![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Рациональные уравнения и методы их решения
- •Методы их решения
- •1. Использование области определения уравнения.
- •2. Разложение на множители.
- •3. Замена переменной.
- •Функциональные методы
- •4. Использование ограниченности функций.
- •5. Использование монотонности функций.
- •2. Рациональные неравенства и методы их решения
- •Алгебраические неравенства.
- •3. Модуль числа. Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля
- •Основные свойства модуля:
- •I тип уравнений
- •II тип уравнений
- •III тип уравнений
- •IV тип уравнений
- •V тип уравнений
- •VI тип уравнений
- •4. Модуль числа. Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля
- •1 Способ. Использование геометрического смысла модуля.
- •2 Способ. Использование свойства модулей: модули противоположных чисел равны.
- •3 Способ: Использование определение модуля числа.
- •4 Способ: Решение неравенства на интервалах
- •5.Уравнения. Равносильные уравнения. Уравнения–следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •Преобразования, приводящие к равносильному уравнению
- •Теоремы о равносильных преобразованиях уравнений
- •6. Неравенства. Равносильные неравенства. Неравенства-следствия. Теоремы о равносильных преобразованиях неравенств
- •7. Системы и совокупности уравнений. Основные методы решения систем уравнений
- •Системы и совокупности уравнений
- •8. Системы и совокупности неравенств
- •Основные методы решения систем двух неравенств с двумя неизвестными
- •9. Иррациональные уравнения. Основные методы решения иррациональных уравнений
- •10. Иррациональные неравенства. Основные методы решения иррациональных неравенств
- •11. Показательные уравнения. Основные методы решения показательных уравнений
- •12. Показательные неравенства. Основные методы решения показательных неравенств.
- •13. Логарифмические уравнения. Основные методы решения логарифмических уравнений
- •14 . Логарифмические неравенства. Основные методы решения логарифмических неравенств
- •15. Основные методы решения тригонометрических уравнений
- •16. Основные методы решения тригонометрических неравенств
- •17 . Уравнение с параметрами. Решение линейных уравнений с параметрами.
- •18. Уравнения с параметрами. Решение квадратных уравнений с параметрами
- •19. Методы решения уравнения . Методы решения неравенства
- •20. Обобщающий метод интервалов для решения неравенств
- •21. Основные тригонометрические функции, их свойства, графики
- •22. Обратные тригонометрические функции, графики, свойства
- •1. Метрические соотношения в окружности. Свойства хорд. Свойства секущих и касательных к окружности. Измерение углов, связанных с окружностью
- •Свойства хорд
- •2. Окружность, вписанная в треугольник. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом вписанной окружности
- •3. Окружность, описанная около треугольника. Формулы, связывающие элементы треугольника с радиусом описанной окружности
- •4. Прямая Эйлера
- •5. Окружность Эйлера
- •6. Вневписанная окружность.
- •7. Центроид треугольника
- •8. Ортоцентр треугольника. Ортотреугольник. Свойства ортоцентра треугольника
- •9. Вписанные четырехугольники. Вписанные многоугольники
- •10. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
- •11. Теорема Пифагора. Обобщенная теорема Пифагора.
- •12. Теорема Пифагора для четырехугольников.
- •13. Теорема Птолемея.
- •14. Методы геометрических преобразований. Симметрия. Поворот. Параллельный перенос. Подобие. Гомотетия.
- •15. Метод площадей.
- •1.Свойства параллельного проектирования. Изображение плоских фигур. Требования к проекционным чертежам.
- •2. Свойства параллельного проектирования. Изображение многоугольников и тел вращения. Теорема Польке-Шварца.
- •3.Методы построения сечений многогранников.
- •4.Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых. Угол между скрещивающимися прямыми. Расстояние между скрещивающимися прямыми.
- •Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Угол между прямой и плоскостью.
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Угол между плоскостями. Двугранный угол. Измерение двугранных углов.
- •Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Многогранный угол. Трехгранный угол. Их свойства.
10. Описанные четырехугольники. Описанные многоугольники
Четырехугольник,
все стороны которого касаются окружности,
называется описанным
около
окружности, а окружность - вписанной
в
этот четырехугольник
Теорема 3. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны. Для доказательства этой теоремы воспользуемся теоремой из темы круг и окружность, которая гласит: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, т.е. ВК=ВР, СР=СН, DH=DT и АТ=АК. Суммируем стороны АВ и CD: AB+CD=(AK+KB)+(DH+HC)=AT+BP+DT+CP=(AT+TD)+(BP+PC)=AD+BC, ч.т.д.
-
В паралелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
-
Если трапеция описана около окружности, то концы боковой стороны и центр окружности являются вершинами прямоугольного треугольника
-
Рассмотрим описанную трапецию с параллельными
сторонами АО и ВС. Тогда так как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна 180°, то ВСВ + СДА = 180°. А поскольку лучи СО и ДО, где О — центр вписанной в трапецию окружности, являются биссектрисами углов ВСД и СВА соответственно, то ОСД + СДО = 90° в, таким образом, в треугольнике ДОС угол с вершиной О является прямым.
Аналогично показывается, что треугольник ВОА также является прямоугольным, а это и доказывает требуемое.
-
Если в выпуклом четырехугольнике противоположные углы равны, то в него можно вписать окружность
Пусть
в четырехугольнике
АВСД
углы
АВД
и
АСД
равны. Проведем через точки
А, В,
С окружность и предположим, что вершина
О лежит, например, внутри круга, границей
которого является проведенная окружность
(рис.а)). Продолжим отрезки ВД
и СО до пересечения с окружностью в
точках Д и 02
соответственно. Тогда
АВО
=1/2 дуги АД2Д1,
а
АСВ=
½ дуги АД2,
что приводит к противоречию, так как по
условию
АВД
= АСД.
Итак, точка
В должна
лежать на окружности или находиться
вне круга. Предположим, что она находится
вне круга (рис. б)). Обозначим через Д1
и
Д2
точки пересечения окружности с отрезками
ВД
иСО соответственно. Тогда
АВД
= ½ дуги АД1
, а
АСД
= 1/2
дуги АД2Д1
что,
как и в первом случае, также вступает в
противоречие
с условием
задачи. Вывод: точка
Д
является точкой окружности, описанной
около четырехугольника
АВСД. Обратно,
если четырехугольник
ВСВ
вписан в окружность, то равенство углов
АВД
и
АСД
следует из того, что они являются
вписанными углами, опирающимися на одну
и ту же дугу.
Т э а р э м а (аб акружнасці, упісанай у правільны многа- вугольнік). У любы правільны многавугольнік можна ўпі- саць акружнасць, і прытым толькі адну.
Дадзена: А1А2А3…Ап — правільны многавугольнік.
Даказадь: існуе пункт, роўнааддалены ад прамых, якія змяшчаюць стораны многавугольніка. Ён адзіны.
Доказ. 1. Дакажам існаванне. Няхай О — цэнтр акружнасці (рыс.
2) Адсюль вынікае, што акруж- насць з цэнтрам О і радыусам ОН1 праходзіць праз пункты Н1,
Н2 , ... Нn і датыкаецца да старон многавугольніка ў гэтых пудктах, значыць, акружнасць упісана ў разглядваемы мно- гавугольнік.
2. Дакажам адзінкавасць. Дапусцім, што побач з акруж- насцю ω (О, ОН1) ёсць і другая акружнасць, упісаная ў мно- гавугольнік А1А2... Аn. Тады яе цэнтр О1 роўнааддалены ад старон многавугольніка, г. зн.пункт О1 ляжыць на кожнай з бісектрыс вуглоў многавугольніка і, такім чынам, супадае з пунктам О перасячэння гэтых бісектрыс. Радыус гэтай акружнасці роўны адлегласці ад пункта О да старон многа- вугольніка, г. зн. роўны ОН1. Такім чынам, другая акруж- насць супадае з першай.
Вынік 1. Акружнасць, упісаная ў правільны многаву- гольнік, датыкаецца да старон многавугольніка ў іх сярэдзінах.
Вынік 2. Цэнтр акружнасці, апісанай каля правільнага многавугольніка, супадае з цэнтрам акружнасці, утіісанай у той жа многавугольнік.
Гэты пункт называюць цэнтрам правільнага многавугольніка.
Теорема 7.2. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность (около окружности описать четырехугольник) тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Доказательство.
Пусть четырехугольник ABCD описан около окружности. Точки касания окружности со сторонами четырехугольника обозначим М , N, Р, Q (рис. 7.04). По свойству касательных, проведенных из одной точки, имеем: AM = AN, MD = DQ, BP = NB, PC = CQ. Складывая эти равенства, получим AM+MD + ВР + PC = AN+NB + CQ + QD, что означает AD + + ВС = AB + CD. Итак, если четырехугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Докажем
справедливость обратного утверждения:
если в выпуклом
четырехугольнике
суммы длин противоположных сторон
равны, то в этот четырехугольник можно
вписать окружность. Пусть в выпуклом
четырехугольнике ABCD
AB
+ CD
= ВС + AD.
Если
докажем, что существует единственная
точка, равноудаленная от всех сторон
четырехугольника, то эта точка, очевидно,
будет центром окружности, касающейся
всех сторон четырехугольника. Пусть AD
= а, АВ = Ь,ВС = с, CD
= d.
По
условию a
+ c
= b
+ d,
что
равносильно с-b
= =
d-a.
Пусть
d>
а. Отложим
на большей стороне CD
меньшую
сторону DM=
а (рис.
7.05).
Так
как в этом случае с
> b,
то
также на стороне ВС
отложим
BN
= b.
Получим
три равнобедренных треугольника ABN,
AMD
и
MCN.
В
равнобедренном треугольнике биссектриса
угла при вершине является медианой и
высотой, отсюда следует, что если
провести биссектрисы углов В,
С, D,
то
они разделят пополам отрезки AN,
MN
и
AM
соответственно
и будут серединными перпендикулярами
трех сторон треугольника AMN,
а
следовательно, пересекутся в одной
точке. Обозначим эту точку О.
Она
одинаково удалена от сторон АВ
и
ВС
(лежит
на ОВ),
ВС и
CD
(лежит
на ОС),
CD
и
AD
(лежит
на OD),
следовательно,
точка О
одинаково
удалена от всех сторон четырехугольника
ABCD.
Если
d
- а, то
с = b
(рис.
7.06). Тогда биссектрисы углов BиD
совпадают
(они перпендикулярны АС
и
проходят через середину АС).
Пусть
биссектриса угла С пересекает BD
в
точке О.
Эта
точка одинаково удалена от сторон ВС
и
CD,
а
также от сторон ВС
и
ВА,
CD
и
AD,
т.е.
от всех сторон четырехугольника ABCD,
значит,
в этот четырехугольник можно вписать
окружность. Доказательство закончено.
А
Рис.
7. 06