Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Иванов Матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Непосредственно из

предела

следует что

lim an = a тогдапределениятольк

гда, когда

n!1

это обстоямы

åëü òâî,fanèç

свойствag являетсябесконечнобе конечном лыхмалойл. Использу

лу им свойства пределов

îñтей, связанныеостейри ме

ность÷åñêè è

g,последовательнfb g беск ечно малые

Ë ìì 2. Å ëè fa

ñòè,

то fa +действиямиb g fa b g бесконечно малыепосëедовательности.

Äîêò ëüñò î.

Поскольку lim an = 0,

lim bn = 0, òî

n!1

8" > 0 9N1 :

8n N1

,! janj

" ;

8" > 0 9N2 :

8n N2

,! jbnj <

(см. второй пример в Ÿ 3). Отсюда, используя неравенсòâî òреуголь-

íèêà jan bnj j

nj + jbnj, получаем, что

bnj <

+ "

= ";

8" > 0 9N = maxfN1

; N2g : 8n N ,! jan

ò. å.

lim (an

bn) = 0.

n!1

lim an

= a, lim bn = b, òî

9 lim (

n +

Ò îp ì 1. Åñëè

+ bn) = a + b

n!1

9 lim (an

bn) = a b.

Äîê

n!1

ag è

1) Так как послед

bg являются бесконечно малыми, товательностисилулеммы 2

b)g =òfëüñò(a

aî) (b

b)g являются бесконечно

малыми,послет. .

+ b

(a +

= f(a

a) + (b

b)g

довательности f

lim (an + bn) = a + b,

lim (an bn) = a b.

n!1

2. Åñëè

n!1

= a, òî 9

lim janj = jaj.

lim an

Äîê

n!1

. В силу леммы 1(б) имеем

= a

ñèëó îïðå-

jja j

оpjajjмт jaльстajо. Отсюда и из условия

lim a

Ë ìì 3.

Åñëè

fa g

ограниче ная

последовательность,

n!1

деления предела получаем, что

lim janj = jaj.

n!1

g бесконеч-

g беск нечно малая последовательíîñòü, òî fa

но малая пîследовательность.

чена,Докто т льст9Mî.

>Поскольку0 : 8 2 последовательностьN ,! ja j M:

fang ограни-

Так как последовательность fb

g являетсяnбесконечно малой, то

8" > 0 9N(") :

n8n N(") ,! jb

j < ":

Следовательно,

= ":

8" > 0 9N = N

: 8n N ,! jan bnj < M

Поэтому последовательíîñòü fa

g является бесконечнî малой.

Ò îp ì

Åñëè

lim na n

lim b

ab)g è f(a

a)bg бесконечно малые,последовательносдовательно, п

lim (anbn) = .

n!1

. Требуется доказ

ü, ÷òî

Äîê

fa g х дится,

= a

)+(т abльстa)оb. Таконечнокакп

лемме 2 последовательность fa

bследовательностьg акж является бесконечн

g является беск

ма ой. Заметим, что a

ab =

ab =6 0 è

lim a

= a =6 0, òî

Ë ìì 4. Åñëè 8n 2 N ,!

по теореме 2 Ÿ 3 она ограничена. В силу леммы 3

ìàëîé.

n n

n!1 n

lim

= a .

n!1

теоремы 2

lim ja

= jaj > 0. Îò-

Äîê ò ëüñò î. Â

силун

ñþ

ïоложив в оïðåä

n!1

" =

jaj

предела последовательноñ

N !

2 .

Îпределим

число M = max n

; : :2: ;

;

Òîãäà,

8n 2 N !

M, . .

janj > j j " =

è-

получаем, что 9N :

8n N

jaj

ò.

jaj

последовательность n

ja1j

jaN

j jaj

чена. Следовательно,an

àêæ

aогранn

è÷åíà.

= n

(a a )o

является бесконечнопоследователмалой, .

üí. îñòülim

1 .

an a

1 o

Отсюда и из леммы 3 следует, что

an a

n!1

= b,ÄÒ îpênlim!1ìòab4nëüñò.=Åañbëè.î. 8Ân 2ñèëóN , ë ììa û=6 04, nliman1n==a =6a1 . 0Поэтому,è nlim!1bnñî=

ë ñíòî ò îð ì 3,

lim

!1 b

an =

lim bn an

= b a

= a .

g ñõî ÿò-

n!1

+ b g è fa b

Ç ÷

2. Пусть

8n ,! bn

=6 0,

lim (

n + bn) = x,

lim

= y

Ÿ 5.

посл ок тпрльностилу

í ð íñò õ

ñÿ. Â

ëè, ÷òî

n n

g è fb g

î ÿòñÿ?

Â ðíî

ëè, ÷òî

fa g è fb g

î ÿòñÿ?

n!1

Н помним,Пчтор хсшир нной число ой прямой н ы тñÿ ìíî-

ñò

R = R

f+1; 1g.

Ò îp ì

lim an

= A,

lim bn

= B,

A; B 2 R, A <

Пусть

÷òî 8x 2 U (A)

8y 2 U (B) ,!

x < y. Ïî

îïð ë

íèþ ïð ë

N = maxfN ; N g, получ м тр у мо ут р

< B. Ò

n!1

9N : 8n N!1, a < b .

ñóù: 8ñòn ó N

2 U (B).

8n ò Nëüñò,!î a

2 U (A), 9N

Äîêî

т число " > 0 т ко ,

. Ïî ë ìì 1 Ÿ 3

Åñëè

= A,

Ò îp ì 2.

1lim2an

lim bn

= B, A; B 2 Ríè 9N :

ОпрДокëè ò n

n .

n!1

им проти но : A > B. Пî ò îð ì

8n N ,! a

n!1

b , òî A B.

проти ор чи

льстуслоои Прм a полоb .

ÑëÄîê ñòòèëüñò

î. Åñëè B 2 R, òî îïð èì fbng = fBg è,

1 9N

: 8n

< a

. Ïðè n

maxfN; N

g получ м

B, 9 lim a

= A

+1,

Åñëè 9N :

8n N ,!

A B ò ê

ыполн но.

Ñëó÷ é

B = 1 í

A; B 2 R, òî A

n!1

lim bí ð íñò î= B ñë ó ò, ÷òî A < B.

прим няя т ор му 2, получ м н р нст о A

B. Åñëè B = +

ð ëè ó òñÿ,

.ê. 8n N ,! a

< b ,

lim a

= A,

Ç ì ÷ íè.

È óñëî èé 8n 2

n!1 n

Í ïðè

ð, an

= 0 bn =

, A = B = 0.

Ò îp ì 3.

(Î òð õ ïnîсл о т льностях.) Если 9N : 8n

N ,! an

bn n,

lim an

lim n = A 2 R, òî

lim bn = A.

n!1

ïð ë

n!1

Äîêò ëüñò î. Ïî

; ëÿ ëþ î î " > 0

8" > 0 9N опр: 8n лльно,Nнию! b

2 U (A);

9N1

: 8n N1

2 U (A):

÷èì

= maxfN; N

; N

g. Òî

ïðè n N èì ì A " <

Î< aî í b

2 U

(A). Èò ê,

< A + ", ñë î ò

ò. .

lim bn = A.

n!1

N ,! a

b . Òî

Т оp м 4. Пусть 9N :

Äîê ò ëüñò î.

Ïî îïð ë íèþ

ïð ë

1)2

ñëè

lim

òî lim

;

bn =

n!1

2 U"(+1) =

; +1

8" > 0 9N1 : 8n N1

!1, an

(ò. .

" ), íî òî bn

ïðè n > maxfN; N1g. Ñë î -

ò ëüíî,8" > 0 9N

= maxfN; N g :

,! b

2 U (+1);

Док т льст о пункт

(2)

í ëî è÷íî.

í ÷èò, lim bn

= +1.

n!1

посл о т льности

Ÿ 6.

Опp л Монотоннын . Посл

fang í û òñÿ í ñòðî î

î ð ñò þù é

èëè í ó û þù é, ñëè

;

8n 2оN ,т!льностьa a

n+1

g í ñòðî î ó û þù ÿ èëè í î ð ñò þù ÿ, ñëè

8n 2 N ,! a

n+1

;

ющейгие,еслитовпоследоваэтихучимопределопределельностнияхнияй;нестрогиестрого

неравенствавозрастающейзаменитьстрогонаубывастро-

fa g

монотонн я,

åсли она является нестрого возра

ающей

Òåîpåìà 1.

(Вей рштрасс.) 1) Е ли

последовательность

fa g

или нестрого убывающей.

, òî ñóù

âóåò

2) Если последо

òåльность fa g нестрого

нестрого возрастает,

о существует lim an

= supfang.

n!1

Доказательство. 1) Пусть последовательность fa g нестрого

lim an = inffang.

n!1

в зрастает.

сначала случай, когдаубываетэт последователь-

ь ограничассмотримна св ху. В силу теоремы 1 Ÿ 2

уществует a =

определения

супремума 8" > 0 9N : a

> a ".

Отсювторогода сил

âîç

àíèÿ

последовательности

fa g имеем 8" > 0 9N :

8n N ,!

= supfang 2 R. Покажем, что

lim

= a. Â ñèëó

íêòà

,! a

> a ". В силу первого пункт

определения супрему-

n!1

неограничеíà

aпоследовательность> . Отсюда силу воз-

ху. Тогда 8" > 0 9N :

ìà 8

a. Поэтому 8" > 0 9N :

8n N ,! a

2 U (a),

2 N ,! a

. .

n!1

lim an = a.

теперь

когда

fang

lim a

= +1.

a ассмотримсверa > 1 , . . a

2 U (+1)

значит,

Доказа ельство пунктслучай,(2)

àëîã ÷íî.

растания последовательности fang имеем

8n N ,!

8" > 0 9N :

n!1

Следствие.

Любая

íиченнаяснизу последовательность,монотоннаяпредел fa g конечен.

сверху последовательность последовательностьили убы ающая и ограничен-

ный или бесконечный предел.

Åñëè fa

g озрастающаяимеет

Ÿ 7.

Н р нст о Б рнуллиn è ÷èñëî e

Опpеделение. Если x R, n 2 N, то x

= x

:::

Лемма 1. 8x 1, 8n 2 N справедливо н р нст о Б рнулли:

}

(1 + x)n 1 + nx.

n ðàç

БернуллиДоказательствосправедливо. Пусть пооноиндукциисправедливо. Приприn = n1 неравенство= k. Тогда

(1 + x)

= (1

(1 + x) (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x +

+ kx

1 + (k +1)x,проведемт. . неравенство Бернулли справедливо при

n = k ++1.

lim

= +1.

Лемма 2. Пусть a > 1. Тог

n!1

= (1 + x)

Доказательство. Обозначим x = a 1. Òîãäà a

1 + nx ! +1 при n ! 1, что по теореме о

переходе

Последоваòåëüíîñ ü x

= 1 +ïðåäåëüíîìсх дится.

в неравенствах (те рема 4 Ÿ 5)

äàåò

требуемое утвер

fx g

Доказ тельñòâî. Заметим, чòî 8n 2 N x

ждение1, т. .

ограниченеîpåìаснизу. Так как

n+1

xn 1

n+1

n 1

n + 1

n2 1

1 +

n+1

n 1

1 +

n 1

= 1;

n 1

то fx g убывает. В силу теоремы о схî

ограниченной снизу

убывающей последовательности fx g

схдимостидится.

e = lim

1n+

n+1.

Опpеделение.

1 n

n!1

Äîêàçать равенство:

e = lim

1 + n

åøåí

. Применяя

теоремы

n!1

ñвязан-

свойствах пределов,

íûõÏpñèмеpар метическими

действиями, получаем

1 +

= 1 +

1 n+1

Æ 1 +

! e ïðè n ! 1.

îòð êî

Ÿ 8.

Принцип

ëî [a ííûõ; b

; b

(1)

; b

8n 2 N:

Опpеделение. Последовательность отрезков f[a

g называ-

ется посл о т льностью

îòð êî , åñëè

n+1 n+1

bn+1

n+1

Т оp м 1. (Теорема Кантора. Последовательность вложенных

отрезков им ет общую точку.

; b

g последовательность вло-

Док т льст о. Пусть f[a

женных отрåзков. Из включения (1)

следует, что

(2)

8n 2 N ,! a

n+1

< b

n+1

ассмотрим

множество

[a ; b

левых

êîíö

отрезков

fa ; a ; :g è ìíîæ

правых кîíöîâ

этих отрезков:

= fb ; b

; : ::g. Покажем,ествочт

8a 2 A 8b 2 B ,! a b:

(3)

9m 2 N :

b = b

Пусть a 2 A, b 2 B. Тогда 9

2 N :

a = a

. Èç

(2)

ет, что при k m справедливы неравенства a

< b

при k > m неравенства ak

< bk

В любом случае имеем ak

Следовательно, 8n 2 N ,! 2 [a ; b

, .

. общая точка

b следу. . справедливо соотношение (3). В

силу аксиомы непрерыв-

ности

действительных

чисел 9 2 R :

8a 2 A

8b 2 B ,! a b.

Последовательноя,

вложенных

отрезков

Îïp ë íè .

ëè b

f[a ; b

g называетс

! 0 ïðè n ! 1.

по теореме т льстпредельномо

переходепоследовательностьнеравенствах jy

енных0, . .

; b

ñòÿ è þù é

вложенных

Ò îp ì 2. Ñò

x; y

бщие точкиединственнуюягивающаяс йся

âëîæ

общую

÷êó.

n ! 1,îòî

ов имеет

отрезкДокв f[a ; b g. Так как jy xj

последовательностиb a ! 0 пр

Ÿ 9.

Ïî

îð ìå 1

áùàÿ òî÷ê

сущест ует. Пу

Ч стичный пр л

посл о т льности

jy xj = 0, y = x.

g называ тся по посл -

Опp л ни . Последовательность fb

о т льностью последовательности fa

g, åñëè ñóùåствует строго

2возрастающаяN ! bk = anпо.

натуральных чисел fnkg: 8k 2

çàäà

последовательность fa

g. Послед ва

Ïpèì p. Ïó

тельность fa

g, ñ

авленная из элементов fa g

íîìå-

÷åò ûìè

строго возрастающаяпоследовательность наòуральных чисел и 8k 2

ðàìè,2 N ! a2k = an .

является подпослед вательностью последовательíîñòè fa g.

Действительно, для любог

k 2 N определим n

= 2k. Тогда fn

g является подпо

Опp л ни . Если последовательность fb

ледовательностью fang

9 lim bk

= A 2 R, то A называется ч -

ñтичным пр лом

последовательности fang.

k!1

смотрим последовательность fa g, где a = ( 1)n.

ïî

Ïpèì p.

ÿìè fa

g. Òàê êàê b

= 1,

= 1 8k 2 N, òî

Последовательностича тичны пределами fa g.

fb g = fa

g è f g = fa

ïîä-

lim bk = 1,

g являютс

lim k

= 1. Ñëåäîâательно, числа 1 и 1 являются

2k 1

k!1

Òîp ì

1. (Критерий частичного предела.) Для любой после

условия эквивалент-

fang любого A 2 R

довательностиA яется

частичным пределом по ледовательно ти fa g;

(1)2 äëÿ ëþá ãî

" > 0 в U (A) содержатследующиея значения бесконечного

û:

набора элементов fang;

(3) 8" > 0 8N 9n N :

U (A).

я частичным пре

Äîê

. (1) )n(2). Пусть"

ом последовательнос и fa

g. Тогда

ет подпоследова-

òåëьность fтa льстg акая,о чòî A =n

lim a

, существу.являетс.

k!1

,! an

2 U"(A):

8" > 0 9K" : 8k K"

Поэтому для любого " > 0 в U

(A) содержатся значения бесконечно

го набора элементов fa

" > 0, N 2 N. Òàê êàê âû-

(2) ) (3). За иксируем

< N,

Инатких элементов"

кпроизвольныеечноеатьсчило. Следовательно, выполне-

U (A) содержатся зна

онечного

словиече U(2),A) будут содерж

я лишь элемчениянтыбескномерами

полненоусловие

(3).

абора эл ментов fa

ìåíò

номером

g, среди кот рых найдется

(3) ) (1). Пусть выполнено условие

2 U

(A):

8" > 0 8N 9n = n("; N) N(3): a

à-

Построим строго возрастающую

fn g N

êóþ, ÷òî A =

lim a

. Определèмпоследовательностьn = n(1; 1). Пу

на некотором

k!1

2 N. Определим

шаге k 1 2 N определено значение nk 1

. å. nk

= n

1 ; 1 + nk 1 ;

1 + nk

= n("; N), ãäå " =

Nk= 1 + nk 1. Тогда nk

возрастает и A = lim ank .

Следовательно,

выполнено условие

(1).

> nk 1

è an

2 U

(A).

индукции

что определена

п следовательность fn g

àêàÿ,

чтополучаем,8k 2 !

> n

8k 2 N ,! an

2 U

(A).

Поэтому пос едовательность fnkg сторого

1=k

k!1

.) Огра иченная

Т оp м 2. (Теорема Б

имеет хîльцаноя бы динВейерштрассаконечный частичный пре-

последовательнос. . 9a ; b : 8n 2 N x 2 [a ; b . Определим

= (a

+ b )=2. Åñëè

äåë.

g ограничена,

Док т льст о. Пусть последовательность fx

0 0

0 31

в отрезк

;

содержатся значения бесконечного набора

отрезкчленов

;

= [

;

. Â

случае

g, то определим

опред[ 0; b0

лимсодер[aжатся1; b1 =значения[ 0; b0 .

бесконечного набора членов fxng, тогда

Пусть

отрезок [a

; b

противномк ром содержатс

÷å

н я бесконечн го набора

è fx g.

Обозна

процесс не может об рваòüñÿ, мы получаем последовательность

âëî-

÷è

= (a

+b )=2. Åñëè

членовотрезкпоследовательнос[a ; содерж

я значения бес

конечногоопределеннаб ра членов fx

g, то определим [a

; b

= [a

; .

В противном случае опрåäåëèì [a

; b

= [

; b

. Òàê êàê ýòîò

k+1

женных отрезков, которàÿ по теореме Кантора имеет общую точку

x 2

T [a

; b

b0 a0

k2N

! 0 ïðè k ! 1, òî

любого " > 0

П скольку bk

Следовая

ельно,

для любого " > 0 в U (A) содержатсдлязначения бес

пределом fx g.

найдется k 2 N: b

из включения x 2 [a

; b

< ". Отсюда

п лучаем, что [a

(x). Èòàê, 8" > 0 9k :

; b

(x).

могут быть

еечастичнымпределом (при этом

другиеявляетсча тичные

к нечного набора элементов fx

g. Â

силу теоремы 1 число x явля

ñò

Ë ìì 1. Åñëè fx g

снизу, то 1

åå ÷à-

пределом; если fнеограничеграниченаx g

сверху, то +1

являетс

ýò

xn >

1 , . .

xn 2 U"(+1).сверП именядля

8" > 0 8N 9n N :

: n n Ng неогриченаничено

õó. Ïî

N 2 N множество fxn

пределы).

сверху. Тогда

Док т льст о. Пусть fx g

любоготе рему

1, получаем, что +1

является ч

тичным пределом fx g.

íî. Ò îp ì

3. n(Обобщенная

Больцано Вейерштрасса.)

теорема

Случай, когда fx g неогра ичена снизу,неогра

сматривается аналогич-

Ëþбая числовая

имеет конечный

бесконеч-

Док т льстпоследовательностьо состоит применении теоремы 1

леммы 1.

ный частичный предел.

Ò îp ì 4. Äëÿ

любой последовательность fang илилюбого A 2

2 R следующие условия эквивалентны:

lim an

= A;

n!1

(1)2 A является единственным частичным пределом fang.

Äîê ò ëüñ î. (1) ) (2). Ïó

fan

g произвольная по

(÷òîA):

последовательнос8"ь>f0an9gN. Условие: 8n N(1)!означает,a 2 U

Òàê êàê fn g строго возрастающаяпоследовательность натураль

ных чисел, то по индукции

÷òî 8k 2 N ,! n

k. Следо-

Итак, из условия (1) следуетполучаем,что для любой по

вательно, при k N справедливы неравенства n

k N. Поэтому

8" > 0 9N : 8k N ! an

2 U"(A):

(2) ) (1). Предположим

A =

условиедпоследовательности(2) выполнено,

fank g справедливо

lim ank . Поэтому A является

условие (1) не выполнено,соотношение. . существует " > 0:

k!1

единственным частичным пред лом fang.

8N 9n противное:N 62U (A):

8k ,! an

62U"(A):

(2)

Из соотношения (1) следует существование числа n 2 N ак го, что

Построим подпоследовательность fa

àêóþ, ÷òî

62U

(A). Пусть на некотором шаге k 1 2 N опредåлено значе

n1 n

2 N. Òîã

силу соотношения (1) существует

натуральн

ñëî nk

1 + nk 1

такое, что an

62U"

(A). Таким

образом,

троена подп

овательность fan

довлетворяющая соотноше

äëåследовадов

òåльностиfa g, то B

является частичным

пределом fa g, от-

k 1

ольку

â ñèëó

(2) B =6 A.

вательность

силуть fan

g имеет ча тичный предел B 2

R. Ïðè ýòîì

íèþ (2). Â

ïî

обобщенной теоремы Б

fan

я подпоследовальцано òåВейерштрассаьн стью после

личнымсîотношенияA, что противоречит уПоскл вию (2).

ределим точные грани подмножества

числовой

прямойОпp л ниR.

. Пусть заданû множестворасширеннойL R элементы m 2

2 R, M 2 R. Тогда

x 2 L ,! m x;

îïð.

m = inf L ()

2 R : m

> m 9x 2 L : m

> x:

îïð.

x 2 L ,! M x;

M = sup L (

Îïp ë

. Пусть8ML

2R : Mìíîæ< M 9x

âñåõ2 L :конечныхM < x: è áåñ

к нечных (со з аком)частичныõ ïðåäåë

ество

fx g.

Тогда

нижними верх им пределамè ïоследовательностиfx g на-

зываются соответственно

n!1 xn = sup L:

lim xn = inf L;

Ç ÷ 1

n!1

lim

lim x

= A 2 R, òî

Доказать, что если

9 lim xn = A.

n!1

о верхний нижн й пределы послеäîâà-

З ч 2. Доказать,

тельности являются ее

час ичными пределами.

Ÿ 10.

Êðèò ðèé

Êîøè

Опp л ни . Будем говорить, что последовательность fxng

ундаментальна или удовлетворяет условию Коши, если

8" > 0 9N : 8n N 8m N ,! jx

j < ":

Л мм 1. Сх дящаяся

ундаментальна.

Док т льст о. Пустьпоследовательностьfx g х дится к числу x. Тогда

8" > 0 9N : 8n nN ,! jx

xj < "=2

и, следовательно,

8" > 0 9N :

8n N 8m N ,!

xj < "=2+"=2 = ":

j jx

xj+jx

Л мм 2. Фундаментальная последов тельность ограничена.

Док т льст о. Пусть fx

g óíäàментальна. Возьмем " =

j < ", следовательно,

= 1, тогда 9N : 8n N 8m N ,! jx

8n N ,!

j < 1. Определим M = maxfjx

j; :::; jx

N 1

j; jx

+ 1Теоpема. Тогда 8n1.2 N ,! jxnj КошиM.

fxng х дится (Критерий) fxng ун аментальна.

Доказательство. Если fx g

äится, то по лемме 1 она унда

÷åíà,

следователь

о, по теореме Больцано Вейерштрасса существу-

м тальна. Пусть fx

. Полемме 2 fx

g ограни

g ундамент

ет x 2 R частичный предел fxng. Док жем, что

lim xn = x.

n!1

Пусть задано любое " > 0. Из альнаунд ментальности fxng следует

существование номера N

акого, что

Â ñèëó

частичного

предела (теоремы 1 Ÿ 9) найдется номер

8n N 8m N ,! jx

j < "=2:

m N критерияакчто jx x

j < "=2. Следовательно,

8n Nîé,!

jxn

xj jxn

xmj + jxm xj < "=2 + "=2 = ":

Èòàê,

8n N ,! jx

xj < ":

8" > 0 9N :

Поэтому последовательность fx g

х дится к x.

последовательность fx g хсловия:дится;

Пpимеp. Как связаны два у

xj < "?

à)á 8" > 0 9x 2 R 9N : 8n N ,! jx

ешение. аспишем условие

(à):

(a)

lim xn = x

9x 2 R :

n!1

> 0 9N : 8n N ,! jx xj <

": : :, òî ç

9x 2 R :

> 0 : : :

) 8" > 0n9x 2 R

условия (а)

åò ó

(á).

. Однак следупомощью кр терия Коши можно показать, что (б) )

Пусть выполнено

условие (б). Тогда

На первый взгляд кажется, что из условия (б) не следует условèå

(à)(à).

8" > 0 9x 2 R 9N : 8n N 8m N ,!

Поэтому

,! jx

j jx xj + jx

xj < 2":

силу крите-

fxn g

альна. В

рия Кошипоследовательностьfx g х дится, . . выполняетсяундаментсловие (a).

ОпpеделениеŸ 11. мноОткрыты. Пустьñò заданоè множествомкнуты XчислоR. Точкаы x 2 R

называется нутр нн й точкой множества X, если

9" > 0 :

(x) :

Внутр нностью м ожества X называется множество int X, состоя-

щее из всех внутреíних точек

жества

Так как x 2 U"(x) для любогмно

" > 0, то int X X для любого

множества X.

åãî

Опpеделение. Множество X называется открытым, если все

Ïó

внутренние, т. е. X int X.

множество ; по определению считается

Такточкиак для любого множества X справедливо

int X

X, стоеравенство X = int X выполняется тогдавключениетолькоткрытым

тогда,

когда

ножество X открыто.

Лемма

1. Пусть заданы числа a; b 2 R a < b. Множества (

( 1; b), ( +1), ( 1; +1)

множества [a; b ,

(a; b ,

твом. Это следует из того, что

а например,b сод

ìíîæ

x 2

тым множеством. Для этого требуеоткрыты,с показ ть, что любая точк

[a; b), ( 1a;b

[a; +1)

.íå.

являютс

ткрытыми.

U (x) (a; b). Äàí

2 (a; b) внутреняя,

8x 2 (a; b)

9" > 0 :

От рытость множеств ( 1; b)взять,(a; +1) ( 1; +1) доказать са

Доказательство. П кажем, чт

интерв л (a; b) является откры

ное условие

выполняется: можно

" = minfx a; b

xg.

внутренней

точкой этого множитсоткрытыместâа, ак какествен

(a; b , ятельноне вля тс

мосто

ет числа " > 0

акого,

U (b) (a; b .

ìíîæ -

Ïîêажем, что полуинтервал (a; b не явля тся

С мосто

доказать, что

множества [a; b ,

[a; b), ( 1; b ,

[a;уществу+1) акжятельноне являются открытыми.

Задача 1.

а) Доказать, что если X Y , то int X int Y .

ñò Äîêÿ ëÿ

тс оччтоопър синмноч нини люстономо чноо.

н оркрытыхоткрытыхìíî ìíîñò

открыто) При. с ть,и прим р н ор

открытыхнмноор сò ,

êî-

торых

я я тсяоткрытым.

ñò î

Rп. рТочкс ч ниx 2 R

Îïp ë íè .

Пусть но

н ы тся точкой прикосно ниямно ст X, сëè

8" > 0 ,! U

(x) \X =6 ;:

ì ìíî

ñò X

ы тся мно ст о X, состоящ и

с х точ к прикосно ния мí

ñò

X ëÿ

Ç ìûêÒ íè x 2 U (x)

ëþ î î

" > 0, òî X

мноОпp Xл .

íè .

" Ìíî ëÿ

, слилю о о-

Ò ê

ê ëÿ ëþ î î

мност ост X спр

ìêíóòлючым ни X

ст прикосно ниÿ X ñî ð èòñÿ

X, . .

Xточк, р нст о X = X ыполнян тсяы тотс литолько

òî , êî

Ë ìì

Пусть íû ÷èñë a; b 2 R, a < b. Ìíî

ñò [

ìíî

ст о X мкнуто.

ìêíó û,

ìíî ñò (a; b), (a; b ,

( 1; b , [

+1) (

; +1)

[a; b), (

a; b)

(a; + 1) н ляются

îòð îê

ÿ ëÿ òñÿ

ìêíó

Äîê

. .

Ïîê

ì, ÷òî

[a; b

òûì ìíî1 ñò îì,

[a; b

[a; b . Ïð ïîëî èì

: ñóù -

ст у т точкт xльст2 [a;оb

ê ÿ,

÷òî x 62[a;ìêbнутыми. Т к к x 62[a; b , то ли о

= ;, ÷òî

ñëî èþ x 2

[a; b . Получ нно

îð ÷è

x < a,

ëè î x > b. Â

îì

ñëó÷ 9" > 0 :

(x) TX =

ñòÿò(a;ëüíîbì, íî ñî ð èòñÿ1 ìûê íèè

это о мнопротимкнутымст но, к к к

îê

ìêíóòîñòü îòð

ðóê [îìa; b .

a í ñîð èòñÿ î ìíî-

ом.протито слор учит ст то о, что точк

Ïîêû ò

÷òî ïîëó íò ð ë (a; b

í ÿ ëÿ òñÿ

òü ñ

З мкнутость мно

(

; b , [a; +1), ( 1; +1)

ìîñ

8" > 0 ,! U"(a) T(a; b =6 ;.

(a; +ÇС1мостоят) к2. льнон)

îê

ÿòü,÷òî÷òîñëèìíîX .

ñòY , òî(a;Xb),

Y[a;. b), (1; b),

ñò

Докя ляютсъ ин мкнутымии он чно о

ìкнутых мно-

я ля тся мкнутым мно

ñò îì.

которыхìêíóòî

ÿ ëÿ òñÿï ð ñ ÷ íèмкнутым.

мкнутых мно

Äîê òü,÷òî

ëþ î î í îð

)

н ор мкнутых

ìíîîð ñò , î ú èí íèñò

Ïðè ñòè ïðèì

Ç ÷

Í éòè ìûê íèÿ ìíî

ñò :

)

Q (ìíî ñò î

÷èñ ë).

n 2 Ng,

Ç ÷ 4. Äîê р ть,циончтольныхX открыто () RnX мкнуто.

Ò îp ì 1.

точки прикосно ния.)

x 2 (ÊX ðèò ðèé

9fxng X :

lim xn:

Äîê ò ëüñò î.

Åñëè x =

lim

n, fxng X, òî 8" >

> 0

2 U

(x). Поскольку x

n!1

(x) =6 ;, ñë -

2 X TU

(x), òî X TU

2 X.

î ò ëüíî,

ñòü x

2 X. Òî 8" > 0 ,! X TU"(x) =6 ;. Ï ëî èì "n =

= 1 .

Получим

8n 2 N ,

X TU"

(x) =6 ;, ò. .

9xn 2 X TU"n(x).

n!1

ì, ñëè

Îïp ë íè . Ìíî

ñò î X

R í û òñÿ êî

xj < "

! 0 ïðè n ! 1, òî ñèëó ò îð ìû î òð õ

Ò ê ê ê 0

ïîñë î ò ü

xj = 0, . . x =

lim xn.

остях lim jxn

òîð ì

Больц но В й рштромпсс

сущктностист у т по посл о т льнтость

т льности fx g

X ìîíî

ы мплитькто посл

о т льность,посл хо

ящуюся

н которому x 2 X.

тсялю оймп ктом то(Êðèò

ðèéтольк

òî ,

ñò î X

R ÿ ëÿ

1) Пусть мно

Äîê

ò ëüñò î.

ñò î XÌíî ð íè÷ íî

ìêíó-

, fx gp мX. Т к к к посл о т льность fx g

î ð íè÷ í

, ïî

Слxnk !о xустьт2льно,R.XТ кXкк п омпfктxn. kМgктто. Xом, тотпопротит ор ном о1 имок м xм,2чтоX =мноX.

ëî èì,

÷òî ìíî

ñò. î X

î ð íè÷ íî. Òî

è î X

н стр оничонр с рху,

ëè î

í ð íè÷ íî

сни у. Пусть ля опр

о р нич номкнутос рху. То 8n

2 X :

> n,

ñë î Ïð ï

lim x = +1.

Ïî ò îð ì 4 Ÿ 9 ëþ ÿ ïî ïîñë î

посл о т льностиfx g н ль я

û ëèòü

х ящуюся по

ò ëüí

ëüíî, n!1

fx g

+1. Ñë î ò ëü

т льность,

÷òî

÷èò ê

òè X. Получ н-

íîслпроти

îð ÷è

ïîê û

, что мностр митсомпст Xктно

)

èì,

÷òî ìíî

íî9y 2

Ïð ïîëî

ïîñë

ò üí

ñòè fy gò îðõ

ìû

lim yn

= y. Â ñè ó

4 Ÿ

. По т ор м 1 9fynпротиg X:ор

y 62X, ò. .

fy g í ëü ÿ

ëèòü

ïî ïîñë

ò ëü

ь, итсхо я

ëó÷ ííî

протипослоро÷ит покльносы т,

÷òî

ìíî

ñò î

ùóþс як н которому x 2 X, что

n!1

êîìï êòíîñòè X. Ïî-

что слипротимноор читст о X R о р нич но

Äîê

Ç ÷ 2.

Äîê òü,÷òî ñëè X

комп кт, то сущмкнутост уют

Ÿ 12.

í ñ÷ òíû

ìíî ñò

ñ ðõó, òî sup X 2 X.

ñëè 9

имноСчнотнын чно соот тст и

min X è max X.

ñò X

Y н ы ются р номощными,

Îïp

ë íè . Ìíî

èíò ð ëó

(0; 1);

òü, ÷òî

÷ 1.

Äîê

f : X

! Y .

ля лю ых чис л a; b 2 R: a < b инт р л (a; b) р номощ н

) ìíî

ñò (0; 1) è

номощны;.

(0;ð1

Îïp ë íè . Мно ст о, р номощно мно ст у N, н ы -

òñÿ ñ÷ òíûì.

Á ñê

ìíî

ÿ ëÿþù ñÿ

ñ÷ òíûì, í û òñÿ

счТтнымоpон чно1. Мно ст о, р цион льных чис л Q я ля тñÿ ñ÷ ò

íûì.

üñò î.

÷èñë

ñ-

Äîê

êîí ÷íóþ ò ëèöó, n-ÿ ñòðî÷ê

êîòîðîé èì ò è

Ïî1 ì ñòè2 ì

È îïð ë íèÿ ð öèîí ëüíî î

рслциону т,ëüчтоны

ííîé ò ëèö

÷èñë 1

присутст уют

ð öèîí ëüíû

ë íèè

ïîñë

Áó ì

è òüñÿ ïî ò ëèö

í ïð

стрчтëоккры тимыî ð-

. Ñîêð òèìû ðî è

ìы пропуск м

ëÿ

òýë.ëüíî ë.

1 ëèö1û, èí1

òî 1î,

íóì

ðî4

íî5

ðî

òü ýë

íòû

пропу

ñêÿ

öèîí ëüíî

число ыло

ð .

íîìÒ ð ñ

ìû

ñò íî

èëè

èìíî

íî í ÷íî

ó ýë ì íò

ëèöû

. .

ì ó

èõ íîì -

ð ìè

мночисл мист )соотми Nтст Qи.

(н тур льнымимно ст о Q сч тно.

льнымиR со р ит н который отр -

Ò îp ì 2. Åñëè

числмно

ми),ст(р оционX

Слок [a;о b ттольно,X н сч тно.

мноднозначноеДокжество тXсоотвельстR оакое,. Предположимчтомежду[a; bмножествамипроX. Тогдаивное:Nсуществуи X, следовететвзсчетноеàтельимно-

íî, 8n 2 N 9x

2 X ствие

9n 2 N :

x = x :

(1)

8x 2 X

ïî

едовательн сть вложенныхnотрезк в. Определим

[a ; b = [a; b .

Åñ

п строен отрезок

; b

åç

; b

определимПостроимак, ч обы [a

; b

è x

62[a

; b

(легко ви

äåòü, ÷òî àêîé

резок существует). По те

ме Кантора

вложен

противоречит условию

(1).

n 1 n 1

; b

íûõ

отрезках,

существует общая точка x отðåçêîâ [a

. Посколь-

êó 8n 2 N ,! x

62[a

n 1 n 1

; b

è x 2 [a

; b , òî 8n 2 N ,! x =6 x . Ýòî

ëàâà 2

П ЕДЕЛ И НЕП Е ЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Ÿ 1. Определенèе предела ункции

Îïp ë íè .

Пусть

задано число Ж

> 0. Проколотой Ж-

окр стностью элемента x 2 R Sf1g называется множество o

(x) =

(x) n fxg.

UÆ

2 R справедливы равенства

В частности, для любого x

j < Æg;

) = (x

Æ; x

) [(x

; x0

+ Æ) = fx 2 R : 0 < jx x

UÆ

(1) = U

(1):

( 1) = U

( 1);

Îïð

UÆ

заданыл ни

пр л по Коши. Пусть задана ункция f

X ! R

A 2

R Sf1g, x0

Sf1g, причем 9Ж0

> 0 :

)

X. Тогда пишут

Æ0

f(x) ! A

ïðè x ! x

;

A =

lim

f(x)

èëè

åñëè

x!x0

(1)

8" > 0 9Æ = Æ(") 2 (0; Æ0

8x 2 UÆ(x0) ,! f(x) 2 U"(A):

A + "

f(x)

A A"0

A "

Æ("0 )

+ Æ("0 )

Æ(")

42x

x0 +

Æ(")

<<< < Предыдущая 12 / 162 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015220.39 Кб13Задачи к курсу.Колачевский.pdf
#
03.06.201581.11 Кб8задачи.pdf
#
03.06.2015103.27 Кб40Занимательная биология.pdf
#
20.09.2019218.8 Кб2записка-пояснительная Иноземцев.docx
#
03.06.20151.17 Mб40Золотое сечение.pdf
#
03.06.20152.95 Mб28Иванов Матан.pdf
#
03.06.20152.08 Mб254Иванова. Построение графиков функции.pdf
#
03.06.201580.38 Кб12Из диалогов Платона - Диалектика Сократа.doc
#
03.06.20151.9 Mб8Изоспин.pdf
#
03.06.2015756.54 Кб24Инерциальная навигация.pdf
#
03.06.2015827.15 Кб28информатика теория.pdf