2.5. Решение произвольных слау

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

Для решения произвольной системы алгебраических уравнений необходимо вычислить ранг матрицы системы r(А). Если он совпадает с рангом расширенной матрицы, то система имеет решение. Считаем, что базисный минор расположен в первых r строках и столбцах системы. Уравнения, соответствующие базисным строкам, назовем базисными уравнениями. Неизвестные, соответствующие базисным столбцам, назовем главными, а остальные – свободными. Система линейных уравнений эквивалентна системе своих базисных уравнений.

Если r = n, то система имеет единственное решение по теореме Кронекера–Капели. Если r < n, то перенесем в правую часть все члены, кроме тех, которые содержат r главных неизвестных. Свободным неизвестным придадим числовые значения . Тогда получившуюся систему r уравнений с r неизвестными решаем по формулам Крамера или методом Гаусса и находим: . Тогда вектор является решением базисной системы, а также решением исходной системы в силу их эквивалентности.

Если ранг системы r меньше числа неизвестных n, то система имеет бесконечно много решений, при этом r неизвестных (главных) линейно выражаются через (n-r) свободных неизвестных. Сформулируем правило решения произвольной системы.

1. Вычисляя ранги основной и расширенной матриц системы, выясняем вопрос о е совместности. Если система совместна, то находят какой-либо базисный минор порядка r.

2. Берется r уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор, остальные уравнения отбрасывают. Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, считают главными и оставляют слева, а остальные (n – r) – свободными и переносят в правую часть уравнений.

3. По формулам Крамера или методом Гаусса находим выражения главных неизвестных через свободные. Полученные равенства представляют собой общее решение системы.

4. Придавая свободным неизвестным любые числовые значения, определяют значения главных неизвестных и находят частные решения системы.

Если положить, что свободные неизвестные равны нулю, то мы получим базисное решение. Базисных решений обычно несколько. В общем случае их число равно – это число сочетаний из n элементов по r: .

Пример 2.3. Найти общее решение системы:

Запишем расширенную матрицу системы, методом Гаусса, исключим неизвестные:

. Ранг системы равен 2. Поскольку главный минор второго порядка отличен от нуля, выберем в качестве главных неизвестных и , а неизвестные и будем считать свободными. Запишем систему в виде: ; , преобразуем первое уравнение:

.

Тогда общее решение системы: .

2.6. Системы однородных уравнений

Если все свободные члены системы равны нулю, то такие системы называется однородными.

Рассмотрим однородную систему:

Очевидно, что всякая однородная система имеет нулевое (тривиальное) решение: .

Для того чтобы система однородных линейных уравнений имела не тривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных.

Теорема. Если вектор является решением однородной системы, то и любая линейная комбинация также является решением этой системы.

Совокупность всех решений однородной системы образует линейное пространство, имеющее размерность, равную n – r. Любая совокупность из (n – r) линейно независимых решений образует базис и называется фундаментальной совокупностью решений. Иначе, фундаментальной совокупностью решений для системы однородных линейных уравнений называется система линейно - независимых решений, через которую линейно выражаются любые решения этой системы.

Теорема. Общее решение однородной системы ранга r с n неизвестными имеет вид: , где – это любые частные линейно независимые решения этой системы, – это произвольные числа.

Особо выделяют фундаментальную совокупность решений, отвечающему простейшему базису . Чтобы построить фундаментальную систему решений, выбирается определитель единичной матрицы порядка (n-r) . Свободным неизвестным предает поочередно значения, равные элементам первого, второго и т.д. столбцов, каждый раз вычисляя соответствующие значения главных неизвестных. Полученные (n – r) частных решений будут линейно независимые и образуют фундаментальную совокупность решений.

Общее решение неоднородной системы можно получить, если к любому частному решению этой системы прибавить общее решение соответствующей однородной системы.