- •1. Рациональные уравнения и методы их решения
- •Методы их решения
- •1. Использование области определения уравнения.
- •2. Разложение на множители.
- •3. Замена переменной.
- •Функциональные методы
- •4. Использование ограниченности функций.
- •5. Использование монотонности функций.
- •2. Рациональные неравенства и методы их решения
- •Алгебраические неравенства.
- •3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
- •Основные свойства модуля:
- •I тип уравнений
- •II тип уравнений
- •III тип уравнений
- •IV тип уравнений
- •V тип уравнений
- •VI тип уравнений
- •4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
- •1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
- •2 Способ. Использование свойства модулей: модули противоположных чисел равны.
- •3 Способ: Использование определение модуля числа.
- •4 Способ: Решение неравенства на интервалах
- •5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
- •Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
- •7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
- •Системы и совокупности уравнений
- •8. Системы и совокупности неравенств
- •Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- •9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
- •10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- •11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
- •12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- •13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
- •14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- •15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- •16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- •17 . Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
- •18. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
- •19. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- •20. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
- •21. Основные тригонометрические функции, их свойства, графики
- •22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
- •1. Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд. Свойства секущих и касательных к окружности. Измерение углов, связанных с окружностью
- •Свойства хорд
- •2. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
- •3. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
- •4. Прямая Эйлера
- •5. Окружность Эйлера
- •6. Вневписанная окружность.
- •7. Центроид треугольника
- •8. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
- •9. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
- •10. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
- •11. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
- •12. Теорема Пифагора для четырехугольников.
- •13. Теорема Птолемея.
- •14. Методы геометрических преобразований. Симметрия. Поворот. Параллельный перенос. Подобие. Гомотетия.
- •15. Метод площадей.
- •1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
- •2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
- •3.Методы построения сечений многогранников.
- •4.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями. Двугранный угол. Измерение двугранных углов.
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Многогранный угол. Трехгранный угол. Их свойства.
8. Системы и совокупности неравенств
Говорят, что несколько неравенств образуют систему, если нужно найти все общие решения данных неравенств. Решением системы неравенств называется число, которое при его подстановке в систему обращает каждое неравенство в верное числовое неравенство. Традиционно неравенства системы объединяются фигурной скобкой.
(самостоятельно привести примеры)
Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность, если необходимо найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств. Традиционно совокупность неравенств обозначается квадратной скобкой.
Для решения совокупности неравенств нужно взять все x, которые удовлетворяют хотя бы одному из данных неравенств.
(самостоятельно привести примеры)
Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
-
Метод подстановки. В каком-либо неравенстве выражаем одну неизвестную через другую и подставляем в другое неравенство с целью исключения одной неизвестной.
-
Метод сложения. В результате умножения одного из неравенств системы на число и прибавления ко второму неравенству, получается равносильная система. Метод используют с целью, чтобы в результате сложения одна из неизвестных исчезла или было получено более простое неравенство.
-
Графический метод. Строят графики функций (или кривые), которые соответствуют уравнениям системы. Находят координаты точек пересечения этих графиков. Данным метод решения не всегда дает точное решение.
Эти приемы обобщаются на решение систем с большим количеством уравнений и неизвестных.
-
Метод интервалов
9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком корня или под дробным показателем. (В этом параграфе термин «корень» будет соответствовать операции извлечения корня с определенным показателем, в отличие от термина «решение»).
Основной метод решения таких уравнений – возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, чтобы корни исчезли. Иногда приходится возводить в степень несколько раз. При этом следует анализировать, какие корни надо оставлять в левой части уравнения, а какие корни перенести в правую часть (если корней несколько). От этого часто зависит рациональность решения.
Поскольку корни нечетной степени определены для любых по знаку подкоренных выражений и принимают любые по знаку значения, то возведение уравнения в нечетную степень является равносильным преобразованием (т. е. мы не теряем решений и не получаем посторонних).
Корни с четным показателем определены для f(x) 0. Возведение уравнения, содержащего такие корни, в четную степень может изменить ОДЗ уравнения и привести к посторонним решениям. В таком случае итоговым моментом в решении уравнения является проверка полученных решений подстановкой в заданное уравнение. Проверка решения по ОДЗ такого уравнения недостаточна.
ОДЗ иррационального уравнения следует находить в том случае, если предполагается, что она состоит только из нескольких чисел или может быть пустым множеством. Если ОДЗ состоит из одного, двух и т. д. чисел, то уравнение можно не решать, а эти числа проверять (являются ли они решением) подстановкой в заданное уравнение.
Если ОДЗ есть пустое множество, то уравнение не имеет решений.
При решении иррациональных уравнений используют также метод замены переменной и другие методы.
Если имеется уравнение вида где с 0, то оно не имеет решений, так как корни с четным показателем понимаем в арифметическом смысле, т. е. как неотрицательные.
Некоторые типы иррациональных уравнений
Пусть далее – некоторые выражения с неизвестной х,
I тип: уравнение вида (1). Возведение в -ю степень приводит к равносильному уравнению
Уравнение (2) после возведения в -ю степень сводится к равносильному уравнению
Уравнение (3) после возведения в степень 2n приводит к уравнению-следствию (4)
Найденные корни уравнения (4) проверяют подстановкой в уравнение (3) и отбирают те из них, которые удовлетворяют уравнению (3).
Уравнение (5) после возведения в степень 2n сводится к уравнению-следствию (6)
Корни уравнения (5.6) необходимо проверить подстановкой в уравнение (5).
II тип: уравнение вида (7) где
1-й способ. Необходимо возвести уравнение (7) в квадрат. В определенных случаях следует один из корней перенести в правую часть уравнения. После упрощения полученное уравнение возводят в квадрат еще раз.
2-й способ. Умножение уравнения (7) на сопряженное выражение
Отдельно проверяют, имеет ли решение уравнение h(x) = 0. Затем для h(x) 0 рассматривают систему
Сложение уравнений этой системы приводит к уравнению вида (3).
3-й способ. Замена переменных
и переход к системе уравнений относительно u, v.
Уравнение (8) где a, b R, возведением в куб обеих частей сводится к уравнению (9)
Выражение в скобках (в левой части уравнения (5.9)) заменяют на используя заданное уравнение. В итоге заданное уравнение (8) приводится к уравнению-следствию, которое снова возводят в куб.
Полученные таким образом решения необходимо проверить подстановкой в уравнение (8).
III тип: уравнения, решаемые заменой переменной.
В результате замены может уменьшиться степень выражений, стоящих под корнями, что приведет к уменьшению степени рационального уравнения после избавления от корней.
Если уравнение имеет вид (10) где F – некоторое алгебраическое выражение относительно то заменой оно сводится к уравнению (11)
После решения уравнения (5.11) возвращаются к старой переменной и находят решения уравнения (10).
IV тип: уравнения, решаемые исходя из арифметического смысла корней с четными показателями. В частности, решение уравнения (12)
где a > 0, b > 0, сводится к решению системы
V тип: уравнения, решаемые функциональными методами и методами, основанными на ограниченности входящих в уравнение функций.
Решение уравнений основывается на следующих утверждениях.
1. Если и для всех , то на множестве X уравнение f(x) = g(x) равносильно системе уравнений
2. Если функции f(x) и g(x) непрерывны и f(x) возрастает, а g(x) убывает для x X, то уравнение f(x) = g(x) имеет не больше одного решения на промежутке X. Если один корень подобрать, то других корней нет.
3. Если f(x) – возрастающая функция, то уравнение равносильно уравнению
4. Если f(x) – возрастающая (убывающая) функция, то уравнение равносильно уравнению