8.2. Теорема Ролля

Если f(x) определена и непрерывна на отрезке , дифференцируема на и на концах принимает одинаковое значение f(а) = f (b), то существует c , в которой .

Доказательство. Т.к. f(x) непрерывна на , то она имеет max=М и min=m. Если m=М, то f = const и у′=0 в любой точке промежутка. Пусть m < М, т.к. f(a)=f(b), тогда хотя бы одно из значений m и М не достигается на границе, т.е. существует c , в которой f(x) принимает max или min. Т.к. f(x) дифференцируема на , то по теореме Ферма .

8.3. Теорема Лагранжа

Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке , дифференцируемая на . Тогда существует , такая, что .

Доказательство. Введем вспомогательную функцию . Эта функция удовлетворяет всем 3-м условиям теоремы Ролля.

1. F(х) непрерывна на , т.к. непрерывна f(x).

2. F´(х)= f´(х) – .

3. F(а) = 0 и F(b) = 0, т.е. F(а) = F(b).

По теореме Ролля существует такая, что , т.е. f′(с)= = или .

Это можно записать: – формула конечных приращений

8.4. Теорема Коши

Пусть f(x) и g(x) непрерывна на и дифференцируема на , причем g´(х) ≠ 0. Тогда существует c ,такая, что .

Доказательство. Покажем, что g (в)≠g(а). Если g (в)=g(а), то по теореме Ролля существует , в которой g´(d)=0, но это противоречит условию g´(x)≠0.

Рассмотрим вспомогательную функцию: . Эта функция удовлетворяет т. Ролля: F(x) – непрерывна, , , тогда , т.е. или ·

8.5. Правило Лопиталя

Теорема (правило) Лопиталя . Пусть функции f(х) и g(х) определены и дифференцируемы на промежутке , , и существует предел . Тогда и .

Доказательство. Пусть f(а) = g(а) = 0, тогда по т. Коши:

, т.к. g´(x) ≠ 0.

Если х→а, то и с→а, поэтому = =k.

Замечание. Теорема справедлива, если х→ ± , = ∞ и .

1. . Пример

2) . ;

3) .

.

4) . .

5)

.

8.6. Формулы Тейлора и Маклорена

Рассмотрим формулу Тейлора для многочленов. Пусть – многочлен степени n. Продифференцируем его n раз: … , . Положим , тогда , , , … , . Подставим в исходный многочлен: . Можно использовать разложение многочлена по степеням x – a, положив , , тогда получим: . Это формула Тейлора, если – формула Маклорена.

Рассмотрим произвольную функцию , имеющую в окрестности точки производную. Для функции составим многочлен . Этот многочлен и его производные в точке имеют те же значения, что и и ее производные, тогда , т.е. , где – погрешность представления производной функции по формуле Тейлора. Если , то получаем формулу Маклорена.

Глава 9. Приложения производной

9.1. Интервалы монотонности. Признаки экстремума

Множество точек (х;у) координатной плоскости ХОУ, координаты которых связаны уравнением , называется графиком данной функции.

По производной функции можно судить о возрастании (убывании) самой функции. Напомним, что f(x) называется возрастающей в некотором интервале, если для любых х₁ и х₂ из этого интервала из неравенства х₂>х₁ следует неравенство f(x₂)>f(x₁). Убывающей: х₂>x₁ => f(x₂)<f(x₁).

Теорема. Пусть f(x) определена на отрезке [а,b] и имеет непрерывную производную f’(x) внутри отрезка. Чтобы f(x) была возрастающей (убывающей), достаточно f’(x)>0 (f’(x)<0).

Рассмотрим возрастание. Возьмем два значения х₁ и х₂ ( ) из [a,b] и применим формулу Лагранжа: . Так как f’(c)>0, и х₂ > х₁ ,то f(x₂)>f(x₁) – возрастающая. Аналогично – убывающая.

Геометрический смысл – производная – угловой коэффициент касательной. Значение коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз.

Экстремумы функции

Функция f(x) имеет в т. х₀ максимум, если , где – достаточно малая по величине. Функция f(x) имеет в т. х₀ минимум, если .

Если в т. х₀ f(x) имеет max или min, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум.

Необходимое условие экстремума. Если существует конечная производная, то по теореме Ферма f’(x)=0.

Экстремумы необходимо искать в тех точках, где f’(x)=0 или не существует. Такие точки называются стационарными (критическими).

Если допустить, что в отдельных точках нет конечной производной, то следует отнести к критическим и эти точки. Критические точки следует проверить, в них необязательно экстремум (у=х³, y’=3x², x=0, нет экстремума).

Первый достаточный признак экстремума.

Пусть т. х₀ является критической для f(x) , а f(x) непрерывна и дифференцируема во всех точках некоторого интервала, содержащего эту точку (за исключением, возможно, самой точки х₀). Тогда возможно:

1. при х<x₀ и при x>x₀, то есть производная при переходе через т. х₀ меняет знак с «+» на «–». Тогда при x<x₀ f(x) возрастает, а при x>x₀ (в данном интервале) убывает, значит, значение f(x₀) будет наибольшим – в т. х₀ f(x) имеет max.

2. при x<x₀, при x>x₀, то есть с «–» на «+» – min.

3. f’(x) не меняет знак при переходе через х₀. Тогда f(x) либо возрастает, либо убывает, экстремума нет.

Второй достаточный признак экстремума.

Пусть х₀ – критическая точка и , f(x) имеет вторую производную в интервале и в самой т. х₀. Тогда, если – max, – min.

По определению производной: . Если , то дробь > 0. При x<x₀ знаменатель <0, (убывает) и при x>x₀ знаменатель >0 (возрастает) – min по первому признаку. Аналогично – max, если .

Исследования по второму признаку производят редко.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает max и min значения. Этих значений f(x) достигает или в критических точках или на концах отрезка.

Правило. Чтобы определить наибольшее и наименьшее значения f(x) на отрезке, надо:

1. Определить критические точки, принадлежащие ;

2. Вычислить значение функции в этих критических точках и на концах отрезка;

3. Выбрать наибольшее и наименьшее значения из полученных чисел.