техническая электродинам КПИ (Кривець)

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сумский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ax = −μJx ,

2 Ay = −μJ y ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

6.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 236 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Рисунок 3.2 До визначення напрямку вектора HG : а- на площині; б- умовно в просторі

Визначимо модуль dH :

			JJJG	JJG	G^ G
	\| dHG	\|=	\|Idl\|\|1r \|sin(dl 1r )			,	(3.1 - 10)
	\| dHG	\|=				,	(3.1 - 10)
				4πr2
де sin(dlG	^
де sin(dlG	1Gr ) = sin (φ), φ – кут між напрямом			dl	та одиничним вектором .

Загальне поле за принципом суперпозиції визначають в результаті інтегрування за всіма елементами струму

Тоді рівняння для напруженості магнітного поля індукції має вигляд:

G	Idl ∞	sinϕ
\| H \|=	4π −∞∫	r2	dl .	(3.1 - 11)

Розглянемо приклад застосування закону Біо - Савара для нескінченно довгого тонкого провідника l зі струмом I . На відстані R від провідника знаходиться точка спостереження A , через яку проходять силові лінії магнітного поля (рис 3.3) розглянемо ділянку провідника dl .

∞

-∞

Рисунок 3.3 До визначення напруженості магнітного поля.

Розглянемо (3.1 - 11). Інтеграл має нескінченні межі інтегрування. Для того, щоб ці межі інтегрування були визначеними, скористаємося співвідношеннями із трикутників АВС, ВСD відповідно:

(3.2-1)

G = I G

H 2π R 1н ,

dlψ = dl sin ϕ,						(3.1-12)
dlψ =rsindψ ≈rdψ .						(3.1-13)
Після заміни dl sin ϕ (в 3.1-11) на rdψ (із 3.1-13) з урахуванням (3.1-12) та зміни границь
інтегрування, маємо
		π
H =	I	∫2		dψ	.	(3.1-14)
	4π
		−	π	r
			2

З трикутника АЕD (враховуючи, що внаслідок нескінченно малого значення dl AD=BD) маємо:

cosψ

r =

cosψ

Підставимо останній вираз в рівняння (3.1 - 14) і отримаємо :

H =

∫2 cosψdψ .

(3.1-15)

4πR

−

Після інтегрування (3.1 - 15), отримаємо вираз для напруженості магнітного поля:

H =

(3.1-16)

Визначимо вектор HG :

2π R

де 1Gн - це вектор перпендикулярний до площини з провідником із струмом та вектором r .

Таким чином встановлено, що значення напруженості магнітного поля, яку створює нескінченноG довгий провідник зі струмом I , визначають за формулою (3.1-16), напрям вектора

H визначають за дотичною до концентричних кіл навколо провідника зі струмом. Застосування закону Біо-Савара для аналізу провідника кінцевої довжини із визначеним

діаметром вимагає складного інтегрування, тому потрібен інший підхід до розрахунку магнітного поля, на підставі закону повного струму.

3.2 Закон повного струму

3.2.1 Закон повного струму в інтегральній формі

Оцінимо роботу поля з переміщення пробного заряду вздовж замкнутого контуру. Цю роботу визначають в загальному випадку інтеграломG заGконтуром:

A = ∫ F dl = qм ∫ H dl .

Контур (рис.3.4) може охоплювати струм I , а може і не охоплювати. Вважаємо, що струм

I протікає в нескінченно тонкому і довгому провіднику. Вектор dl				є дотичною до контуру,
вектор dlG - напрямлений в тому ж напрямку, що й вектор H , а dl	r	перпендикулярний до нього.
ϕ			G	визначають правилом
Напрям силових ліній вектора напруженості магнітного поля			H

свердлика.

Рисунок 3.4 Провідник із струмом: а - охоплений контуром l ; б - неохоплений контуром l

Розглянемо перший випадок, коли контур					охоплює			струм	I (рис.4.3,а). Позначимо
відстань від провідника до елемента контура dl через R й визначимо :
dl		= dlGR + dlGϕ ,							(3.2-2)
v∫	G		∫	G	G	∫	G	G
	H dl =			H dlR +			H dlϕ .		(3.2-3)

Розглянемо праву частину (3.2-3) Оскільки вектори dlR і H взаємно перпендикулярні , їх скалярний добуток дорівнює нулю ; напрями векторів dlϕ і H співпадають – добуток цих векторів дорівнює добутку їх модулів. Тому відповідно маємо :

HG	dlGR = HdlR cos(HG		^	dlGR ) = 0,
HG	dlGR = HdlR cos(HG			dlGR ) = 0,	(3.2-4)
G	G	JJG ^		G	(3.2-4)
H	dlϕ = Hdlϕ cos(H			dlϕ ) = Hdlϕ .
Тоді враховуючи, що
dlϕ R sin dϕ ,					(3.2-5)
та за умови малого кута dφ	dlϕ Rdϕ .				(3.2-5а)
	dlϕ Rdϕ .				(3.2-5а)
рівняння (3.2-3) набуває вигляду:
∫Hdlϕ	2∫π HRdϕ = HR2π .				(3.2-6)
l	0

Із урахуванням (3.1 - 16) маємо

G	G	k
∫H dl		= ∑I = IΣ .	(3.2-7)
l		n=1

Розглянемо іншу ситуацію, коли контур не охоплює провідник зі струмом. Проведемо дві прямі, що дотикаються в точках 1 та 2 контура. Тоді контур розділений на дві траекторії 1а2 та

2b1:

В цьому випадку циркуляція вектора H , є сума двох інтегралів:

v∫	G	G		I	[ ∫ dϕ+ ∫ dϕ] =0.
	H dl		=				(3.2-8)
	H dl		=	2π			(3.2-8)
l				2π	1a2	2b1

Перший інтеграл характеризує роботу поля з переміщення пробного заряду за траєкторією 1а2, а другий – за траєкторією 2b1. Оскільки кути за колами 1а2 та 2b1 однакові за значенням та протилежні за знаком в результаті маємо нуль.

Узагальнення результатів ситуацій 1 та 2 (за рис.3.4,а та рис.3.4,б) показує, що

циркуляція вектора H за замкнутим контуром дорівнює алгебраїчній сумі струмів, які охоплює цей контур.

Таким чином, закон повного струму в інтегральній формі дає можливість розв’язку прямої задачі магнітного поля.

А як бути із зворотньою задачею, тобто за даними поля знайти розподіл струмів у провіднику, які створюють це поле. Закон повного струму в інтегральній формі відповіді не дає, тому необхідно перейти до диференціальної форми.

3.2.2 Закон повного струму в диференціальній формі

Визначимо в просторі точку a(x, y, z) , де напруженість поля Hа :
Ha =iHax + GjHay +kHaz .	(3.2-9)

Рисунок 3.5 До визначення закону повного струму в диференціальній формі. Модель площини паралельної xOy ;

Розглянемо	циркуляцію	вектора H	в околицях точки	a , спочатку	в площині xOy
(рис.3.5).
v∫	HG dlG = (HG	lG)12 + (HG	lG)23 + (HG lG)34 + (HG	lG)41.	(3.2-10)

1234

Відповідно до рис.3.5 із урахуванням напрямку руху за контуром 1-2-3-4-1 (3.2-10) набуває вигляд :

v∫ H dlG Ну12 y + Нх23 (− х) + Ну34 (− у) + Нх41 х . 1234

Визначимо Ну12 з урахуванням змінення Ну вздовж осі х

y12

аy

∂H y

∂x

Тоді

∂H y

l )

= (H

аy

)

y .

∂x

Теж саме запишемо і для інших сторін чотирикутника:

∂Hx

l )23

−(Hаx +

∂y 2

)

x ,

∂H y

l )

−(H

аy

−

)

y ,

∂x

∂Hx

l )41 (Hаx −

∂y 2

)

x .

Об’єднаємо (3.2 - 12) - (3.2 – 12в):

v∫

∂H y

∂H

∂H y

∂H

H dl

x y −

x y =

−

x y = Jz

x y .

∂x

∂y

∂x

∂y

1234

(3.2-10а)

(3.2-11)

(3.2-12)

(3.2-12а)

(3.2-12б)

(3.2-12в)

(3.2 - 13)

Це закон повного струму, за контуром 1234 – в дужках маємо проекцію густини струму Jz (за напрямком z ). Аналогічно для площин zOx та yOz отримаємо:

zOx :

v∫

∂H

dl = (

∂z

−

∂x

z )

z = J y x

z ,

(3.2-14)

в дужках густина струму J y

(за напрямом y ).

yOz :

v∫

∂H

∂H y

y z ,

(3.2-15)

dl =

(

−

)

x z = J x

∂y

∂z

в дужках густина струму Jx (за напрямом x ).

Тобто співвідношення для густини струму в різних напрямах:

J z

∂H y

−

∂H x

∫HG

;

(3.2-16)

∂x

∂y

∂H x

−

∂H z

∫HG

;

(3.2-16а)

∂z

∂x

J x

∂H z

−

∂H y

∫HG

(3.2-16б)

∂y

∂z

Границі від правих частин рівнянь, (3.2-16)…(3.2-16б) є проекції ротора на осі

перпендикулярні відповідним площинам:

lim

v∫ H dl

= rotz HG ,

(3.2-17)

y→0

lim

v∫ H dl

= roty HG ,

(3.2-17а)

z→0

lim

v∫ H dl

= rotx HG ,

(3.2-17б)

z→0

Узагальнено:

v∫ H dl

lim

= rotn HG .

(3.2-18)

Sn →0

Таким чином межа відношення циркуляції вектора до елемента площини за умов прямування цієї площини до нуля є проекція ротора цього вектора на нормаль до даної площини.

В декартовій системі координат ротор визначають :

G G G G G G G G G rotH = irotx H + jroty H + krotz H = iJx + jJ y + kJx .

Тобто закон повного струму в диференціальній формі є rotH = JGпр .

У компактній матричній формі операцію rot визначають як

∂

∂Hz

∂H

G ∂

∂Hz

G ∂H

∂

×H = rotH =

∂

= i

(

−

) + j(

−

) + k (

−

) .

∂x

∂y

∂z

∂y

∂z

∂x

∂y

H y

(3.2-19)

(3.2-20)

(3.2-21)

3.2.3 Перетворення (теорема) Стокса

З’ясуємо взаємозв’язок сумарного струму I в контурі l із густиною струмів JG. Перетворення Стокса пов’язує інтеграли різного порядку (на зразок перетворення

(теореми) Гаусса - Остроградського). Вона дозоляє переходити від лінійного інтеграла до поверхневого, і навпаки, що в деяких ситуаціях суттєво полегшує розв’язування задач електродинаміки.

Скористаємось підходом аналогічно п.2.3.3 для перетворення Гаусcа – Остроградського. Розгляд почнемо зі струму I і скористаємось відомими формулами:

I = v∫ H dl ,

I = ∫J dS = ∫rotHG dSG .		(3.2-22)
s	s
Отримуємо:
v∫ H dl = ∫rotHG dS.		(3.2-23)
l	s
Циркуляція HG в довільному замкнутому контурі дорівнює потоку його ротора через
поверхню, обмежену цім контуром.
Тобто циркуляція вектора по довільному	замкнутому контуру дорівнює	потоку його
ротора через поверхню, обмежену цим контуром.

3.3 Розв’язування прямої задачі магнітостатики в загальному вигляді

Як встановлено вище, GпершопричиноюG магнітного поля є струм:

I, J → H , B

G A G

де H - визначає силу, тобто напруженість магнітного поля , B - густину потоку, A є

допоміжний параметр – векторний потенціал. G

Встановимо зв’язок між густиною струму J (x, y, z) та напруженістю H магнітного поля

створеногоВекторстрHGумомвизначають. трьома проекціями, тому для вирішення цієї задачі знадобиться система не менш, як із трьох рівнянь:

Перше рівняння – закон повного струму в диференціальній формі:

rotH = J .	(3.3-1)
Магнітне поле існує у певному середовищі, яке характеризується магнітною
проникністю тому друге рівняння це:
B = μH - друге матеріальне рівняння середовища	(3.3-2)

Третє рівняння – аналог закону Гаусса - Остроградського в інтегральній формі, стосовно магнітних тіл:

∫B dS = qм ,	(3.3-3)
s

тобто потік вектора магнітної індукції дорівнює сумарному магнітному заряду в заданій області простору. Але через те, що магнітні заряди завжди існують у вигляді диполів, сумарний заряд дорівнює 0 й відповідно маємо, що інтеграл дорівнює 0 :

	∫B dS = 0 - в інтегральній формі,	(3.3-4)
	s
	divB = 0 - в диференціальній формі.	(3.3-5)
Нагадаємо, що з векторного аналізу відомо: якщо дивергенція будь-якого		вектора,
дорівнює нулю, наприклад divLG	= 0G, то можна стверджувати, що існує деякий вектор M , ротор
якого дорівнює вихідному вектору L , тобто rotM = L . Це положення ілюструє рис.3.6.

G	G
Рисунок 3.6 До пояснення положення: якщо divL = L =0	то існує вектор M , ротор якого

дорівнює L, rotM = × M = L

На основі цього твердження отримаємо ще одне рівняння:

(3.3-6)

де A має назву векторний потенціал.

B = rotA ,

Визначимо одиницю виміру векторного потенціалу з (3.3-6).

Вс

В c

Вб

,тобто [ A] =

З виразу (3.3-6) з урахуванням (3.3-2) отримаємо:

H =

rotA .

(3.3-7)

Виконаємо операцію ротор з лівою та правою частинами рівняння (3.3-7), отримаємо:

G	1	G
rotH =		rot rotA.	(3.3-8)
rotH =	μ	rot rotA.	(3.3-8)
	μ
58

і тоді на підставі (3.3-1) маємо що:
rot rotA = μJ .		G	(3.3-9)
Нагадаємо положення з векторного аналізу: ротор ротора довільного вектора		G	дорівнює:
		M	дорівнює:
G	G
rot rotM = grad divM − 2 M .
Тоді з урахуванням (3.3 -9) маємо:
rot rotA = grad divA − 2 A = μJ .			(3.3-10)

Оскільки векторGB визначають через rotA (3.3 - 6) та rotA , величина, яка не дорівнює нулю, тобто вектор A , має вихровий характер. В той же час відомо, що дивергенція вихору дорівнює нулю, тоді в (3.3 - 10): grad divA = 0

Враховуючи це можемо записати:

2 A = −μJ .

(3.3-11)

Представимо векторне співвідношення (3.3 - 11) як систему скалярних у формі проекцій на координатні осі:

Ці рівняння аналогічні за формою рівнянню Пуассона (2.6-3). Їх розв’язок за формою аналогічний до (2.6-4):

J x

dV ,

4π ∫

J y

Ay =

dV ,

(3.3-13)

4π ∫

J z

dV ,

4π ∫

де r – це відстань від джерела поля (яке створює струм) до точки спостереження. Якщо домножити проекції Аx , Аy , Аz на відповідні орти, отримаємо формулу

формі :

G G

G J y

G J

A = i Аx + jАу + kАz =

∫

dV + j ∫

dV + k ∫

dV .

4π

В компактній формі :

AG = 4μπ ∫ Jr dV .

у векторній

(3.3-14)

(3.3-14а)

Якщо визначити dV = dlG dSG, то формулу (3.3-14а) можна записати інакше:

G	μ	∫	Idl
A =			r	.	(3.3-14б)
	4π

На основі рівняння (3.3-7) із урахуванням (3.3-14а) отримаємо:

G	1		μ	∫	J
H =		rot				dV .	(3.3-15)
H =	μ	rot	4π		r	dV .	(3.3-15)
	μ		4π		r

Після скорочення і заміни порядку операцій маємо :

Рівняння (3.3-16) – розв’язокG прямої задачі магнітостатики в загальному вигляді: знайдено

напруженість магнітного поля H через густину струму в просторі.

Всі одержані співвідношення застосовують для аналізу магніто-статичних полів в конкретних середовищах з визначеним значенням магнітної проникності µ. Але на межі розподілу двох середовищ отримані рішення не дають однозначну відповідь, тому потрібно розглянути граничні умови.

3.4 Граничні умови магнітостатики

Використаємо аналогічний підхід як в електростатиці. Для нормальних складових скористаємося формулами потоку вектора магнітної індукції, для тангенціальних - циркуляцією напруженості магнітного поля.

3.4.1 Нормальні складові векторів B та H

НормальнаG G складова вектора – проекція вектора на нормаль до поверхні розподілу. Нехай вектор B = μH перетинає границю поділу двох середовищ. Виділимо нескінченно малу ділянку

поверхні S , щоб можна було знехтувати її кривизною , і B = const.

Побудуємо циліндр з поперечним перерізом S , твірні якого паралельні до нормалі n

(рис. 3.7)

Рисунок 3.7 До визначення нормальних складових магнітного поля

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 236 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.09.2019271.36 Кб33тести-2006.doc
#
03.12.2018122.37 Кб6Тести-Д-ПЕ-теми.doc
#
19.04.201527.46 Кб273тести.деонтология.docx
#
19.04.201533.79 Кб15тести_макроекономика.doc
#
19.04.201595.68 Кб16Тех. перевод.rtf
#
23.03.20166.31 Mб38техническая электродинам КПИ (Кривець).pdf
#
23.03.20164.42 Mб113Техническая электродинамика Черенков (Кривець).pdf
#
07.08.201960.87 Кб4Технології паблік рілейшинз.docx
#
14.09.20191.55 Mб4Технології.docx
#
23.03.2016315.94 Кб27Товарна политика.docx
#
17.11.2018997.89 Кб54Толбатов.doc