7.4. Производные тригонометрических функций

а) y = sin x.

Воспользуемся схемой нахождения производной:

y=sin(x+ x) – sin x = 2 sin cos(x+ ). =

y'= .

(учли первый замечательный предел и непрерывность функции cos х).

Итак, и

б) y = cos x. .

и

в)

, т.е.

и

г) ; .

; .

7.5. Производная обратных тригонометрических функций

а) , где и .

Обратная функция имеет вид , причем , если .

Используем правила дифференцирования обратной функции

.

При производная не существует.

Итак, и .

б) . Поскольку , то ; .

Аналогично, ; .

; .

7.6. Производная показательной, логарифмической и степенной функций

Производная показательной функции

а) у = е^х.

Прологарифмируем обе части равенства по основанию е, получим ln у = х. Дифференцируя обе части по переменной х и учитывая, что ln у – сложная функция, получим (ln y)'=x ' или =1, откуда у' = у, т.е. (е^х)' = е^х и (е^u)' = е^u ·и' .

Заметим, что кривая у= е^х, называемая экспонентой, обладает отличающим только ее свойством: в каждой точке х ордината кривой у=е^х равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к кривой в этой точке: e^х = tgα.

б) y=а^x.

y'=(a^х)'=[(e^{ln a})^х]'=(e^{x·ln a})' и по правилу дифференцирования сложной функции .

Итак, (a^х)'= а^х· lп а и (a^u)' = а^u· lп а· и'.

в) ; = . .

г) Производная степенной функции

Теперь мы можем доказать формулу производной степенной функции у = хⁿ для любого n. Действительно, ln y= n·ln х. Дифференцируя обе части равенства, получим , откуда у'=пу =пхⁿ =nх^n-1, (хⁿ)' = пх^n-1 и (иⁿ)' = пи^n-1· и'.

Таблица производных

№ п/п	Функция у	Производная	№ п/п	Функция у	Производная
1		0	14
2		1	15
3			16
4			17
5			18
6			19
7			20
8			21
9			22
10			23
11			24
12			25
13

7.7. Производная гиперболических функций

Г иперболический синус:

Гиперболический косинус:

Гиперболический тангенс:

Гиперболический котангенс:

и т.д. аналогия с тригоном.

1. 

2. 

3. 

4.