3. Замена переменной.

Если уравнение можно представить в виде , то заменой решение исходного уравнения сводится к нахождению корней уравнения и последующему решению уравнения для каждого полученного корня.

Функциональные методы

4. Использование ограниченности функций.

Некоторые уравнения таковы, что при любом значении из области его определения левая и правая части уравнения удовлетворяют условиям и соответственно, где некоторое число. Тогда решение уравнения сводится к нахождению значений , для которых одновременно и .

Если же хотя бы одно из неравенств строго, то исходное уравнение не имеет решений.

5. Использование монотонности функций.

Если на некотором промежутке функции и , входящие в уравнение таковы, что непрерывна и возрастает, а непрерывна и убывает, то равенство возможно только при единственном значении , которое и является корнем данного уравнения на рассматриваемом промежутке. Иногда этот корень можно найти подбором.

6. Иногда корень уравнения можно найти, заметив, что функция, находящаяся в одной из его частей, является суперпозицией нескольких более простых функций.

В частности, если корень уравнения , то является также корнем уравнений и т.д.

7. Графический метод. Иногда полезно рассмотреть эскизы графиков функций и , входящих в уравнение . Этот метод, не являющийся строгим решением, может помочь установить:

а) существуют ли у данного уравнения корни и сколько их;

б) на какие множества следует разбить область определения уравнения, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения.

2. Рациональные неравенства и методы их решения

Пусть f(x)=0 ( числовая функция одного или нескольких переменных (аргументов). Решить неравенство (f(x) < 0 f(x) > 0 (1) (это значит найти все значения аргумента (аргументов) функции, при которых неравенство (1) справедливо. Множество всех значении аргумента (аргументов) функции, при которых неравенство (1) справедливо, называется множеством решении неравенства или просто решением неравенства.

Два неравенства считаются эквивалентными, если множества их решении совпадают.

Под множеством допустимых значений неизвестных, входящих в неравенство, понимают область определения функции f(x)=0.

Неравенства вида (1), составленные для различных функции f(x)=0, могут быть сведены в систему неравенств. Решить систему неравенств – это значит найти множество всех значении аргументов функции f(x), при которых справедливы все неравенства системы одновременно.

Говорят, что системы неравенств эквивалентны, если множества их решении совпадают.

Алгебраические неравенства.

Линейными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax + b > 0, ax + b < 0 (ax + b>=0, ax + b<=0)

Квадратными (строгими и нестрогими) называются неравенства вида

ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c < 0,

ax² + bx + c >= 0, ax² + bx + c <= 0, где a, b, c – некоторые действительные числа и а ≠ 0.

Квадратное неравенство ax² + bx + c > 0 в зависимости от значения своих коэффициентов a, b и c имеет решения:

при а > 0 и D = b² – 4ac ≠0 , то х принадлежит интервалу

при а > 0 и D < 0 x – любое действительное число;

при а < 0 и D ≠0 x(( –х₁ ; ;х₁ ) );

при а < 0 и D < 0 x = ( (т. е. решении нет ).

Решение неравенства ax² + bx + c < 0 сводится к решению рассмотренного неравенства, если обе части неравенства умножить на (–1).

Метод интервалов.(основной метод)

Пусть Р_n(x) ­– многочлен n–й степени с действительными коэффициентами, а c₁, c₂, … , c_i ( все действительные корни многочлена с кратностями k₁, k₂, … , k_i соответственно, причем с₁ > c₂ > …> c_i. Многочлен Pn(x) можно представить в виде Рn(x) = (x – c₁) k1(x – c₂) k₂ ( (x – c_i)k_i Qm(x), (3) где многочлен Qm(x) действительных корней не имеет и либо положителен, либо отрицателен при всех х(R. Положим для определенности, что Qm(x) > 0. Тогда при х > c1 все сомножители в разложении (3) положительны и Рn(х) > 0. Если с1 ( корень нечетной кратности (k1 ( нечетное), то при х((с2; с1) все сомножители в разложении (3), за исключением первого, положительны и Рn(х)<0. В этом случае говорят, что многочлен Рn(х) меняет знак при переходе через корень с1. Если же с1 ( корень четной кратности (k1 (четное), то все сомножители (в том числе и первый) при х((с2; с1) положительны и, следовательно, Рn(х) > 0 при х((c2; с1). В этом случае говорят, что многочлен Рn(х) не меняет знак при переходе через корень с1.

Аналогичным способом, используя разложение (3), нетрудно убедится, что при переходе через корень с2 многочлен Рn(х) меняет знак, если k2 (нечетное), и не меняет знака, если k2 (четное). Рассмотренное свойство многочленов используется для решения неравенств методом интервалов. Для того чтобы найти все решения Рn(х) > 0, (4) достаточно знать все действительные корни многочлена Рn(х) их кратности и знак многочлена Рn(х) в произвольно выбранной точке, не совпадающей с корнем многочлена.

Дробно–рациональные неравенства.

Решение рационального неравенства Pn(x)/Qn(x) > 0 (5) где Рn(х) и Qm(х) (многочлены, сводится к решению эквивалентного неравенства (4) следующим образом: умножив обе части неравенства (5) на многочлен [Qm(x)]2, который положителен при всех допустимых значениях неизвестного х (т.е. при тех х, при которых Qm(x) ( 0), получим неравенство Рn(х) ( Qm(x) > 0, эквивалентное неравенству (5).

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ

Неравенства с одной или двумя переменными можно решать графически.

Неравенство с одной переменой можно записать так: f(x) > g(x), где f(x) и g(x) – выражения, содержащие переменную.

Построим в одной системе координат графики функций y = f(x) и у = g(x).

Решение неравенства есть множество значений переменой х, при которых график функций у=g(x), так как f(x)>g(x).Это показано на рисунках 1 и 2.

Решение неравенства с двумя переменными f(x,y)>0 есть множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Рассмотрим на примерах решение некоторых неравенств с двумя переменными.

Пример 1. Решить графически неравенство x + у > 0. Решение. Запишем неравенство в виде у> –х. Построим прямую у= –х. Координаты точек плоскости, которые лежат выше этой прямой, есть решение неравенства ( на рисунке 3 – заштрихованная область).