техническая электродинам КПИ (Кривець)

В першому рівнянні Максвела, в якому (табл. 4.2 – перший рядок – без густини стороннього струму):

складових, урахуванням можливості зміни порядку диференціювання отримаємо:

Зауважимо, що в рівнянні (4.8-14) з’явилась величина, пов’язана зі швидкістю поширення

81

з урахуванням першого матеріального рівняння (п’яте – Максвелла : табл. 4.2) підставимо значення із (4.8-11), й отримаємо:

Формули (4.8-16) та (4.8-19) однакові за формою й мають назву – рівняння Даламбера. Розв‘язок цього рівняння є найлегшим для випадку точкового заряду. За цих умов ϕ(t) у

сферичній системі координат не залежить від кутів та визначається лише відстанню r від точкового заряду до точки спостереження (для спрощення запису далі аргумент t не показуємо, наприклад, замість ϕ(t) ϕ ).

Запишемо лапласіан для сферичної системи координат:

Тоді рівняння Даламбера матиме вигляд:

Перетворимо ліву частину цього рівняння, для чого введемо нову змінну н= rϕ . Диференціюванням за r отримаємо:

Підставимо (4.8-22) та (4.8-23) у (4.8-21) з урахуванням н= rϕ , й отримаємо:

82

формула (4.8-24) – хвильове рівняння – це неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних.

Нехай ρ = 0 , тоді (4.8-24) трансформується в однорідне рівняння:

Формальний розв‘язок цього рівняння має вигляд:

Звідки маємо, що аргументи функцій ϕ1 і ϕ2 відрізняються відносно аргументу функції

ϕ(t) на значення ± vr .

Хвильові процеси ϕ1 і ϕ2 поширюються з швидкістю v, або c у вільному просторі, в

протилежних напрямах із однаковими значеннями незалежно від просторових кутів в усіх фіксованих точках r.

Таким чином, розв‘язок (4.8-27) описує дві сферичні хвилі, одна із яких виходить із центру у нескінченність, а друга – із нескінченності в центр. На рис. 4.5 обвідна другої хвилі показана як відбита (або зворотня, або вторинна) від границі розподілу середовищ.

Рисунок 4.5 Обвідні прямої та відбитої хвиль

83

В нескінченому однорідному середовищі існують тільки хвилі, що поширюються від випромінювача, так звані «хвилі, що падають» (або прямі, або первинні хвилі). Через це для

Із порівняння (4.8-28) і (4.8-29) одержимо, що одиниці виміру в (4.8-28) лівої та правої частин співпадають [ B ] , якщо

Таким чином потенціал ϕ(t) , зареєстрований на відстані r, в момент часу t визначають

де r - відстань від dV до точки спостереження ϕ(t). Аналогічно для векторного магнітного потенціалу

Для гармонічних процесів зручно користуватися комплексним представленням функцій

84

У комплексному представленні:

де β = 2λπ – коефіцієнт фази, λ – довжина хвилі.

Тоді у комплексному представленні електричний потенціал, що запізнюється є таким:

– векторний магнітний потенціал, що запізнюється є таким:

МножникG e− jβr – характеризує запізнення в часі “наслідків” φ та AG від “причин”, відповідно ρ та J .

Таким чином в динамічному режимі електричний та магнітний векторний потенціали є такими, що запізнюються.

4.9Висновки

1.Будь-яка зміна заряду у часі в середині будь якого об’єму супроводжується спливанням саме такої кількості заряду через поверхню, яка обмежує цей об‘єм (принцип збереження заряду).

2.Змінний струм, на відміну від постійного струму (який має вихровий характер) допускає розрив кондуктивного кола (ланки).

3.Для опису процесів в діелектриках введено поняття струму зміщення.

4.Для складання чіткої системи рівнянь, на основі яких вирішуються всі задачі електродинаміки використані базові закони та положення, які об’єднані в систему рівнянь Максвелла.

5.В диференціальній та інтегральній формах перше рівняння Максвелла являє собою закон повного струму для провідного і непровідного середовищ (коловий закон Ампера), з якого випливає, що змінне електричне поле створює – змінне магнітне:

85

8. Четверте рівняння Максвелла показує, що магнітне поле має вихровий характер (сумарнийG магнітний заряд дорівнює нулю).

– divB (t ) = 0 – диференціальна форма,

– ∫BG(t ) dSG = 0 – інтегральна форма.

10.Рівняння Максвелла свідчать, що електричнеE (t ) і магнітнеHG (t )поля, існують у

взаємному зв’язку і утворюють єдине електромагнітне поле. Ці вектори у просторі зсунуті на 90D (в однорідному ізотропному середовищі).

11.Якщо поле є гармонічним, зручно використовувати представлення величин, у комплексній формі.

12.Якщо використовують комплексну форму представлення величин, із першого рівняння Максвелла випливає величина – комплексна діелектрична проникність ε .

13.З аналізу величини ε• випливає, що характер середовища залежить від частоти електромагнітного поля, де ωгр=σ/ε:

14.Якщо ω ωгр - середовище ближче до провідного; якщо ω >>ωгр – до діелектричного.

15.Для оцінки провідних та діелектричних властивостей середовищ використовують поняття тангенс кута втрат: tgδ =σ / ωε .

16.З рівнянь Максвелла та порівняння картин поля можна сформулювати принцип

переставноїG двоїстостіG , який полягає у можливостіG заміни у відповідних системах рівнянь: E H ; μ −ε ; Iм = −I ; ρм = −ρ , Jм = −J .

Далі потрібно з’ясувати, яким чином можна визначити енергію електромагнітного поля, її баланс, можливість розповсюдження в просторі, тощо.

86

5ЕНЕРГІЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ПОЛЯ

5.1Теорема Пойнтінга для миттєвих значень векторів поля

5.2Теорема Пойнтінга для гармонічних процесів (у комплексній формі)

5.3Уявлення процесу передавання енергії

5.4Лема Лоренца

5.5Висновки

5.1 Теорема Пойнтінга для миттєвих значень векторів поля

В1874 р. російський фізик Н.А. Умов запропонував та обґрунтував поняття густини потоку енергії стосовно механіки й довів, що перерозподіл енергії в просторі здійснюється в результаті

їїперенесення з одних областей поля в інші.

В1884 р. англійський фізик Дж. Пойнтінг запропонував та обґрунтував поняття густини потоку енергії електромагнітного поля.

З'ясуємо, яким чином розподіляється енергія цього джерела в цьому об’ємі та за його межами.

87

Рівняння (5.1-4) – теорема Пойнтінга у диференціальній формі (для миттєвих значень векторів). Всі складові характеризують густину потужності.

Звернемо увагу на першу складову лівої частини під знаком дивергенції – маємо векторний

Визначимо фізичний зміст всіх складників.

Перша група характеризує потужність сторонніх джерел електричного та магнітного,

88

Друга група характеризує теплові втрати потужності , які зосереджені в об’ємі, електричні та магнітні відповідно:

Третя група характеризує потужності електричного і магнітного полів, які зосереджені в об’ємі V , тобто потужності, що витрачаються на утворення відповідних складових електромагнітного поля:

Останній доданок – дуже важлива складова для практики електрозв’язку. Це потужність електромагнітного поля через замкнену поверхню S , яка охоплює об'єм V , в якому зосереджені сторонні джерела поля. Завдяки цьому доданку маємо можливість користуватися мобільним зв'язком, дивитися телевізійні передачі, слухати радіо і т.і., тобто це – потужність випромінення електромагнітного поля – носія інформації:

Таким чином в формулу (5.1-7) входять:

-потужність сторонніх джерел поля – перша група (5.1-8), (5.1-8а);

-потужність втрат – друга група (5.1-9), (5.1-9а);

-потужність електричного та магнітного полів, які зосередження в даному об’ємі V –

третя група (5.1-10), (5.1-10а);

-потужність електромагнітного поля (5.1-11), яка “виходить” за межі цього об’єму.

Сума цих потужностей дорівнює нулю, що свідчить про баланс миттєвої потужності в просторі.

Теорема Пойнтінга – одне з найважливіших положень електродинаміки, на основі якої буде отримана формула ідеального радіозв’язку. Якщо відоме значення вектора Пойнтінга, можна визначити потужність, яку випромінюють та приймають антени, розрахувати потужність, яка поширюється в хвилеводах, тощо.

Визначимо складову електричної енергії електромагнітного поля в об’ємі. Для цього проінтегруємо (5.1-10) за часом:

89