Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сумский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

техническая электродинам КПИ (Кривець)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2016

Размер:

6.31 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Для вектора напруженості магнітного поля:

•G

jωt HG m e jωt + HG m e− jωt

•

H = Re H m e

(5.2-2)

Тоді вектор Пойнтінга:

G G G

•G

jωt

− jωt

•G

jωt

− jωt

П = E

× H

E m e

+ E m e

× H m e

+ H m e

•G

(5.2-3)

2 jωt

−2 jωt

E m × H m + E m × H m + E m ×H m e

+ E m × H m e

З урахуванням (5.2-1) і (5.2-2) та після перестановки

•G

j 2ωt

(5.2-4)

Re Em × H m

Re Em

× H m e

Таким чином процес перенесення енергії гармонічного електромагнітного поля визначається двома дійсними доданками: перший доданок незмінний у часі, другий – змінюється з подвійною частотою.

Перший доданок визначає середнє за період значення густини потужності, тобто вектор Пойнтінга:

G		1	T G	1		•G	G
Псер	=		Пdt =		Re Em × H m .			(5.2-5)
Псер	=	T	Пdt =	2	Re Em × H m .			(5.2-5)
		T	∫0	2

Друга складова – коливальна складова вектора Пойнтінга.

G	1		•G G•	j 2ωt	(5.2-6)
Пкол =	2	Re Em×Hm e		.	(5.2-6)
	2

Середнє за період значення цієї складової дорівнює нулю.

Таким чином за умов гармонічного поля використовують, так званий, комплексний вектор Пойнтінга, який має дійсну та уявну складову, відповідно:

•G	1		•
П =		E× H		=
П =	2	E× H		=
	2

Та має властивість:

1		•G	G		1		•G	G
	Re E× H			+		Im E× H ,
2	Re E× H			+	2	Im E× H ,
2					2

G		•G
Псер	= Re	П

(5.2-7)

(5.2-8)

Маємо багато спільного між вектором Пойнтінга в комплексній формі та комплексною потужністю гармонічного коливання, відомого з курсу теорії кіл. Якщо комплексний вектор

Пойнтінга є уявним, то це означає, що електромагнітний процес в середньому за період не переносить потужність. Тобто уявному значенню комплексного вектора Пойнтінга аналогією є реактивна потужність.

5.3 Уявлення процесу передавання енергії

Процес передавання енергії з використанням вектора Пойнтінга розглянемо на прикладі двопровідної лінії, вздовж якої енергія від джерела ЕРС передається в резистивне коло навантаження (рис. 5.3Gа). GОрієнтовне зображення силових ліній складових векторів

електромагнітного поля E та H наведено на рис. 5.3б.

Рисунок 5.3 Поширення електромагнітної енергії : а – еквівалентна електрична схема; б – уявлення формування електромагнітного поля двопровідної лінії

Ці складові “формують” вектор Пойнтінга, що орієнтований вздовж ліній від генератора до кола навантаження.

Потужність визначимо як

P = ∫ПG dSG .

Тобто потужність передається електромагнітним полем, а провідники виконують функцію “рейок” вздовж яких поле поширюється.

5.4 Лема Лоренца

Лема Лоренца встановлює зв’язок між сторонніми джерелами у двох різних точках простору і електромагнітним полем, які створюють ці джерела.

Нехай деяка сукупність гармонічних сторонніх струмів утворює електромагнітне поле з

	•G	•G
комплексними амплітудами ( Em1		H m1 ), які задовольняють системі рівнянь Максвелла
		•	•	•	•
		rot HG m1	= jω ε	EG m1 + JGm1стор. ,		(5.4-1)
		•		•	•	(5.4-2)
		rot EGm1	= − jωμ HG m1		− JGm1стор.м .	(5.4-2)
Існує також	інша група	сторонніх струмів,		які	створюють електромагнітне	поле з
•	•
напруженостями EGm2 , HGm2 , які задовольняють системі рівнянь Максвелла:

•

(5.4-3)

rot HG m2

= jωε EGm2 + JGm2стор. ,

•G

(5.4-4)

rot E m2 = − jωμ H m2

− J m2стор.м .

Помножимо скалярно (5.4-1) на

Em2 ,

та (5.4-4)

на

H m1

та віднімемо другу рівність від

першої. В результаті отримаємо

•G

• •G

•G

(5.4-5)

− div E m2

× H m1

= jω ε E m1 E m2

jωμ H m1

H m2

+ J m1стор. E m2

+ J m2стор.м H m1 .

•G

Тепер помножимо скалярно (5.4-2) на H m2 , та (5.4-3) на E m1 та віднімемо другу рівність від

першої. При цьому будемо мати наступне

•G

• •G

•G

−

•G

(5.4-6)

div E m1× H m2

= − jω ε E m1 E m2

jωμ H m1

H m2 − J m2стор. E m1 − J m1стор.м H m2 .

Складемо рівності (5.4-5) та (5.4-6) й прийдемо до співвідношення

•G

, (5.4-7)

div Em1× H m2 −div Em2

×H m1 = J m1стор.

Em2 + J m2стор.м

H m1

− J m2стор.

Em1

− J m1стор.м H m2

яке представляє лему Лоренца в диференціальній формі.

Векторні добутки

•G

– взаємні вектори Пойнтінга двох незалежних

E m1 × H m2 та

E m2 × H m1

електромагнітних процесів.

Також можлива інтегральна форма леми Лоренца. Щоб її отримати, припустимо що маємо

об’єм V ,

обмежений

поверхнею S .

Після

інтегрування (5.4-7) за об’ємом та застосування

перетворення теореми Гаусса-Остроградського, отримаємо

	•G	•G	•G	•G	G	=	V∫		•G
Em1× H m2			− Em2	× H m1 dS		=		J m1стор.
∫S

•G	•G	•G	•G	•G	•G	•G
Em2	+ J m2стор.м H m1		− J m2стор. Em1		− J m1стор.м H m2 dV .(5.4-8)

Таким чином отримано співвідношення (5.4-7), (5.4-8), які й визначають взаємний зв’язок потужностей електромагнітного поля, створеного двома незалежними джерелами.

5.5 Висновки

1.На основі першого та другого рівнянь Максвелла в диференціальній формі з урахуванням сторонніх джерел електромагнітного поля та втрат в обмеженому об’ємі отримано рівняння для балансу потужностей – теорему Пойнтінга для миттєвих векторів поля в диференціальній формі.

2.Після інтегрування за об’ємом теореми Пойнтінга в диференціальній формі із застосуванням перетворення Гаусса-Остроградського отримаємо формулу теореми Пойнтінга в інтегральнійG форміG .

3.Векторний добуток E × H – має назву вектор Пойнтінга П та характеризує густину потужності електромагнітного поля, яке поширюється назовні з обмеженого об'єму V .

4.БалансG потужностейG електромагнітногоG поля складають:

-∫JсторEdV ; ∫Jстор.мHdV - потужність сторонніх джерел поля;

-∫σE 2 dV ; ∫σмH 2dV - потужність втрат;

-∫ε ∂E EGdV ; ∫μ ∂H HGdV - потужність електромагнітних полів, що зосереджені в даному

V∂t ∂tV

об’ємі;

-P = ∫ПG dSG- потужність електромагнітного поля, яка виходить з об’єму.

5.Площина, в якій розташовані вектори E та H , має назву фронт хвилі; вектор Пойнтінга зорієнтований перпендикулярно до фронту хвилі.

6.Енергія електромагнітного поля в об’ємі V складається з енергії електричного та магнітного полів:

	WE = ∫	εE 2	dV ;WH = ∫	μH 2	dV
		2		2
	V		V
7.	Якщо електромагнітне поле є гармонічним процесом, то вектор ПG можна виразити
					•G	•G
8.	через комплексні амплітуди Em та H m .
	Вектор Пойнтінга гармонічного електромагнітного поля характеризують двома
	складовими: середньою за період					Псер та коливальною Пкол .

9.Вектор Пойнтінга дає уявлення про процес переносу енергії провідниками із струмом – які формують електричне і магнітне поле та вказують шлях перенесення електромагнітної енергії.

10.Лема Лоренца встановлює зв’язок між двома сторонніми струмами у двох різних точках простору і електромагнітними полями, які збуджені цими джерелами.

Далі, на підставі отриманих даних необхідно з’ясувати, яким чином поширюються електромагнітні хвилі у просторі.

6 ПОШИРЕННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ У РІЗНИХ СЕРЕДОВИЩАХ

6.1Хвильові рівняння

6.2Поняття про однорідні плоскі електромагнітні хвилі

6.3Поляризація однорідних плоских хвиль

6.4Хвильові рівняння однорідних плоских хвиль

6.5Особливості поширення однорідних плоских хвиль в різних середовищах

6.5.1Напівпровідне середовище (діелектрик з втратами)

6.5.2Діелектрики і провідники

6.6Поверхневий ефект у провідниках

6.7Висновки

6.1 Хвильові рівняння

Розглянемо електромагнітні процеси у навколишньому просторі на підставі рівнянь Максвелла (див. табл. 4.2). Скористаємось першим та другим рівняннями:

rotH =σ E +ε

∂E

;

(6.1-1)

∂t

rotE = −μ

∂H

(6.1-2)

∂t

Здійснимо операцію rot над (6.1-2) та використаємо

підстановку rotH із

(6.1-1), тоді

отримаємо зі зміною порядку диференціювання:

∂H

∂

σ E +ε ∂E

rotrotE = −rot μ

= −μ

(6.1-3)

∂t

Представимо ліву частину (6.1-3) за відомою тотожністю векторного аналізу:

rotrot E = grad( divE ) − 2 E ;

отримаємо:

graddivE −

= −μσ

∂E

−εμ

∂2 E

(6.1-4)

∂t

∂t2

На основі третього і п’ятого рівнянь Максвелла маємо (див. табл. 4.2):

divE = ερ ;

після перегрупування доданків (6.1-4) отримаємо рівняння:

2 E −εμ	∂2 E	= grad	ρ	+ μσ	∂E	,	(6.1-5)
	∂t 2		ε		∂t

відоме як рівняння Гельмгольца.

В цьому рівнянні є складові, які визначають процес у просторі й часі, а також є добуток εμ, який пов'язаний із швидкістю поширення електромагнітних хвиль v =1 εμ , тобто рівняння

(6.1-5) характеризує хвильовий процес.

Якщо аналогічно застосувати оператор ротор до обох частин першого рівняння Максвелла, отримаємо хвильове рівняння для вектора напруженості магнітного поля:

2 H −εμ	∂2 H	= μσ	∂H .	(6.1-6)
	∂t2		∂t

Загальний вигляд хвильових рівнянь буде мати дещо інший вигляд, якщо їх записати для гармонічних процесів в комплексній формі.

Отже, запишемо функцію, її першу та другу похідні:

				•	•	jωt
				E(t) = Em e		jωt		,
				E(t) = Em e				,
				•
		∂ E			•		jωt
		∂ E			= jω Em e		jωt		,	(6.1-7)

			∂t
			∂t
			2	•
	∂		2	E	•		e jωt .
	∂			E	= −ω2 Em
					= −ω2 Em
		∂t
		∂t
Підставимо (6.1-7) в (6.1-5), з урахуванням							комплексного представлення			функції

•
ρ(t) = ρm e jωt й після скорочення e jωt отримаємо:
•		σ	•	•
•		σ	•	ρ	m
2 Em +ω2 μ	ε − j	Em = grad			m	.
2 Em +ω2 μ	ε − j	Em = grad				.
		ω		ε

Вираз в дужках (6.1-8) – комплексна діелектрична проникність ε• (4.5-8).

З урахуванням цього визначення (6.1-8) матиме вигляд:

•	•	•
		ρm
2 Em +ω2 με•	Em = grad		.

		ε

(6.1-8)

(6.1-9)

Аналогічним чином можна отримати комплексну форму хвильового рівняння для вектора напруженості магнітного поля:

•	• •	(6.1-10)
2 H +ω2 με H m = 0.

В загальному вигляді хвильові рівняння є складними. Але практичні розрахунки виконують за конкретних обставин, коли можна прийняти деякі умови, що дозволяють спростити хвильові рівняння. Наприклад, на великій відстані від джерела електромагнітного поля кривизною фронту хвилі можна знехтувати й вважати розподіл амплітуд векторів напруженості електричної та магнітної складових електромагнітного поля рівномірним. Така хвиля має назву однорідна плоска, її застосовують для виконання практичних розрахунків.

6.2 Поняття про однорідні плоскі електромагнітні хвилі

Припустимо, що джерело електромагнітного поля розташоване в початку декартової системи координат, і хвиля поширюється в додатному напрямі осі Z. Звернемося до сферичного

фронту хвилі, фрагмент S, що поширюється вздовж осі Z (на що вказує вектор Пойнтінга П ) (рис. 6.1). Хвиля, яка може бути представлена таким фронтом, має назву поперечна (плоска).

Рисунок 6.1 Фрагмент фронту хвилі та вектор Пойнтінга

Відомо, що вектори E та H взаємно перпендикулярні, кожен з них має, в загальному випадку, три складові Еx, Ey, Ez та Hx, Hy, Hz.

Розглянемо три можливі ситуації:

−Складові Ez та Hz відсутні, тобто Ez = 0 i Hz = 0. в цій ситуації є тільки складові Еx, Ey та Hx, Hy й така хвиля має назву поперечна хвиля, або хвиля типу Т (від transverse – поперечний); в англомовній літературі й літературі попередніх років її ще називають хвиля типу ТЕМ (поперечна Т електромагнітна ЕМ);

−Складова Ez є, складова Hz відсутня, тобто Ez ≠ 0, Hz = 0 й така хвиля має назву повздовжня електрична хвиля типу Е; в англомовній літературі й літературі попередніх років її ще називають хвиля типу ТМ (поперечна Т магнітна Е);

−Складова Нz є, складова Еz відсутня, тобто Ez = 0, Hz ≠ 0 й така хвиля має назву повздовжня електрична хвиля типу Н; в англомовній літературі й літературі попередніх років її ще називають хвиля типу ТЕ (поперечна Т магнітна М).

Встислій наочній формі формування типів хвиль наведено в таблиці 6.1.

	Таблиця 6.1 Основні співвідношення для електростатики та магнітного поля постійного
		струму
№		Складові поля		Тип хвилі		Назва
		Ex , Ey , Ez	H x , H y , H z	сучасна
пп.					англомовна
				назва

1		Ez = 0	Hz = 0	Т	ТЕМ	Поперечна
2		Ez ≠ 0	Hz = 0	Е	ТМ	Повздовжня електрична
						(поперечна магнітна)

3		Ez = 0	Hz ≠ 0	Н	ТЕ	Повздовжня магнітна
						(поперечна електрична)

Таким чином, при великій відстані від джерела ділянку фронту хвилі S можна вважати плоскою, для якої Ez = 0 і Hz = 0, тобто – це хвиля типу Т, що має не шість, а тільки чотири проекції Еx, Ey та Hx, Hy. Таке припущення суттєво спрощує опис хвилі.

За умов однорідного без втрат (σ 0) середовища, тобто ε = const та μ = const, вектори

напруженості електричного та магнітного полів у всіх точках простору ділянки

S не змінюють

значення та напрямку. Тоді, відповідні частинні похідні дорівнюють нулю:

∂E

= 0,

∂E

= 0,

∂Ey

= 0,

∂Ey

= 0;

∂x

∂y

∂x

∂y

(6.2-1)

∂Hx

∂H y

= 0,

= 0.

∂x

∂y

∂x

∂y

З урахуванням прийнятих припущень для плоскої однорідної хвилі суттєво спрощується оператори ротор та набла (оператор Гамільтона), що полегшує розрахунки без зниження втрат точності.

Плоска однорідна хвиля, за поширення якої лишається незмінним напрямок вектора E , має назву лінійно-поляризована хвиля. Поляризації електромагнітних хвиль мають важливе практичне значення. Наприклад, від виду поляризації електромагнітної хвилі залежить взаємне розташування приймальної та передавальної антен, що є важливим в організації зв’язку та забезпеченні електромагнітної сумісності.

6.3 Поляризація однорідних плоских хвиль

Назву виду поляризації визначає геометрична фігура, яку описує край вектора E в площині XOY . Припустимо, що фронт однорідної плоскої хвилі розташований в площині XOY. Кут

нахилу вектора напруженості електричного поля E з віссю ОХ - θ має назву кут поляризації.

Площина, в якій розташовані вектори напруженості електричного поля E та Пойнтінга П , має назву площина поляризації (рис. 6.2).

З’ясуємо, яким чином змінюється положення вектора E за часом і в просторі із зміною співвідношення між значеннями його проекцій Ех та Еу.

Рисунок 6.2 Площина поляризації однорідної плоскої хвилі

Для хвилі, яку можна описати гармонічним процесом:

E(t) = iEx + jEy = iEmx cos(ωt +ϕ1 ) + jEmy cos(ωt +ϕ2 ),

(6.3-1)

де Emx , Emy – амплітудні значення Ех та Еу; ϕ1, ϕ2 – початкові фази.

Розглянемо можливі ситуації:

1. Початкові фази однакові, тобто ϕ1 = ϕ2 = ϕ . Тоді модуль вектора E :

E	= E2	+ E2	=	E2	+ E2	cos(ωt +ϕ)
	x	y		mx	my

є функцією часу.

Кут поляризації від часу є незалежним :

θ = arctg Emy .

Emx

Така поляризація має назву – лінійна поляризація. 2. Нехай ϕ1 −ϕ2 = ± π2 , Emx = Emy = Em. Тоді

E = Em (i cosωt + j sin ωt) .

Модуль вектора є незмінним:

(6.3-2)

(6.3-3)

(6.3-4)

Emx = Emy = Em = const .

(6.3-5)

Кут поляризації є функцією часу:

θ = arctg(tgωt)=ωt.

(6.3-6)

Тобто у цьому випадку довжина вектора незмінна, й він описує коло. Така поляризація має назву – колова поляризація.

3. Нехай E	mx	≠ E	my	,	0 <ϕ −ϕ	2	< π .
	mx		my		1	2	2
							2

За цих умов модуль E та кут поляризації є величинами, що змінюються, кінець вектора

описує еліпс. Така поляризація має назву еліптична поляризація.

Таким чином, назву поляризації визначає геометрична фігура, яку описує за часом вектор

E в площині XOY.

Електромагнітні хвилі поширюються в конкретному середовищі. В підрозділі 4.6 показано, що характер середовища (провідне, напівпровідне, або діелектрик з втратами, діелектричне) визначають не тільки електродинамічними параметрами (діелектрична проникність ε, магнітна проникність μ, питома електропровідність σ), а й частотою. Тобто одне й те саме середовище може бути провідником, напівпровідником, діелектриком – з урахуванням значення частоти електромагнітного поля.

6.4 Хвильові рівняння однорідних плоских хвиль

Розглянемо ситуації, якщо в просторі заряд відсутній. Тоді хвильове рівняння (6.1-9) електричного поля буде мати вигляд:

	•		•
2	Em +ω2 ε•		μ Em = 0.	(6.4-1)
•
Вектор Em визначають трьома проекціями:
•	•	•	•	(6.4-2)
Em = i Emx		+ j Emy + k Emz .		(6.4-2)

Рівнянню (6.4-1) з урахуванням (6.4-2) задовольняє система трьох рівнянь

•	•	•
2 Emx +ω2 ε μ Emx = 0,
•	•	•
			(6.4-3)
2 Emy +ω2 ε μ Emy = 0,			(6.4-3)
•		•
2 Emz +ω2 ε•		μ Emz = 0.

Для однорідних плоских хвиль (див. умови (6.2-1)) з урахуванням того, що Ez = 0, Hz = 0 за визначенням плоскої (поперечної) хвилі, система (6.4-3) спрощується і матиме вигляд:

∂	2	•		•	•
∂		Emx	+ω2	ε μ Emx = 0,
			+ω2	ε μ Emx = 0,
	∂z2					(6.4-4)
		•				(6.4-4)
∂	2	•		•	•
∂		Emy +ω2		ε μ Emy = 0.
	∂z2

•

Аналогічний вигляд має система для вектора напруженості магнітного поля H :

∂	2	•		•	•
∂		H mx	+ω2	ε μ H mx = 0,
			+ω2	ε μ H mx = 0,
	∂z2					(6.4-5)
		•				(6.4-5)
	2	•		•	•
∂		H my +ω2		ε μ H my = 0.
	∂z2

Рівняння (6.4-4) та (6.4-5) мають однакову структуру й, відповідно, подібні розв’язки. Це

однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Їх розв’язок має два доданки із показовими функціями, якщо коефіцієнт другого доданка є негативним, тобто

•	= −ω2 ε• μ ,	(6.4-6)
k 2	= −ω2 ε• μ ,	(6.4-6)
або
•	•	(6.4-6а)
k	= jω ε μ .	(6.4-6а)

Щодо обґрунтування його назви див. 6.5.1.

Перепишемо системи (6.4-4) і (6.4-5) з урахуванням коефіцієнта k:

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2310 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.09.2019271.36 Кб33тести-2006.doc
#
03.12.2018122.37 Кб7Тести-Д-ПЕ-теми.doc
#
19.04.201527.46 Кб273тести.деонтология.docx
#
19.04.201533.79 Кб15тести_макроекономика.doc
#
19.04.201595.68 Кб16Тех. перевод.rtf
#
23.03.20166.31 Mб41техническая электродинам КПИ (Кривець).pdf
#
23.03.20164.42 Mб115Техническая электродинамика Черенков (Кривець).pdf
#
07.08.201960.87 Кб4Технології паблік рілейшинз.docx
#
14.09.20191.55 Mб4Технології.docx
#
23.03.2016315.94 Кб27Товарна политика.docx
#
17.11.2018997.89 Кб55Толбатов.doc