техническая электродинам КПИ (Кривець)

У відповідності до закону Гаусса–Остроградського в інтегральній формі:

змінювати без втрат для загального результату. За умови зменшення висоти до нуля з урахуванням (2.7-1) отримаємо:

Перший доданок характеризує стан поля в першому середовищі, а другий - в другому. Зменшуємо величину S так, щоб можна було вважати, що в кожній її точці D = const .

41

2.7.2 Тангенціальні складові векторів D та E

Для визначення тангенціальноїG складової доцільно скористастатися вектором E .

Нехай силова лінія E перетинає границю розділу двох середовищ з параметрамиε 1 та ε 2 . Дослідимо напруженість на присутність вихору, тобто визначимо циркуляцію EG . Як відомо,

від форми контуру циркуляція не залежить, виберемо для зручності контур прямокутної форми abcd , сторониG якого нескінченно малі, а напрямок обходу за годинниковою стрілкою (рис.2.11).

Циркуляція E характеризує роботу сил поля. За визначенням для електростатики

Рисунок 2.11 До визначення тангенціальних складових електричного поля.

Якщо наближувати контур до границі розподілу, то ∫EG dl , ∫ EG dlG дорівнюють нулю. Тоді із

cd , відповідно нескінченно малі величини і дорівнюють dl , тому можна вважати, що в кожній точці E = const , тоді :

42

2.7.3 Граничні умови для потенціалу

Розглянемо граничніG умови для потенціалу електростатичного поля. Згадаємо співвідношення (2.5-9) E = −gradϕ , яке стосовно площини ділянки границі, в прямокутній системі координат, представимо таким чином:

43

2.7.4 Граничні умови на поверхні ідеального провідника

Практичне значення має ситуація, коли одне з середовищ є провідник, наприклад антена, яка межує з повітрям. Провідник відрізняється від діелектрика тим, що має вільні заряди (ідеальним є провідник в якому кількість вільних зарядів нескінченно велика). Внесення провідника в електростатичне поле, викликає перерозподіл зарядів, тобто негативні заряди зосереджуються на поверхні провідника, яка направлена назустріч полю, а позитивні заряди – на

44

протилежній. Тоді всередині провідника утворюється поле, направлене назустріч по відношенню до зовнішнього. Перерозподіл зарядів буде продовжуватися доки поле, яке знаходиться всередині, не скомпенсує зовнішнє в межах об’єму провідника. Отже ідеальний провідник має достатню кількість зарядів, щоб скомпенсувати зовнішнє поле в межах всього об’єму провідника. Тому результуюче поле всередині ідеального провідника дорівнює 0. Для тангенціальних складових на підставі (2.7-11), маємо всередині провідника поле скомпенсоване, тоді:

Таким чином силові лінії електростатичного поля завжди направлені за нормаллю до поверхні ідеального провідника.

У компактній формі граничні умови електростатики наведені в таблиці 2.1.

Таблиця 2.1 Граничні умови електростатики

2.8 Поняття електричної ємності. Енергія електростатичного поля

Нагадаємо, який компонент електричного кола може накопичувати електричну енергію. Цей елемент – конденсатор. Відомо, що основним функціональним параметром конденсатора є електрична ємність. Для кожного відокремленого провідника відношення q / ϕ є сталою

величиною і називається ємністю. Тобто ємність визначають як відношення накопиченого в конденсаторі заряду q до прикладеної до нього напруги різниці потенціалів:

За одиницю ємності приймають ємність такого конденсатора, в якому накопичується заряд 1Кл при підключенні конденсатора до напруги 1В. Ця одиниця має назву фарад (Ф): 1Ф=1Кл/1В.

45

де R - радіус сфери. З цієї рівності бачимо, що ємність провідників залежить від їх розмірів, форми, властивостей середовища.

Як будь-який заряджений провідник, конденсатор має енергію. Відомо, що для зарядження

енергія зарядженого конденсатора дорівнює тій роботі, яку необхідно виконати, щоб його зарядити:

В конденсаторі поле однорідне, тому енергія розподілена в об’ємі рівномірно. Відповідно в одиниці об’єму поля міститься енергія:

Електрична енергія накопичується не тільки в конденсаторі, який можна використовувати при вирішенні різних інженерних задач. Будь-які провідники, розміщені близько один від одного, контакти мають ємність, тобто здатні накопичувати електричну енергію та впливати на процеси в електричних колах, на що треба звертати увагу при розрахунках та проектуванні електричних приладів.

2.9 Висновки

1. Електричне поле (статичне) створюють незмінні в часі нерухоміG заряди.

2. Проявом взаємодії зарядів є так звана, Кулонівська сила F [H ], яка для електронів значно перевищує гравітаційну.

3.Для визначення електричного характеру сили взаємодії зарядів використовують поняття вектор напруженості електричного поля E = F q = (q 4πεr 2 )1r , [Вм].

46

4. Для визначення характеристик електричного поля незалежного Gвід Gпараметрів

середовища використовують поняття вектора електричного зміщення D = εE , Кл м2

який характеризує густину електричного заряду.

5.Для опису характеристик електричного поля використовують поняття: інтегральні – значення, напрям, потік вектора електричного зміщення, циркуляція напруженості електричного поля та диференціальні – градієнт, дивергенція та ротор.

6.Потік вектора електричного зміщення визначає заряд який його створює v∫ D dS = q

(закон Гаусса-Остроградського в інтегральній формі); дивергенція вектора D визначає

SV

8.Ознакою електричногоG поля є сила, тому в умовах переміщення заряду виконується робота A = q∫E dl .

l

9.Роботу можна характеризувати потенціалом ϕ = −∫E dl +C .

10.Для опису поля потенціалом в просторі використовують поняття еквіпотенціальні поверхні.

11.Для оцінювання ступеня зміни потенціала з відстанню використовують поняття градієнт потенціалу (∂ϕ∂n)1n , gradϕ = −E .

12.Розв’язок прямої та зворотної задач електростатики полягає у виявленні зв’язків між

q, ρ , ϕ , E , D .

13.Визначають потенціал із розв’язку рівняння Пуассона 2ϕ = ρ / ε , ϕ = (∫ρdV ) / 4πεr .

14.Існування електричного поля в просторі, параметри якого змінюються, вимагає розгляду граничних умов:

– для нормальних складових використовують потік вектора D та отримують

Dn1 − Dn2 = ρS ,

– для тангенціальних складових використовують циркуляцію вектора E та отримують

Eτ1 = Eτ 2 .

15.Потенціал на границі розподілу не має стрибка.

16.Великі практичні значення має ситуація, якщо одне із середовищ – ідеальний провідник. В цьому випадку силові лінії вектора E перпендикулярні до провідної поверхні.

17.Математична модель електричної ємності: коефіцієнт пропорційності між зарядом та

Перейдемо до розгляду магнітного поля постійного струму.

47

3 МАГНІТНЕ ПОЛЕ ПОСТІЙНОГО СТРУМУ

3.1Магнітне поле постійного струму. Закон Біо-Савара

3.2Закон повного струму

3.2.1.Закон повного струму в інтегральній формі

3.2.2Закон повного струму в диференціальній формі

3.2.3Перетворення (теорема) Стокса

3.3Розв’язування прямої задачі магнітостатики в загальному вигляді

3.4Граничні умови магнітостатики

3.4.1Нормальні складові векторів B та H

3.4.2Тангенціальні складові векторів B та H

3.4.3Граничні умови на поверхні ідеального провідника

3.5Поняття індуктивності. Енергія магнітного поля постійного струму

3.6Висновки

3.1 Магнітне поле постійного струму. Закон Біо-Савара

Сили, які виявляють за умов взаємодії струмів та дії магнітів, мають однакову природу і їх називають магнітними. Джерелом магнітних сил є магнітне поле, яке існує в просторі ,що оточує магніти і провідники зі струмом. Будь-який рухомий електричний заряд створює в навколишньому середовищі магнітне поле. Воно неперервне в просторі і впливає на інші рухомі електричні заряди. Скрізь, де є електричний струм, тобто рухомі електричні заряди, існує магнітне поле .Електричний струм та магнітне поле невіддільні один від одного. Через те, що магнітне поле виникає навколо провідника, коли в останньому з‘являється струм, струм вважають джерелом магнітного поля. Саме так треба розуміти висловлювання «магнітне поле струму», «магнітне поле, створене струмом».

Одним із способів виявлення магнітного поля навколо провідника є використання залізних ошурків. В магнітному полі ці шматочки заліза стають магнітами, орієнтованими так, що їх вісь збігається з напрямком магнітного поля в даній точці. При проходженні постійного струму крізь провідник пропущений наприклад, через лист картону з залізними ошурками ,вони розміщуються навколо нього за концентричними колами.

За аналогією з електростатики введемо поняття магнітних зарядів. На відміну від електричних зарядів, магнітних зарядів одного знаку в природі не існує, бо скільки б не зменшували розміри магніту , він завжди матиме два полюси (рис.3.1а). Тому для спрощення досліджень застосовують модель магніту у вигляді довгої , нескінченно тонкої магнітної «спиці» (рис.3.1б), в наслідок чого фіктивні магнітні заряди протилежних знаків зосереджуються на її кінцях .

N S

---------------------------

48

Для такої моделі магніту можна за аналогією скористатись законами та положеннями електростатики. Аналогія закону Кулона для магнітної спиці:

проникність середовища. Вектор напруженості електричного поля визначають як:

за аналогією запишемо вектор напруженості магнітного поля:

Одиниця виміру H = A .

⎣м

→ →

В електростатиці вектор електричного зміщення (вектор електричної індукції) D = ε E введено для того, щоб охарактеризувати електричне поле незалежно від середовища, в якому це поле існує, за аналогією з електростатикою введемо поняття вектора магнітної індукції :

де М- намагніченість речовини, χмr - магнітна сприйнятливість.

За ДСТУ 2843 намагніченість – це векторна величина, якою характеризують магнітний стан речовини, яку визначають як границю відношення магнітного моменту елементів об‘єму речовини до цього елемента об‘єму, коли останній прямує до нуля.

Для магнітних речовин вектор магнітної індукції визначають:

49

За ДСТУ 2843 магнітна сприйнятливість - це величина , яка характеризує властивість речовини намагнічуватись у магнітному полі і яку визначають, як відношення модуля намагніченості до модуля напруженості магнітного поля, вона скалярна для ізотропної речовини. Магнітна

діамагнетиків, тобто речовин, що послаблюють магнітну індукцію зовнішнього поля , μr <1 ( χмr <0). Для парамагнетиків , що підсилюють магнітну індукцію зовнішнього поля μr>1( χмr >0) .Для

феромагнетиків, що мають власну намагніченість і внутрішнє магнітне поле у багато разів перевищує зовнішнє поле, μr >>1. Для монохромного поля та неоднорідного лінійного ізотропного середовища магнітна проникність в загальному випадку є функція узагальнених криволінійних координат.ξ,η,ζ .

електричним струмом. В основі розв‘язання прямої задачі магнітостатики покладемо закон Біо – Савара, відкритий експериментально у 1820 р.:

Закон Біо-Савара свідчить про те, що напруженість магнітного поля, яке створюється елементом постійного струму Idl, прямо пропорційна значенню цього елемента, обернено пропорційна квадрату відстані до точки спостереження і залежить від напряму на неї (рис.3.2).

50