найдем обратную матрицу . вычислим алгебраические дополнения: ; ; ; ; ; ; ; ; . Тогда решение системы определены по формуле :
, т.е. .
Пример 2.5. Решить уравнение . Пусть , , тогда Вычислим ; имеем: .
Глава 3. Векторы
3.1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
Различают скалярные и векторные величины. Скалярные величины полностью характеризуются своим численным значением в выбранной системе единиц (работа, температура, плотность и т.д.). векторы кроме численного значения, обладают направлением в пространстве. Вектором называется направленный отрезок с начальной точкой А и конечной точкой В. Вектор может обозначаться одной буквой: . Длиной (модулем) | | вектора называется число, равное длине отрезка АВ.
Векторы, лежащие на одной прямой (или на параллельных прямых) называются коллинеарными. Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называют нулевым и обозначают . | | = 0, направление произвольно. Если = , то вектор называют противоположным к вектору и обозначают – . Очевидно, что +(- ) = .
Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат и перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Координатами вектора будем называть координаты его конечной точки: .
Модуль вектора : .
Линейные операции над векторами.
Пусть заданы векторы и Линейными операциями называют сложение (вычитание) векторов и умножение вектора на скаляр. Сложение векторов производят по правилу параллелограмма:
+ = , ={аx+ , ay+ , az + }. Чтобы построить сумму векторов , …, , нужно к концу вектора приложить вектор , к концу вектора приложить вектор и так далее до . Тогда суммой + + … + будет вектор, идущий из начала в конец вектора .
Вычесть какой-нибудь вектор – значит прибавить противоположный, т.е. – = + (– ).
Умножение вектора на (скаляр) число : = λ , .
Если λ > 0, то полученный вектор – это вектор, получающийся из растяжением в λ раз без изменения направления. Если λ < 0, тогда следует растянуть в | λ | раз и изменить направление на противоположное.
Свойства:
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ;
6. .