Иванов Матан

ункции f(u; v) =

u2 v2

4

рные пределы в точк (0; 0) равны

íóëþ,Ç ìа предел÷ íè ïî2. ñîÈçuâîêó+существованияv пн сти не существуетпредела.

по совокупности пе-

ременных не следует

существованиå

ïîâòорного предела. Например,

для ункции

1

1

6 ;

f(u; v) =

(u + v) sin u sin v ;

0;

òî÷ê

uv = 0

повтор-

предел по совокупности переменных

(0; 0) равен 0,

.

Òî÷ê

x0

2 Rn

называется предельной точкой

множОпp Xл ниR

, если существует fx g X последовательность

ные пределы не существуют.

называетсяточкой прик сновения

Íàïî

ним, чтоназываетсточк x 2 R

множества

n

, åñëè 8Æ > 0 ,! UÆ(x0) \ X =6 ;.

X Rn

åéíå

точке x

.

n

Òî÷ê

0

я изолированной

множества X

x 2 Rn

Rn , åñëè

0x 2 X è 9Æ >

0

:

o

(x ) \ X = ;.

0

UÆ

0

Ë ìì 2.

n

и любой точки x 2

люб го множества X Rn

(1)2

x

ÿâëÿетсДлят чк

ïðèê

множества X и x

íå ÿâ-

Äîê

ò ëьст предельнойпроводитсточкосновенияак же,

àê

в случае n = 1 (см

2 R

n

следующие усл вия эквивалентны:

X;

0

0

ой множест

0

ò ÷ê

множества X.

яется изолиро анн

Опp л ни . Пусть x предельная

точка множества X Rn .

ëåììó 1 Ÿ 4 ãëàâû 2).

0

пределом ункции f : X ! R

A 2 R [ f1g будем назыв

Элементв точк x

0

по множеству X и писàòü

lim

f(x) = A, åñëè

x!x

Êîøè): o

0

(определение

x X

" > 0 9Æ > 0 : 8x 2 X \ UÆ(x0) ,! f(x) 2 U"(A);

8fxng

X ïîñë.åéíå):

точке x0

,!

lim f(xn) = A.

Ç ì ÷ íè 3.

Непосредств нно

из определений следует, что если

o

n!1

9Æ

> 0 :

(x

) X, òî ïðåäåл ункции f : X ! R по множеству

0

U

Æ0

0

163

lim

f(x) ýòî òî æ

самое, что предел

lim

f(x) (по совокупности

x!x0

x!x0

x2X

).

n

переменных, без указания множеств

естве

X R

задана

Опp л ни . оворят,

÷òî

à

ìíî

векторункция f :

X ! R , åñëè

аждому

вектору x 2 X по

ставлен в соответствие единственный

вектор f(x) 2

m.

m

X ! R

З м ч ни 4. Задание векторункции f

о заданию m скалярных ункций f : X ! R, являющихсяэквивалентомпо-

íентами векторункции f:

f(x) = (f1

(x);

:::; fm(x)).

Опp л ни . Пусть x

i

0

льная точка множества X Rn .

Вектор A 2 R

m

áó

x

называтьпредåделом векторункции f : X !

! Rm

â òî÷ê

подемножеству X и писать

lim f(x) = A, åñëè

(определение

Êîøè):

UÆ

0

"

x2X

0

x!x

" > 0 9Æ > 0 : 8x 2 X \ o

0

(x ) ,! f(x) 2 U (A);

äîé

омпоненты i 2ейне):f1; : : ; mg. Этот

акт доказываетсявляетс так же, как

8fxng

X ïîñë.

в точке x0

,!

lim f(xn) = A.

З м ч ни 5. Вектор

A = (A1

n!1

)

я пределом

; :::; A

0

- ó êöèè f(x

= (f1

(x); :::; fm

(x)) â òî÷ê

2 Rn

ïî ìíî

вектори случае n = 1 (см. лемму 1 Ÿ 2 главы 5).

lim

f

(x) = A

äëÿ êàæ-

жеству X Rn

тогда и только тогда,

îãäà

i

x!x

0

i

Ÿ 2.

x2X

Непрерывность у кции

нескольких перемеííûõ â òî÷ê

Опp л ни . Векторункция f :

! R

m

называется непре-

рывной в точке x

0

2 X по множеству X Rn

, åñëè

X è

a)

à

x

ÿ

предельной точкой множества

(b)

точка x

являетсявляетсизолированной точкой множества X.

lim

0

f x) = f(x ) ëèáî

(x ) X). Векторункция f : X ! Rm

Rn (ò. å.

9Æ

> 0

: U

x!x

0

0

x2X

0

внутренняя точка множества X

Опp л ни . Пусть

0

0

Æ0

164

еслиназываетсяxlim!x0 f

íx)ïð= fðû(x0íîé), ò. å.òî÷ên

x0

(по со окупности п р м нных),

8" > 0 9Æ 2Êîøè):(0; Æ 8x 2 R

:

jx x j < Æ ,!

jf(x) f(x )j < ";

(определение

åéíå):

0

0

0

lim xk = x0

8fxkg UÆ0 (x0) :

,!

lim f(xk) = f(x0):

k!1

k!1

определе-

Здесь в определении Коши не

åòñÿ, ÷òî x =6 x , à

нии ейне не требуется, что x

=6 xтребу,ак

êàê ïðè x = x

выполняется

равенство f(x) = f(x

).

k

0

0

0

0

Ç ì ÷ íè 1. Åñëè x0

2

int X,

òî

непрерывность

вектор-

ункции f : X ! Rm

â òî÷ê

x

по множеству X эквивалентна

рывнанат f (xнепосредственно) непрерывна точкопределенийx . Это следует из замечания 5 пара

непрерывности ункции f в точк

0

указания множества). Это

x0

З м ч ни 2. Векторункция f(безx) = (f1

(x); :::; fm(x)) íåï å

следует

èç

тольк

.

ãðà à

â òî÷ê

x 2 Rn тогда

тог а, когда каждая коорди

Ÿ 1.

0

1

n

i

0

) = f(x ; :::; x

)

ïð -

Опp л ни . Функция f(

ры ной в точке x

= (

1

;

xn)

по п м н ой xi, если ункция

купности переменных

òî÷ê

x ,

îíà

непрерывнаназываетспо к ждой пе

'(xi) = f(x1; :::; xi 1

; xi;xi+1:::;:::; xn)

непрерыв

òî÷ê

xi .

0

0

1

; :::; x

n

) непрерывна по сово

З м ч ни 3. Е ли ункция f(x

0

0

0

0

0

0

ременной в отдельноñти. Это легктоследует из определений.

Ç ì ÷ íè 4. Èç

ти ункции f(x

1

; :::; x

n

)

êàæ

дой переменной в отдельностинепрерûâíîñледует непрерывность f

ïî ñîâî-

купности переменных. Например, ункция

f(u; v) =

(

uv2

;

2

2

6

;

u2

+v4

u

+ v

прерывна

0;

= 0

отдельности, но

каждой т чке по

аждой

íå является непрерывной

â òî÷êå (0; 0)

ïеременнойсовокупности переменных.

165

Ÿ 3.

нескольких переме ныхкции

множестве

Опp л Непрерывность. Пу вектор-

f : X ! R

m

ределена

à

жестве X R

n

. Векторункцияf называе ся н пр ры ной

ìн ст ниX, если она непрерывна в каждой

òî÷êå x

0

2 X ïî

ìíîжеству X.

сложная

f(X) оpY .мТогда

- ункция '(x) = g(f(x)) непрерыв-

Ò

1.

(О непр рывности сло

.) Пусть зада

ы множества X R , Y R

векторункцииf : X ! R ,

g : Y ! R ,

непрерыв ые на своих множнойествах определения. Пусть

n

m

m

íà

Док т льст о. Таквекторак ункция g непрерывна на множестве

на множестве X.

j < ,! jg(y) g(y

)j < ":

Y8,yòî2 Y 8" > 0 9 > 0 : 8y 2 Y : jy y

0

0

0

(1)

Из непрерывности ункции f на множестве X следует, что

)j < :

8x

0

2 X 8 > 0 9Æ > 0 : 8x 2 X : jx x

j < Æ ,! jf(x) f(x

0

0

Отсюда, применяя условие (1) для y = f(x), y = f(x ), получаем

8x

0

2X 8">0 9Æ >0 : 8x 2 X : jx x

j<Æ ,! j0g(f(x))0 g(f(x

))j<";

0

0

т. е. векторункция '(x) = g(f(x)) непрерывна на множестве X.

Т оp м 2. Пусть векторункция f : X ! R

m

непрерывна на

омпакте X

R

n

. Тогда множество значений f(X) является ком

пактом.

т льст о повторяет доказательство теоремы 1 Ÿ 7 гла-

Äîê

âû 2.

Если векторункция f

непрерывна на к

Ñë ñò è .

Док т льст о. В силу теоремы 2

æ

f(X) компакте,

X R

n

то она ограничена на X.

следовательно, является огран чен ым множеством. Это и означает

ограниченность векторункции f

íà

множестве X.

166

Ò îp ì 3.

.) Пусть скалярная ункция f : X !

! R непрерывна на компакте X R

n

. Тогда

9(Вейерштрассxmin2X f x) 2 R;

9 max2X f(x) 2 R:

òåî

û

Док т льст о повторяет док

Вейер.

штрасса (теоремы 2 Ÿ 7 главы 2) для ункции

äíîé

ïåðåìåí

r(t), непрерывная на некотором отрезказательство[t ; t иетакая,

÷òî

r(t ) =

Опp л ни . Множество X R

n

íàçû

ñÿ ëèí éíî-ñ ÿ -

кривой

, лежащей в Xточки,.е. 8x ; x

2 X

существу

вектжнорункция

ным, если любые д е

x

1

è x

2

множества X мо

с единить

1

= x

, r(t

) = x

è 8t 2 [t

; t

2

1 2

1

2

,! r(t) 2 X.

1

2 X

1

2

r(t)

x2

= r(t2)

x1

= r(t1)

Ò îp ì 4. (Î

значении.)

Пусть скалярная

ïðè

ìàåò

на X значепромежуточномия y линейноy . Тогда f(x)

íà X âñå

óíêö

f(x) непрерыв а на

y .

-связном множестве X R

n

значеíèÿ,

лежащие

между y

) принимпринимаетзнач

èÿ y

Ä

т льст о. Пусть

ункция

è y

в точках x ; x

2 X:

1

1

2

2

f(x ) = y . Â ñèëó ëè åéíî-

f(x ) = y ,

òîí é

переменной

äëÿ

любого

числа y

леж щего между yункцииy , ñó-

2

1

2

1

1

2

2

1

åò

íà

å [t ; t

связн сти множества X

âå ò

- ункция r : [t ; t существу! X акая, что r(t ) = x , r(t ) = x . Так

êàê

жная ункция '(t) = f(r(t))

непрерывная

íà

отрезке [t ; t ,

ïñëîт ореме Коши

1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

промежуточном значении для

îä

ществует t 2 [t ; t :

'(t ) = y .

Следовательно, x

= r(t ) 2 X è

f(x

) = y

0

1

2

0

0

0

0

1

0

2

0

.

0

Опp л ни . Открытое линейно-связное множество называет-

ñÿ î ë ñòüþ.

167

что множество определения ункции

æåò íå ÿâ-

лятьсяункции",Заметим,областью"множес. Поэ воомуопределениялучше

ункции"не "область. мопределения

Ç ÷ 1. Являются ли областямиговоритьR

n

следующие множества:

(x

), ãäå " > , x

0

2 Rn ;

n

á

0

n

g, ãäå " > 0, x

2 R

;

fx 2 R

S

: jx x j >

0

â

U

(a)

U

0

n

, jb aj > "

+ "

?

"1

"2

(b), ãäå " ; "

2

> 0, a; b 2 R

1

ÿ: 1)

1

îñòè â R

n

2

5;

Указа

ткрытость "-окрест

доказана в гла

(в) применить теорему

промежуточном

значении для непрерыестваной

а)2 для доказательства отсутствия линейно-связности множ

Ÿ 4.

вномерная

непрерывность ункции

ункции f(x) = jx aj.

íà

множестве

оп еделе

на множестве

Опp л ни . Пусть у кция f(x)

X R

n

. оворят, что f(x) р íî

í ïð ðû í

íà X, åñëè

0

2 X :

jx ì xðíîj < Æ ,!

jf(x) f(x

)j < ":

(1)

8" > 0 9Æ > 0 : 8x; x