7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений

Системой уравнений называется несколько совместно рассматриваемых уравнений, для которых требуется найти значения всех содержащихся в них неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем этим уравнениям.

Решением системы уравнений называется упорядоченный набор значений неизвестных, удовлетворяющий одновременно всем уравнениям системы.

Совместной называется система уравнений, имеющая решения. Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Основные методы решения систем двух уравнений с двумя неизвестными

1. Метод подстановки. В каком-либо уравнении выражаем одну неизвестную через другую и подставляем в другое уравнение с целью исключения одной неизвестной.

2. Метод сложения. В результате умножения одного из уравнений системы на число и прибавления ко второму уравнению, получается равносильная система. Метод используют с целью, чтобы в результате сложения одна из неизвестных исчезла или было получено более простое уравнение.

3. Метод умножения (деления). Если свободные члены не равны нулю, то одно из уравнений системы можно заменить уравнением, которое получено в результате почленного умножения (деления) заданных уравнений системы.

4. Метод замены переменных. Если уравнения системы содержат одинаковые выражения, их заменяют новыми переменными. Замену производят в двух уравнениях сразу или решают вначале отдельно заменой одно уравнение системы (вводя одну неизвестную), а затем возвращаются к решению системы.

Заменой переменной решают, в частности, симметрические системы – это такие системы, которые не изменяются, если неизвестные взаимно заменить одна другой (т.е. они входят в систему одинаково). Для решения таких систем делают стандартную замену

5. Графический метод. Строят графики функций (или кривые), которые соответствуют уравнениям системы. Находят координаты точек пересечения этих графиков. Данным метод решения не всегда дает точное решение.

Эти приемы обобщаются на решение систем с большим количеством уравнений и неизвестных.

Системы и совокупности уравнений

Система уравнений. Задана система двух уравнений с одной переменной, если требуется найти все значения переменной. при которых оба уравнения системы обращаются в верные равенства.

Решение системы уравнений. Решением системы уравнений называют значение переменной, образующие оба уравнения системы в верные числовые равенства.

Совокупность уравнений. Задана совокупность двух уравнений с одной переменной, если требуется найти все такие значения переменной, при каждом из которых хотя бы одно из уравнений совокупности обращаются в верное числовое равенство.

Решение совокупности уравнений. Решением совокупности уравнений называют значение переменной, образующее хотя бы одно из уравнений совокупности в верное числовое равенство.