9.2. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба

Кривая обращена выпуклостью вниз, если на интервале(a,b) она лежит выше касательной, проведенной в любой точке (вверх, если ниже касательной).

Дуги кривой, называют выпуклыми на интервале (a,b) , если они лежат ниже касательной, проведенной в любой точке (a,b). Дуги кривой называют вогнутыми на (b,c), если они лежат выше касательных.

Правило. Интервалы, в которых кривая выпуклая, определяются из неравенства f’’(x)<0, а интервалы, в которых вогнутая из неравенства f’’(x)>0.

Точка перегиба – точка, отделяющая ее выпуклую дугу от вогнутой. Точки перегиба следует искать среди точек, в которых f’’(x)=0, f’’= или f’’ не существует.

При х=х₀ перегиб будет в том случае, когда при переходе через эту точку f’’(x) меняет знак.

9.3. Асимптоты графика функции

Прямая l называется асимптотой кривой, если расстояние d от переменной точки M кривой до этой прямой при удалении т. М в бесконечность (от начала координат) стремится к нулю.

Различают вертикальные и наклонные асимптоты.

1. Вертикальная: кривая имеет вертикальную асимптоту x=a, если . Необходимо отыскать те значения аргумента, при которых f(x) .

2. Наклонные: ищем асимптоту в виде y=kx+b. Найдем k и b.

Очевидно, что =0, или , так как , то , но , тогда , . Необходимо рассматривать случай (и Лопиталь). Если предел не существует, то асимптот нет. Иногда существует две асимптоты: и и аналогично b₁ и b₂.

Общий план исследования функции и построения графика.

1. Определение области существования функции.

2. Четность, нечетность функции.

3. Точки пересечения с осями, интервалы знакопостоянства.

4. Асимптоты.

5. Интервалы возрастания и убывания.

6. Экстремумы.

7. Интервалы выпуклости и вогнутости.

8. Точки перегиба.

Пример 1. у=16х³ + 12х² – 5

1. область существования – весь интервал .

2. f(-x)=16(-x)³+12(-x)²-5- общего вида [f(x) ]

3. точек разрыва нет.

4. асимптоты - нет.

5. y’=48x²+24x=24x(2x+1) убывает возрастает.

6. при переходе через х = –1/2 y’ меняет знак с «+» на «-» – max. y(–1/2)=–4, x=0 – min.

7. y’’=4x+1. y’’=0, x=-1/4. y’’<0 при – выпуклая,

y’’>0 при – вогнутая.

50