техническая электродинам КПИ (Кривець)

Магнітні заряди існують у вигляді диполів .Тому сумарний магнітний заряд qmΣ = 0 , а отже аналог теореми Гаусса – Остроградського для магнітного поля має вигляд:

Перший доданок характеризує стан в першому середовищі, а другий в другому. Зменшуємо величину S так, щоб можна було вважати, що в кожній точці B = const тоді:

Складові лівої частини рівняння є нормальними складовими вектора магнітної індукції.

або для напруженості магнітного поля:

3.4.2 Тангенціальні складові векторів B та H

Для визначення скористаємось вектором H . Нехай вектор напруженостіG магнітного поля

перетинає границю поділу двох середовищ. Знайдемо циркуляцію вектора H за контуром abcd (рис.3.8) . Поняття циркуляції зручно застосовувати, адже вона не залежить від форми контуру, тому виберемо для зручності контур прямокутної форми abcd , сторониG якого нескінченно малі,

а напрямок обходу за годинниковою стрілкою (рис. 3.8). Циркуляція H характеризує роботу сил поля. За визначенням для магнітостатики ∫HG dlG = IΣ.

Тобто:

61

Рисунок 3.8 До визначення тангенціальних складових магнітного поля

Перший доданок характеризує стан в першому середовищі, другий – в другому. Сторони ab та cd , відповідно нескінченно малі величини і дорівнюють dA, тому можна вважати, що в кожній точці H = const , тоді :

62

3.4.3 Граничні умови на поверхні ідеального провідника

В ідеальному провіднику магнітне поле відсутнє.

Для тангенціальних складових з рівності (3.4-13) за умови, що всередині ідеального провідника поля немає, маємо (результуюче поле відсутнє)

Hτ1 = Jпов ≠ 0 ,

тобто на границі розподілу існує ненульова дотична складова вектора напруженості магнітного поля.

Нормальну складову вектора напруженості магнітного поля знайдемо з рівності (3.4-4), враховуючи що всередині провідника магнітне Hn2 відсутнє.

Тоді

Hn1 = 0 ,

тобто на границі розподілу середовищ нормальна складова вектора напруженості магнітного поля відсутня .

Отже, силові лінії на границі розподілу середовищ орієнтовані тільки вздовж дотичної до поверхні провідника, тоді як силові лінії електричного поля напрямлені до провідника вздовж нормалі.

3.5 Поняття індуктивності. Енергія магнітного поля постійного струму

Нагадаємо, який елемент електричного кола здатен накопичувати магнітну енергію. Цей елемент – котушка індуктивності або соленоїд. Відомо, що основний функціональний параметр соленоїда – індуктивність. Індуктивність – властивість фізичних об’єктів накопичувати та віддавати енергію магнітного поля. Провідник зі струмом завжди оточений магнітним полем. Зчеплений з провідником (соленоїдом), магнітний потік пропорційний струму I в провіднику

де L = ФI - індуктивність провідника. За одиницю індуктивності приймають індуктивність

такого контуру, магнітний потік самоіндукції якого при струмі в 1 А дорівнює 1 Вб. Ця одиниця має назву генрі (Гн): 1 Гн= 1 Вб/А= 1 В·с/А=1 с·Ом.

Енергія магнітного поля дорівнює роботі, яка витрачається струмом на створення цього поля. При зміні струму на dI , магнітний потік змінюється на величину dФ = LdI .

63

Для зміни магнітного потоку на величину dФ необхідно виконати роботу

3.6Висновки

1.Протікання в провіднику постійного струму створює навколо нього магнітнеG поле.

2.Проявом магнітного поля є сила взаємодії умовних магнітних зарядів Fm ,[Н].

магнітними зарядами qm , [B·с].

64

6.Для опису характеристик магнітного поля використовують поняття – потік вектора магнітної індукції, циркуляція вектора напруженості магнітного поля, дивергенція та ротор.

7.Співвідношення між напруженістю магнітного поля та його джерелом, електричним струмом, визначає закон Біо-Савара.

8.Магнітне поле має вихровий характерG , тому потік вектора та дивергенція магнітної індукції дорівнюють нулю. v∫ B d S = qм = 0.

9.Для визначення характеристик магнітного поля, яке створює струм в реальних

13.Існування магнітного поля в просторі параметри якого змінні вимагає розгляду граничних умов:

-для нормальних складових використовують потік вектора B , ( Bn1 = BGn2 ).

-для тангенціальних складових використовують циркуляцію вектора H ,

( Hτ1 −Hτ2 =Jпов,).

14. Велике практичне значення має ситуація, коли одне із середовищ є ідеальним

провідником. В цьому випадку силові лінії вектора H паралельні (дотичні) до провідної поверхні .

15.Індуктивність - це фізична величина, яка характеризує можливість накопичення та віддавання магнітної енергії L = ФI .

Тепер слід перейти до розгляду електромагнітного поля.

65

Надалі розглядатимемо динамічні процеси, тобто ті, які є функціями часу.

4.1Закон збереження електричного заряду

Електричний струм через замкнуту поверхню S – це швидкість зміни кількості заряду q в об‘ємі V, обмеженому поверхнею S.

Для пояснення закону збереження електричного заряду розглянемо модель деякого фізичного тіла, яке має об’єм V, обмежений поверхнею S (рис.4.1). Нехай це тіло має деякий заряд. Вважаємо, що зі зміною часу відбувається зміна цього заряду. В момент часу t1 значення заряду - q1 , а в момент t2 – q2 , та |q2| < |q1|. Тобто частина зарядів відійшла з цього об’єму, але

вони не зникли на основі закону збереження матерії й утворили електричний струм, математично це може бути представлено як похідна за часом:

67

Знак “–“ означає, що заряд із зростанням часу зменшується, тобто якщо t2–t1= t > 0, то q1– q2= q < 0.

Рисунок 4.1. Модель спливання заряду

Струм через одиницю поверхні називають густиною струму:

Формула (4.1-3) показує, що електричний струм можна трактувати як потік зарядів і тому на основі (4.1-1) та (4.1-3) маємо:

Формула (4.1-4) відображає закон збереження заряду в інтегральній формі: будь-яка зміна заряду всередині деякого об’єму у часі супроводжується спливанням відповідної кількості зарядів через поверхню, що обмежує цей об’єм.

Розглянемо ці ж процеси в конкретній точці об′єму V за умов змінення заряду. Скористаємось перетворенням Гаусса-Остроградського (2.3-6) стосовно (4.1-4):

Використовуючи формули q = ∫ρdV , (4.1-4) та (4.1-5) маємо:

За умов незмінної поверхні, похідну за часом вважають частинною похідною й з урахуванням, що у виразі (4.1-6) інтегрування виконується за тією ж змінною є допустимою зміна порядку інтегрування та диференціювання, отримаємо співвідношення:

68

Рівняння (4.1-7) описує закон збереження заряду в диференціальній формі: дивергенція густини потоку (струму) визначається похідною за часом густини заряду у конкретній точці, з протилежним знаком.

Припустимо, що у (4.1-7), ρ = const , тоді

Це співвідношення означає, що алгебраїчна сума струмів у вузлі дорівнює 0 , а це є положення першого закону Кірхгофа.

Оскільки кількість вільних зарядів у середині об’єму характеризує провідні властивості середовища, то створений цими зарядами струм має назву струму провідності.

Струм провідності починається та закінчується у точках із змінною у часі густиною заряду, а співвідношення (4.1-8) вказує на вихровий характер постійного струму, тому для його протікання електричне коло повинно бути кондуктивно замкнутим, тоді як кола змінного струму допускають розрив кондуктивного зв’язку. Це означає, що у колі змінного струму, окрім струму провідності повинен бути також струм іншої природи (див. 4.2).

В розділах 2 та 3 наведені дані щодо електричного та магнітного полів без їх взаємозв’язку, але такий зв’язок вочевидь повинен бути тому, що першоджерелом електричного та магнітного полів є електричний заряд:

v∫ D dS = q ,

v∫ HG dlG = I = − dqdt .

Тобто характеристики полів (електричного та магнітного) та їх джерела повинні бути взаємно пов’язані та описаніG відповідноюG системою рівнянь. Легко запам‘ятати, що їх повинно бути шість, адже вектори E та H в просторі мають по три проекції. Ця система складена Дж. Кларком Максвеллом (1831-1879) в 1873 р. На підставі отриманих раніше законів та положень: Ампера (повного струму), Фарадея, Гаусса-Остроградського та інших. В роботі Максвелла була складна форма запису рівнянь. Сучасний вигляд вони набули в працях Г. Герца, Л. Лоренца, О. Хевісайда.

4.2Перше рівняння Максвелла (закон повного струму або коловий закон Ампера)

Перше рівняння Максвелла базується на законі повного струму:

Закон повного струму був сформульований за умови існування постійного струму провідності. Чи буде закон повного струму справедливий для змінного струму? Знайдемо дивергенцію від обох частин рівняння (4.2-1):

За визначенням, дивергенція ротора дорівнює нулю, тобто:

69

Але з іншого боку маємо для змінного струму (4.1-7), враховуючи, що йдеться про струм провідності:

Тобто на підставі формули (4.2-4) можна зробити висновок, що рівність (4.2-1) справедлива лише для постійного струму.

Щоб цей вираз можна було застосовувати для змінного струму треба здійснити корегування, що реалізував Д. К. Максвелл. В праву частину (4.2-1) додамо деякий вектор X , такий, що в результаті загальний вектор дорівнює ротору вектора напруженості магнітного поля:

Виконаємо тепер ту ж саму операцію: знайдемо дивергенцію від обох частин рівняння (4.2-5), та скористаємось тотожністю, що дивергенція ротора вектора напруженості магнітного поля дорівнює нулю:

У відповідності із законом збереження заряду з урахуванням (4.1-7) та (2.3-23), що ρ = divD й можливістю змінення порядку диференціювання вираз (4.2-7) можна переписати:

G G

Таким чином величина X визначається похідною за часом вектора D , і має назву вектора густини струму зміщення в діелектрику (введення поняття струму зміщення – велика заслуга Максвелла).

Таким чином перше рівняння Максвелла в диференціальній формі записують у вигляді:

70