14. Методы геометрических преобразований. Симметрия. Поворот. Параллельный перенос. Подобие. Гомотетия.

Определение. Движением называется преобразование (т.е. взаимно однозначное отображение плоскости на себя), при котором рас­стояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их обра­зами. Из определения сразу вытекают свойства движений.

1. Движение переводит любую прямую в прямую.

Доказательтво. Пусть точки А, В, С лежат на одной прямой. Тогда АВ + ВС = АС. Из определения движения следует, что образы А', В', С' точек А, В, С удовлетворяют условию А'В' + В'С' = А'С, т. е. точки А', В', С также лежат на одной прямой.

2. Движение переводит любой угол в равный угол.

Доказательство. Из предыдущего свойства следует, что /АОВ переходит при движении в /А'О'В', где А', О', В' — образы точек А, О, В. Но треугольники АОВ и А'О'В' равны по трем сторонам, следователь­но, /АОВ = /А'О'В'.

Симметрия

Определение. Симметрией относительно прямой I называется преобразование, переводящее каждую точку А в такую точку А', что пря­мая I перпендикулярна отрезку АА' и проходит через его середину.

Рис. 6

Утверждение. Симметрия является движением.

Доказательство. Пусть точки А, В переходят в А', В'. Рассмот­рим три случая. 1. Отрезок АВ параллелен прямой I. Тогда АВ = А'В', так как АВВ'А' — прямоугольник. 2. Отрезок АВ перпендикулярен прямой I. Искомое равенство получается непо­средственным вычислением. 3. Отре­зок АВ непараллелен и неперпендикуля­рен прямой I. Опустим на прямую ВВ' перпендикуляры АС и А'С. Нетрудно убедиться, что точки С и С' симметрич­ны относительно I. Из рассмотрения двух первых случаев следует, что АС = А'С, ВС = В'С'. Поэтому АВ = А'В' как ги­потенузы равных треугольников АВС и А'В'С'.

Теорема 1. Любое подобие, сохраняющее ориентацию, с коэф­фициентом к, отличным от 1, является композицией гомотетии с центром в некоторой точке О и коэффициентом к и поворота вокруг точки О (иногда такое преобразование называется спиральным подобием).

Доказательство. Прежде всего отметим, что справедливо утверждение, обобщающее лемму о двух гвоздях: для любых двух пар различных точек А, В и А', В' существует ровно два подобия, переводящих А в А₁ и В в В₁. Коэффициент этих подобий равен к = А'В / АВ из них сохраняет ориентацию, а другое меняет. Доказательство этого утверждения полностью повторяет доказательство леммы. Пусть теперь данное подобие переводит точки А, В в А', В'. Если отрезки АВ и А'В' параллельны, данное подобие является гомотетией с центром в точке О пересечения прямых АА' и ВВ' (точки А и В можно выбрать так, чтобы эти прямые не совпадали). В противном случае опишем окружности вокруг треугольников АВО и А'В'Б и найдем вторую точку О их пересечения (если окружности касаются, точки О и О совпадают). Рассмотрев различные случаи расположения точек А, В, А', В', О, О и сравнив углы ОАВ,

ОйВ, ОБВ', ОА'В', убеждаемся, что углы ОАВ и ОА'В' равны (рис. 14). Аналогично равны углы ОВА и ОВ'А', и, значит, композиция гомотетии с центром О и коэффициентом к и поворота вокруг точки О на угол АОА' переводит А в А', а В в В', т. е. совпадает с данным подобием. Теорема доказана.

Теорема 2. Любое подобие с коэффициентом не равным 1, меня­ющее ориентацию, можно представить в виде композиции гомотетии с цен­тром в некоторой точке О и симметрии относительно прямой, проходящей через О.

Доказательство. Покажем прежде всего, что данное подобие имеет неподвижную точку. Из теоремы Шаля следует, что оно является композицией гомотетии с центром в произвольной точке и скользящей симметрии. Но композиция гомотетии и парал­лельного переноса в силу предыдущей теоремы будет гомотетией с тем же коэффициентом, поэтому достаточно рассмотреть подобие, яв­ляющееся композицией гомотетии с центром в точке М и коэффициентом к и симметрии относительно прямой I, не проходящей через М. Проведем через М прямую, перпендикулярную прямой I, и введем на ней координаты, так чтобы координата точки М была равна нулю, а координата точки ее пересечения с I единице. Гомотетия с центром в М переводит точку с р_ис 15 координатой х в точку с координатой кх, а симметрия относительно I переводит точку с координатой кх в точку с координатой 2 — кх. Уравнение х = 2 — кх имеет единственное решение, определяющее неподвижную точку О. Возьмем теперь произвольную точку А, отличную от О, и ее образ А'. Композиция гомотетии с центром в точке О и коэффициентом к и симметрии относи­тельно биссектрисы угла АОА' переводит А в А' и оставляет О на месте, т. е. совпадает с данным подобием (рис. 15). Теорема доказана.

Из теорем 1, 2 следует, что любое подобие, не являющееся движением, имеет ровно одну неподвижную точку. Рассмотрим несколько задач на по­добие.

Определение. Подобием называется преобразование, при кото­ром для любых двух точек А и В отношение расстояний между их обра­зами А' и В' к расстоянию между самими точками равно одному и тому же числу: А'В' = к • АВ. Число к > 0 называется коэффициентом подо­бия. Из определения сразу следует, что подобия образуют группу. Дей­ствительно, композиция подобий с коэффициентами к и к2 будет подоби­ем с коэффициентом к₁к₂, а преобразование, обратное подобию с коэффи­циентом к, — подобием с коэффициентом 1/к. Важным частным случаем подобия является гомотетия.

Определение. Гомотетией с центром в точке О и коэффициен­том к, отличным от нуля, называется преобразование, переводящее каж­дую точку А в точку А', лежащую на прямой ОА и удовлетворяющую усло­вию ОА' = к • ОА. При к > 0точки А и А' лежат по одну сторону от точки О,

В' при к < 0 по разные. Отметим, что гомотетия с коэффициентом к = — 1 является центральной симметрией. То, что гомотетия является подобием, почти оче­видно. Действительно, если точ­ки А, В переходят в точки А', В', то треугольники ОАВ и ОА'В' подобны и, значит, А'В' = к • АВ (рис. 13). С другой стороны, ес­ли дано произвольное подобие с коэффициентом к, то композиция этого подобия и гомотетии с про­извольным центром и коэффициентом 1/к будет движением. Поэто­му данное подобие можно представить как композицию этого движе­ния и гомотетии с центром О и коэффициентом к. При этом за счет выбора центра гомотетии можно добиться того, что движение будет иметь достаточно простой вид. А именно, верны следующие утвер­ждения.

Теорема 1. Любое подобие, сохраняющее ориентацию, с коэф­фициентом к, отличным от 1, является композицией гомотетии с центром в некоторой точке О и коэффициентом к и поворота вокруг точки О (иногда такое преобразование называется спиральным подобием).

Определение.

Параллельным переносом на вектор n называ­ется преобразование плоскости, которое каждую точку А переводит в та­кую точку А', что АА' = n . То, что параллельный перенос является дви­жением, почти очевидно. Действительно, если точки А, В переходят соот­ветственно в А', В', то из определения параллельного переноса следует, что АА'В'В — параллелограмм и АВ = А'В'. Отметим, что фактически мы доказали более сильное свойство.

Утверждение.

При параллельном переносе любой вектор АВ пе­реходит в равный вектор А'В'.

Следствие.

При параллельном переносе любая прямая переходит в параллельную прямую. Отметим еще два свойства параллельных пере­носов, непосредственно вытекающие из определения.

1. Композиция параллельных переносов на векторы т и п есть па­раллельный перенос на вектор т + п.

2. Преобразование, обратное к параллельному переносу на вектор п есть параллельный перенос на вектор n Таким образом, множество всех параллельных переносов является группой.

Поворот

Определение. Поворотом вокруг точки О на угол <р называется преобразование плоскости, переводящее каждую точку А в такую точку А', что ОА = О А' и угол между лучами ОА и О А' (т. е. угол, отсчитываемый против часовой стрелки от луча ОА к лучу ОА') равен у.

Утверждение. Поворот является движением.

Доказательство. Пусть точки А, В переходят соответственно в точки А', В'. Так как /АОА' = /ВОВ', мы заключаем, что /АОВ = = /А'ОВ'. Поэтому треугольники АОВ и А'ОВ' равны по двум сторонам и углу между ними, и, значит, АВ = А'В'. Очевидно, что поворот на угол 2п является тождественным преобразованием. Поэтому всегда можно счи­тать, что 0 ^ у < 2п. Отметим свойства поворота.

1. Если прямая а при повороте на угол у переходит в прямую а', то один из углов между а и а' равен у при 0 ^ у < п и у — п при п ^ у < 2п.

Доказательство. Если прямая а проходит через центр поворо­та О, утверждение очевидно. В противном случае опустим на а перпен­дикуляр ОА и построим образ А' точки А. Так как движения сохраняют величины углов, обра­зом прямой а будет прямая а', проходящая че­рез А' и перпендикулярная ОА'. Из свойств углов с перпендикулярными сторонами вытекает иско­мое свойство (рис. 3).

2. Композиция поворотов вокруг точки О на углы а и в есть поворот вокруг О на угол а + в (или а + в — 2п).

3. Преобразование, обратное к повороту во­круг точки О на угол у, есть поворот вокруг О на угол 2п — у.

Свойства 2—3 непосредственно следуют из определения поворота. Они означают, что все повороты с данным центром образуют группу. Поворот на угол п называ­ется центральной симметрией. Из свойства 1 вытекает, что центральная симметрия переводит любую прямую в параллельную.