17 . Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.

Опр. Если для каждого значения а ∊ А решить уравнение F(x;a)=0 относительно x,то это уравнение наз. уравнение с переменной х и параметром а.(множество А-область значения параметра. Если про множество А ничего не сказано ⇨ а ∊ R ,и можно найти все значения

a,при переходе через которой произошло качественное изменение - наз. контрол. ⇨ решить уравнение с параметром –это значит найти такие контрольные а ,при переходе через которые существенно меняются корни уравнения.) Каждое уравнение вида F(x;a)=0 можно рассматривать как уравнение с параметром. Решить уравнение с параметром означает, для каждого допустимого значения параметра найти множество решений уравнения ,или доказать что решений нет.

Линейное уравнение в зависимости от значения параметра а могут иметь: 1) единственное решение 2) бесконечно много решений 3) не иметь решений.

Для того, чтобы решить уравнение с параметром необходимо:

1)определить тип уравнения.

2)привести уравнение к стандартному виду.

3)исследовать решение уравнения, согласно с теорией решения уравнения определенного вида.

Основными методами решения с параметрами является: аналитический , графический (функциональный) и комбинированный.

Cтандартный вид: ax+b=0 (1)

1)когда а≠0,то единственный корень х=

2)когда 3)когда ⇨ решений нет

Пр1. 1+x=ax (аналитический метод)

x-ax=-1

x(1-a)=-1

н.з : a=1 0·x=-1 ·Ø

a x

Ответ : при a=1, x

18. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами

Квадратные уравнения с параметром.

Функция вида (- квадратный трехчлен), где , в школьном курсе математики придается большое значение. Для нее строго доказываются все свойства, нужные в теории и для решения задач.

Безукоризненное знание необходимых свойств квадратного трехчлена требуется от каждого абитуриента, так как квадратный трехчлен с параметром часто включается в варианты письменных работ и в тесты для собеседования на вступительных экзаменах в ВУЗы. Как правило, большая часть абитуриентов с этими задачами не справляется. Значит, им надо уделять больше внимания на факультативных занятиях в школе, на страницах печати.

При решении таких задач приходится работать с тремя типами моделей:

вербальная модель – словесное описание задачи;
геометрическая модель – график квадратичной функции;
аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.

Важно уметь устанавливать связь между этими моделями. Например, если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз, или, если , то трехчлен имеет различные действительные корни и график пересекает ось абсцисс в двух точках. График (парабола) находится ниже находится ниже оси абсцисс, следовательно, a<0 и D<0. Последнюю геометрическую модель можно описать еще тремя способами: неравенство выполняется при любом х; неравенство не имеет решений; трехчлен не имеет действительных корней и его старший коэффициент отрицателен.

Многие задачи решают по следующему алгоритмическому предписанию:

уравнение записывают в виде ;
выбирают контрольные значения параметра ( в качестве контрольных значений параметра чаще всего берут такие, что D=0, D<0, D>0, старший коэффициент квадратного трехчлена положительный, отрицательный, равный нулю и те значения параметра, при которых трехчлен становится неполным);
для каждого случая строят параболу ( геометрическую модель);
геометрическую модель описывают системой неравенств(аналитическая модель);
решают систему неравенств.