Иванов Матан
.pdf+8pj2"f2).n+Следовательно,ПустьNp(x!) fn(x+)jp >2"8+xnÿ2" условиеXN",!,, òî.jf.(6)n8выполняетсx.)2 Xfn+!p(x)jjусловиеfn+jfpn(x(x)) f.f((xx))jj + |
||||||||||||||||||||||||||||
8x 2 X |
8" > 0 9N 2 N : 8n N 8p 2Следовательно,N ! jf (x) f |
|
|
(6)x)j "; |
||||||||||||||||||||||||
. å. |
для любого ик |
рованного x 2 X выполняется условие Ко |
||||||||||||||||||||||||||
øè |
х димости чи |
вой последовательности |
ff (x)g. Â |
ñè ó êðè |
||||||||||||||||||||||||
òåльность ffвыполня(x)gчисловыхя.åдитстс |
Обозначим f(x) = |
|
lim |
|
f (x). |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ðèÿ Êîøè äëÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n+p |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
последовательностей 8x 2 X |
последова- |
|||||||||||||||||||||||
Перепишем условие (6) |
âèäå |
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
p (x)j ". |
|||
и рассмотрим от |
|
|
условие 8p 2 N ,! jf (x) fn |
|
||||||||||||||||||||||||
8" > 0 9N 2 N : 8n N 8x 2 X 8p 2 N ,! |
|
n |
|
|
|
f |
|
|
|
( )j " |
||||||||||||||||||
предельном |
|
дельнов неравенствах |
|
|
|
|
|
|
|
|
n+p |
|
|
|||||||||||||||
|
|
jf (x) f(x)j ". Èòàê, èç |
||||||||||||||||||||||||||
Поскольку |
|
lim jfn(x) fn+p(x)j = jfn |
(x) f(x)j, то по теореме о |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p!1 |
|
|
|
|
f(x) ïðè n ! 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||
f(x)j ", тперех. . f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
||||||||||||||
условия (6) сл дует, что 8" > 0 9N 2 N : 8n N 8x 2 X ,! jf |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Ÿ 2. |
|
|
|
n |
|
! |
|
|
ñ |
димость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Опp л иавномерная. Пусть множестве X задана |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
зывается р номункциональныхрно схо ящимся |
множестве X, если последов |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рядов |
|
|
|
|
дункциональнаятс равномер |
||||||||||
последовательего частичных сумм Sn(x) = |
P uk(x) ñõ |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Функци нальный ряд |
|
P |
|
uk(x) |
||||||||||||||
тельносна |
|
|
îñòü fuk(x)gk=1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
жестве X к сумме S(x) этого ряда. Аналîгично |
определя |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
åòñÿ ìíî÷ ÷í ÿ |
|
|
|
|
|
ðÿäà. |
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
èç |
|
авноме ной |
|||||||||||
дует пот чечная ссходимостьимость |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Поск льку из равномерной |
х димости последовательности сле- |
|||||||||||||||||||||||||||
ñõîдимости |
|
ряда следует по |
последовательности,очечнаях димость |
|
|
|
ðÿäà. |
|
ðÿäà |
|||||||||||||||||||
P Îïp ë íè . |
Îñò òêîì |
поточечно |
|
|
схэтогодящегося |
|
||||||||||||||||||||||
k=1 uk(x) называется |
|
|
|
|
263 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rn(x) = S(x) Sn(x) = k=Xn+1 uk |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Непосредственно из |
|
|
|
|
я равномерной сходимости ряда и |
|||||||||||||||||||||||
критерия равномерной |
определенсх димостè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
последователь |
|||||||||||||||||
íа множестве X тогдаункциональныйтольк тогда,ункциональнойогда |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñõ |
|
|
|
|
|
ð |
.) Поточеч- |
|||||
Т оp м 1. (Критерий |
равномернойяд |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
остих дящийся |
|
|
|
|
|
|
|
|
uk(димостиx) х дитсядаравномерно |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
! |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
(x) |
0 |
ïðè |
|
n ! 1; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
ò. å. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïðè n ! 1: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sup jrn(x)j ! 0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ò îp ì 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
(x) ñõ äèòñ |
равномер- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
x2XÊîøè.) ÿä P uk |
||||||||||||||||||||||||
но на множестве(КритерийX тогда только тогда, |
|
когда выпîлняется условие |
||||||||||||||||||||||||||
Коши равномерной сходимости ряда |
|
|
|
|
|
|
n+p |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8" > 0 9N 2 N : 8n N 8p 2 N 8x 2 X ,! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
X uk(x) ": (1) |
|||||||||||||||||||||||||||
Äîê ò ëü |
о состоит |
|
|
|
|
|
|
|
k=n+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
применении критерия Коши равно |
||||||||||||||||||||||||||||
äà.) Åñëè ðÿä |
|
P(Необu последовательностиx) х дитс равномерно на множестве X, |
ֈ |
|||||||||||||||||||||||||
мерной |
|
õîä ìîñòè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ê |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n Ñë !ñò è |
. |
|
|
|
х димое условие равномернойпоследовательностих димости ря- |
|||||||||||||||||||||||
стичных |
óìì ðÿäà. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
u (x) |
|
|
|
|
|
k=1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñõòî- |
|
|
X |
0 ïðè n ! 1. |
|
|
|
|
|
|
|
Êîøè èç |
|
|
|
|||||||||||||||
Äîê ò ëüñò î. Â ñèëó |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
димости ряда |
|
|
|
|
ет условие |
критерияКоши вномернойравномернойсхдимостиряда |
||||||||||||||||||||||
(1). Полагая в |
следусловии (1) p = 1, |
получаем |
|
|
|
|
(x)j "; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
8" > 0 9N 2 N : 8n N 8x 2 X ,! ju |
n+1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
264 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ò. å. |
u |
n |
(x) |
! |
|
0 ïðè n ! 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
Из необходимого у |
|
|
|
|
равномерной ходимости |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ÿäàÇ ì ÷ íè |
|
|
2 Ÿ 1 вытекает, что если 9fxkg X : uk |
(xk) 6!0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
при k !следствия1, то р д |
P u |
k |
(x) не являетссловияравномерно сходящимся на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
множестве X. |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
X |
||||||||||||
З м ч ни . Существование |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fxkgk=1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
акой, что числовой ряд |
|
P u |
k |
(x |
k |
)последователрасх дится, ьностине доказывает отсут- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ствие равномерной сходимости |
|
|
|
|
ÿäà k=1uk(x) на множестве X. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Действительно, пусть, |
например, |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uk(x) = |
|
|
k |
|
|
|
|
|
2k ; 2k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Остаток ряда |
P u |
|
0; |
|
|
|
|
|
иначе: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
k |
(x) имеет виä |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
x 2 |
|
; |
|
|
|
|
|
; k n + 1; |
|
|
|
|||||||||
|
|
rn(x) = k=n+1 uk(x) = |
|
|
|
|
|
k |
|
|
2k |
2k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0; |
|
èíà÷å: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Поскольку jrn(x)j |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! 0 ïðè n ! 1, è |
||||||||||||||||||||||
|
n+1 |
|
!1 0, òî rn(x) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ðÿä |
P u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0;1) |
|
|
|
|||||||||||||
k |
(x) сходится равномеðíî íà èíòåðвале (0; 1). Тем не менее |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k=1 |
|
|
P |
|
|
|
1 |
|
|
|
P |
|
1 |
|
|
расходитс . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
числовой ряд k=1 uk |
|
2k |
|
|
= k=1 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8k 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
Ò îp ì |
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïð çíàê |
сравнения.) Пусть |
|||||||||||||||||||||||||
2 N 8x 2 X ,! (Îáju îáxщенный)j v (x) |
è ðÿä |
P |
|
v |
|
|
(x) сх дится |
àâíî- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k=1 |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
на множестве X. Тогда ряд k=1uk(x) сходится равномерно на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ìерножестве X. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Док т льст о. В силу критерия Коши |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
265 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8" > 0 9N 2 N : 8n N 8p 2 N 8x 2 X ,! |
|
|
n+p |
|
|
|
|
|
": |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
X vk(x) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+p |
|
|
|
|
|
|
n+p |
|
|
k=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Используя неравенство |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
k=n+1 uk(x) k=n+1 vk(x) , имеем |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
8" > 0 9N 2 N : 8n N 8p 2 N 8x 2 X ,! |
|
|
n+p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
X uk(x) ": |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Еще раз применяя |
|
|
|
|
|
Êîøè, |
|
|
|
|
|
|
k=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
доказываемое |
|
|
|||||||||||||||||||||
ждение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ju |
|
(x)j схполучаемдится равномерно на множутвер- |
|||||||||||||||||||||
|
Сл ст и . Есликритерийяд |
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стве X, то k=1 uk(x) сходится равномерно на множестве X. |
|
N |
8x 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ò îp ì 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.) Åñëè 8k 2 |
|
|
|||||||||||||||
2 X |
ju (x)j a |
|
числовойВейерштрассаяд P a ходится, то ряд |
|
|
P u (x) |
|||||||||||||||||||||||||||
ходитс |
|
|
|
(Признакмнож |
|
|
X. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|||||
|
Док равномернот льст состоит ествеприменении обобщенного признак |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ñравнения |
äëÿ v |
|
x) = a . |
|
Дирихле.) Пусть на множестве X заданы |
||||||||||||||||||||||||||||
äâå |
Т оp м 5. k(Признакk |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
последовательности fa |
k |
(x)g1 |
1 |
è fb |
k |
(x)g1 , |
||||||||||||||||||||
удовлетворяющиеункциональные |
âèÿì: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k=1 |
|||||||||||||||
|
1) |
последовательн |
ñòü |
|
|
|
|
|
|
|
|
ñóìì An(x) = k=1 ak |
(x) ðÿäà |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
P ak(x) равномерно îграничена,частичных. е. существует число C, не зави- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x 2 X ,! jA (x)j C; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
сящее от x и от n:8n 2 N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
b |
k |
(x) |
! |
0 ïðè k ! |
; |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
2)3 8x 2 X X 8k 2 N ,! b |
k+1 |
(x) b |
k |
(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
266 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ДокТогда рядтnëüñòkP=1 ak(оx.) bВыполнимk(x) равномерноn преобразованиесх дится наАбеля:множестве X. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Xak |
(x) bk(x) = |
X(Ak(x) Ak 1(x))bk(x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A0(x)=0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= |
|
X |
A |
k |
(x) b |
k |
(x) |
X |
A |
k |
(x) b |
k+1 |
(x) |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= An(x) bn(x) + k=1 Ak(x)(bk(x) bk+1(x)): |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
k+1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
! |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
÷òî |
|
P(b |
(x) b |
|
|
|
|
|
(x) b |
(x) |
(x) ïðè |
||||||||||||||||||||||||||||||||
n !Заметим,1 . . |
|
|
|
|
|
(x)) = b |
|
|
|
|
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ÿä |
|
|
P(bk(x) bk+1(x)) |
|
равномерно сходится, |
ëåäî |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P C (bk(x) bk+1(x)). Ïîñêîëü |
||||||||||||||||||||||||||
вательно, равномерноk=1 сход тся ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
C (b (x) b (x)), и в силу обобщенного признака сравнения по- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
êó jA |
k |
(x)j C, b |
k |
(x) b |
k+1 |
(x) 0, òî jA |
k |
(x) (b |
k |
(x) b |
k+1 |
(x))j |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) (bk(x) bk+1(x)), ò. å. |
|||||||||||||||||||
л чаем равномерную сходимость ряда k=1 Ak |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
существует ункция S(x): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
(x) (b |
|
|
(x) b |
|
|
|
|
(x)) |
|
|
|
|
S(x) |
|
ïðè |
|
n ! 1: |
|
(3) |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
XA |
k |
k |
k+1 |
! |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
х димости |
|
|
|
|
|
|
- |
|||||||||
В силу леммы 1 Ÿ 1 из равноме ной |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ти fb (x)g к 0 и равномерной огðаниченности |
последовательности! 1. Отсюда из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
fA (x)g следует |
|
÷òî A (x) b (x) |
X |
|
0 ïðè n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соотношений |
|
(2), |
|
|
|
|
|
|
следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
! |
|
|
ïðè |
|
n ! 1; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
a(3)x) b (x) |
|
|
|
|
|
S(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
k=1 |
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
267 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ò. å. ðÿä |
|
|
(x) b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
P a |
|
|
|
|
|
(x) равномерно сходится на множестве X. |
|
â íåìÇ ÷ 1. |
3)Останется8xзаменить2 X 9Nли: |
справедливым признак Дирихле,; |
åñëè |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
áà) условием 9N : |
8x 2 X 8k N ,! b |
k+1 |
(x) b |
(x) ? |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Ò |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лейбница.) |
|
|
k |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть 8k 2 N 8x 2 X ,! |
|||||||||||||||||||||
,! b |
k+1 |
|
b |
k |
(x)(Признакb x) |
! |
0 при k ! 1. Тогда ряд Лейбни- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
öà |
k=1 |
|
|
|
|
(x) равномерно сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
îp( 1)ìkb |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Äîê |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Обозначим ak(x) = ( 1)k. Тогда k=1 ak(x) = |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
P |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
( |
1) т льст1. В осилу признака Дирихле ряд Лейбница сходится. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
k=1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Признак Абеля.) Пу |
ь на множестве X заданы |
||||||||||||||||||||||||||||
äâå |
Ò îp ì 7. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïîñë |
|
|
|
|
|
|
ñòè fak(x)gk=1 è fbk(x)gk=1, |
|||||||||||||||||
у ункциональныеяющие словиям: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
||||||||||||||||||||||||
довлетворяд |
|
ak(x) |
равномернодовательносх дится на множестве X; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1)2 последовательность fb (x)g равномерно ограничена, т. е. |
(4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3) 8x 2 X |
9C 2 R : |
8k 2kN 8x 2 X ,! jb |
(x)j C; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8k 2 N ,! bk+1(x) bk(x). |
|
|
k |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
îê |
|
|
|
k=1 |
k |
|
. |
|
k |
(x) равномерно сходится на множестве X. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
Тогда ряд |
P a |
|
(x) b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
êàê R |
|
|
(x)ò ëüñòR (x)î= a |
|
|
(x), |
òî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
Äля любых n 2 N, x 2 X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
пределим Rn(x) = k=n+1 ak(x). Так |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n 1 |
n+p |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
n+p |
(Rk 1 |
(x) Rk(x))bk(x) = |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X ak(x)bk(x) = |
|
X |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k=n+1 |
|
n+p |
|
R |
|
|
|
|
|
k=n+1 |
n+p |
|
R |
|
(x)b |
|
(x) = |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
X |
|
k 1 |
(x)b |
k |
(x) |
X |
|
k |
k |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=n+1 |
|
|
|
|
268 k=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
n+p 1 |
Rk(x)bk+1(x) |
|
n+p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
X R ( bk(x) = |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=n |
|
(x)b |
|
|
(x) R |
|
k=n+1 |
|
|
|
(x)+ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= R |
n |
n+1 |
n |
|
p |
(x)b |
n+p+1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x)(b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
R |
|
|
(x) b |
(x)): |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+p |
|
|
k |
|
|
|
|
|
k+1 |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для любого n 2 N |
|
|
|
k=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= sup |
sup jR (x)j. Òàê êàê ðÿä |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
бозначим M |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ïðè k ! 1. |
Следовательно, |
M ! 0 ïðè n ! 1. |
k |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
k n |
x2 |
|
|
x2X |
|
|
|
|
|||||
P a (x) равномерн |
|
|
|
сх дится на можестве X, то sup jRk(x)j ! 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку для любого p 2 N справедливы соотношения |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n+p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+p |
|
|
|
|
|
|
x)j = |
|||||
|
X Rk(x)(bk(x) bk+1(x)) Mn |
|
X jbk(x) bk+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=n+1 |
|
|
|
|
(4) |
|
|
||||||
|
|
k=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= Mn |
n+p |
|
(bk(x bk+1(x)) = Mn(bn+1(x) bn+p+1(x)) 2CMn; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k=n+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то из равенства (6) для любых n 2 N, x 2 X имеем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(x)bk(x) 4CMn: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X ak |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Òàê êàê M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8n N ,! 4CM |
|
". |
||||||||||||
n |
! 0 ïðè n ! 1, òî 8" > 0 9N : |
|
n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
8" 9N : 8n N 8p 2 N8x 2 X ,! |
|
|
|
|
|
|
|
": |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
X ak(x)bk(x) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Применяя критерий Коши (теорему 2), получаем равномерную схо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
димость |
ÿäà |
|
P a |
|
(x) b (x) |
|
|
|
множестве X. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 k |
|
|
из признакk |
|
Абеля вытекает следующее утвер |
||||||||||||||||||||||||||||
ныйНепосредственнояд при исследовании егî |
равномернойупрощатьсх димости. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ждение, позволяющее |
некот рых случаях |
|
|
|
|
ункциональ- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
269 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сл с и. Пусть на множестве X заданы две ункциональные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
fak |
(x)g |
k=1 |
è fbk(x)g1 |
|
, причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
(x) M |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
9m > 0 9M > 0 : 8k 2 N 8x 2 X ,! m b |
k |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
последовательностиномернаядимостих ряда |
a (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(x) b (x). Тогда |
|
множестве X |
|
|
|
- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
8x 2 X 8k 2 N ,! |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
х димость ряда k=1 ak(x) bk(x) |
эквивалентна равномерной |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
k |
|
k+1 P |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х димость на мно- |
|||||||||||||
|
Исследование |
ÿäà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
P uk(x) на равномерную |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) Если существуетдитьакое x |
2 X, ÷òî |
числовой |
ð |
|
|
P u (x ) |
|||||||||||||||||||||||||||
жестве X можно |
прово |
|
|
|
по следующему плану: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ó |
|
k |
|
|
k |
|
|
|
х димости |
|
k=1 |
|
|
|
|
являетсльно, |
ÿä íå ñõ - |
|||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
словия |
|
|
|
ЛейВейерштрасса,ница, ядпоточечнох дит- |
|||||||||||||||||
расходится, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0ðÿä |
P uk(x) íå |
|
|
|
ÿä k=1 |
k |
|
0 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
выполняютсункциональныйсловия |
|
|
|
Д рихле, простогояд х дитсяда, |
|||||||||||||||||||||||||||
(а значит, и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х дящимс |
à X. |
÷åê fxkg1 |
|
|
X |
|
à |
|||||||||||||||||
|
2) Если существует последовательíîñòü |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
кая, что u (равномерно)x 6!0 при k ! 1, то не |
âûï ëíÿ |
|
|
|
необх дим |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3) Åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
словия |
|
|
следоват |
|
|
|
k=1 |
|
|
|
ðÿä |
|||||||||||
хсловиеравномернойдится . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
6)7 |
Åñëè |
|
выполняется отрицаниепризнакусловниюю Коши равномерной |
||||||||||||||||||||||||||||||
дится |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
ледствия из |
|
|
а Абеля возможно свести |
|||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
помощью |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
я равномерно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
иссдеëàòü ýòî. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
исследов |
|
|
áî åå |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
едование исх дного ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
åðíî. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
равносх димости |
ðÿäà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
9" > 0 : 8N 2 N 9n N 9p 2 N 9x 2 X : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
X uk(x) > "; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
то ряд не сх дится |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
ерно. (В жно, что в отрицании условия |
||||||||||||||||||||||||||||
Коши равномерной равнохдимости |
ðÿä |
òî÷ê |
|
x может зависеть от N, |
||||||||||||||||||||||||||||||
но не должна |
зависеть |
от индекса |
суммирования k.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
270 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)тем7),Присаусловиярешенииым завершитькоторогоконкретной задачия,равнонужнозатемернойнайтиэто нужносхтотдимостииз пунктовряда. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ïpèìåp. |
Исследоватьвыполняютсна х димосòь и равномерную обосновах димость |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ÿä |
P sin(kx) |
íà îò |
езкахисследование; [Ж; гäå Æ 2 (0; ). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
åøåíèå. 1) |
|
Ïðè |
|
[0члены р |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
не стремятся к нулю |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k=1 |
k |
6!0 ïðè k ! 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(kx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÿä |
||||||||||||||||||||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
тельно, |
|
при 0 данный |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
не является |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñõî |
|
|
|
|
|
|
|
я нядаотрезках [0; и [Ж; . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ïðè |
k ! |
|
|
|
(т.к., например, при x = |
|
|
|
k = 1 + 4n |
n 2 N имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(а значит, и наïîòîðчечноезк [Ж; ). Это следует из пðèзнака |
Вейерштрасса, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin(kx) |
|
1 |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
k |
|
|
х дится при > 1. |
||||||||||||||
поскольку |
|
|
|
|
k , и числСледоввой ряд |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
ÿä |
|
P |
sin(äÿùkx) èìñõ äèòñ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на отрезк [0; |
||||||||||||||||||||||
|
2) Ïðè > 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3) Покажем, что при > 0 данный равномернояд х дится поточечно на |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
sin(kx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Пусть x 2 (0; . Покажåì, ÷òî частичные суммы ряда P sin(kx) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
трезк [0; . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
||||||||
ограничены. Действительно, |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
sin(kx) |
|
|
|
|
|
x=2) = |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
sin(kx) = sin(x=2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 sin(x=2) k=1 |
|
os (k + |
2 )x |
|
ossin(k |
2 )x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
os |
(n + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin(x=2) |
|
|
|
2 )x |
|
os |
2 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
следовательíî, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
8x 2 (0; |
|
8n 2 N: |
|
|
(5) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
X sin(kx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(x=2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
монотонно сòðåìèò- |
|||||||||||||||||||
|
Òàê êàê ïðè > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= (0, данный ряд силуходитсосризнакяледоватточкельностьx = 0. Таким образом, |
ïðè > 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ñÿ ê íóëþ, òî â |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÿäîâ 8x 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дирихле для числовых |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P sin(kx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(kx) |
|
|||||||||
2 |
|
; ðÿä k=1 |
|
|
k |
|
|
|
х тся. Поскольку в точке x = 0: |
|
k |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
271 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ðÿä |
P |
sinkkx) |
|
|
х дится поточечно на |
|
|
|
е [0; (следовательно, и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на отре4)k=1Покеажем,[Ж; )что. |
при > 0 данныйотрезкяд сходится равномерно на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[Ж; . Из (5) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
8x 2 [Æ; |
|
|
|
8n 2 N: |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X sin(kx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(Æ=2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
части÷íûå |
|
|
|
|
|
|
|
|
ðÿäà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
монотон |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P sin(kx) |
равномеðíî |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ÿ ê íóëþ, òîñóâ |
ммылу п из ак |
|
Дирихле для унк- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
циональСледовательно,ыхстремитсядовданный ряд сходится ðавпоследовательностьомерно на [Ж; при > |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ограничены на [Ж; . Так как при > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
> 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P sin(kx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
5) Покажем, что при 1 ряд |
|
|
|
|
k |
|
|
не являетс |
|
ðàâíомерно |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сх дящимся на [0; , |
|
ак как выполняется отрицание условиÿ |
Êîøè |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равномерной |
сходимости |
|
этого ряда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9" > 0 : 8N 2 N 9n N 9p 2 N |
9x 2 [0; : |
|
|
|
|
|
X sin(kx) |
|
": |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
, |
k=n+1 |
|
|
k |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Ïîëîæèì |
|
p |
= |
|
|
|
n |
|
|
= |
|
|
N, |
|
|
x |
= |
|
|
|
|
|
тогда |
|
|
äëÿ |
любого |
|||||||||||||||||||||||
k 2 fn + 1; n + 2; : : : ; n + pg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
= fN + 1; : : : ; 2Ng âûïîëняется kx 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
è, ñëåäователüíî, sin(kx) sin( =4) = |
|
|
1 |
. Поэтому |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
; 2 |
|
|
p |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2N |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
sin(kx) |
|
|
|
|
X |
|
sin(kx) |
|
1 |
|
|
|
X |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k=n+1 |
|
k |
|
|
|
|
= |
|
k=N |
+1 |
|
|
|
k |
|
p2 |
k=N+1 |
k |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Èòàê, |
|
|
|
|
|
|
p |
2 |
|
k=N+1 k p |
2 |
|
2N N = |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n+p |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
sin(kx) |
|
|
||||||
9" = |
2p2 |
: 8N 2 N 9n = N 9p = N 9x = |
4N |
|
: |
|
k=n+1 |
|
k |
|
": |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
272 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равномерно сх дящимсясилу критерия[0; приКоши 1ряд. ОтсюдаkP=1 sin(k kxèç) |
пунктявляется(3) |
|||||||||||||||||||||||
ледуетСледовательно,что при 2 (0; 1 данный яд хо |
|
я еравномерно на |
||||||||||||||||||||||
сходится |
|
|
|
|
|
при 2 (0; 1 , сходится |
|
|
|
|
|
|
|
ïðè > |
||||||||||
> 1; на отрезкнеравномерно[Ж; : расхотрезкдится |
ïðè |
|
äèòñ0, ðàõ вномеäèòñÿрноравномерно |
|||||||||||||||||||||
[0; . |
|
|
|
|
ÿä íà |
|
å [0; : |
|
ðàñ |
|
|
|
|
|
ïðè 0, |
|||||||||
От т Данный |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ïðè > 0. |
|
Ñ îéñò |
ном рно сх ящихся |
|
|
|||||||||||||||||||
Ÿ 3. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Ò îp ì 1. (Î |
непрерывности предельной ункции.) Если по |
|||||||||||||||||||||||
|
|
посл о т льност й и |
|
ÿ î |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
ffn(x)g1 |
непрерывных на множестве X |
|
||||||||||||||||||||
следовательностьй х дится к ункции f(x) |
|
|
|
|
íà ìíîæ ñòâå X, òî óíê- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 X è " > 0. |
|||
Док т льс о. За иксируравномернопроизвольныå x |
|
|
||||||||||||||||||||||
öèя f(x) непрерывна на множестве X. |
|
|
|
такого, что |
|
|
||||||||||||||||||
Требуется доказаòь существование |
числа Ж > |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
8x 2 X \ UÆ(x0) ,! jf(x) f(x0)j < ": |
|
0 |
|
|
|
|
(1) |
|||||||||||||||
По определению равн мерной сходимости сущеñтвует число N 2 N, |
||||||||||||||||||||||||
удовлетворяющее услîâèþ 8n N 8x 2 X ,! |
jfn(x) f(x)j |
" |
||||||||||||||||||||||
4 . |
||||||||||||||||||||||||
В частности: |
8x 2 X ,! jfN (x) f(x)j |
" |
: |
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||||||||||||
Поскольку ункция f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
N |
(x) непрерывна на множестâå X, òî ñóùå- |
|||||||||||||||||||||||
ствует число Ж > 0 такое, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
" : |
|
|
|
(3) |
|||||||||||
|
|
8x 2 X \ UÆ |
(x0) ,! jfN (x) fN (x0)j < |
|
|
|
||||||||||||||||||
Из соотношений (2) и |
|
|
получаем |
|
|
|
|
" |
+ " |
2 |
|
|
= ": |
|
||||||||||
+ jf (x) f |
|
|
(x(3)j + jf |
(x ) f(x )j < |
|
+ " |
|
|||||||||||||||||
8x 2 X \ UÆ |
(x0 |
0 |
,! jf(x) f(x0)j jf(x) fN |
(x)j + |
|
|
||||||||||||||||||
|
N |
|
N |
|
|
|
N 0 |
|
|
0 |
|
4 |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||
Следовательно, справедливо соотношение (1). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
273 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ç ì ÷ íè . |
|
Èç |
|
поточечной |
сходимости |
последоват льности |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ункции f(x)f.fn(x)gn1 |
|
к ункции f(x) не следует непре- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
||||||
Например, |
послед |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ункций fn(x) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
непрерывныхрывностьxn дится на |
отрезквательность[0; 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ê |
разрывной |
ункции |
f(x) |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
0 |
|
åñëè |
|
|
2 [0; 1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||
|
1; |
|
|
x = 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Ò îp ì 2. (Î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
суммы рÿäà.) Åñëè |
|
|
|
|||||||||||||||||||
ûé |
|
ÿä |
P uk(x) схнепрерывностидится равномерно на множестве Xункционаâñå ëü- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прерывной ункцией. |
|
|
|
ÿäà |
P uk(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
тельности |
частичных |
ñóìì |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
öèè u |
|
(x) |
непрерывны на множестве X, то сум а ряда является |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
применении теореìы 1 к последова- |
||||||||||||||
|
Док т льст о остоит |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ò |
|
|
|
|
|
3. |
(Îá è |
|
тегрировании предельной ункции.) |
ñòü |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
последций хоpдимòельностья равномерно на [a; b к ункции f(x). Тогда |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
âà |
|
|
|
|
|
ff |
n |
(x)g1 |
|
непрерывных на отрезке [a; b Пунк- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(x) dx: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Zb f |
n |
(x) dxA = Zb lim f |
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Ä |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Èç |
|
|
|
|
|
следует, что ункция |
f(x) |
||||||||||||||
|
|
|
ò ëüñ î. |
|
|
|
теоремы 1 |
||||||||||||||||||||||||||||
ýòîì |
îтрезке. Пî теореме об |
интегрированиинеравенств |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
непрерывна на |
|
трезк |
|
|
|
[a; b , |
|
|
значит, |
|
|
|
|
уема по иману на |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Zb jf |
|
|
|
Zb fn(x) dx Zb f(x) dx |
|
(x) f(x)j: |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
(x) af(x)j dx (ba a) |
sup |
|
|
jf |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
274 |
x2[a;b |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Òàê êàê f |
n |
(x) |
|
![a;b |
f(x) ïðè n ! 1, òî |
|
|
sup |
jf |
n |
(x) f(x)j ! 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xb2[a;b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
при n ! 1. Следовательно, |
R |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
R |
f |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
a |
|
fn(x) dx !1 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
! 1 не следует что a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!1 |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
fn(x) dx |
|
|
|
|
|
f(x) dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
З м ч ни . Из поточечной сходимости f |
( ) ! f(x) ïðè n ! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
n |
|
|
[a;b |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть, например, |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8 |
2 |
x; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
< n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; n |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
fn(x) = > |
|
|
|
|
|
|
2 |
x; |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2n n |
|
|
x 2 |
|
|
2 |
; |
n |
; |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
: |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Тогда f |
(x) ! 0 ïðè n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
, íî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
n |
|
[0;1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
R fn(x) dx = 1 6!0 ïðè n ! 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1=n |
|
|
2=n |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
Ò îp ì 4. |
|
(Î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегрировании ряда.) Если унк- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ðÿä |
|
Pпочленномu (x) сх дится |
равномерно |
|
íà |
отрезке |
|
[a; b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
непрерывны |
íà |
|
|
[a; b , |
òî |
|
числовой |
|
ðÿä |
|||||||||||||||||||||||||||
циональныйвсе ункции u (x) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k=1 |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
! |
|
k |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сх дится к интегралу от суммы |
|
|
|
äà |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
P |
|
|
R uk(x) dx |
|
|
|
|
|
P uk(x), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т. е. справедлива ормула почленного интегрированиÿ ðÿäà: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uk(x) dxA : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
k=1 uk |
(x) dx = k=1 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
Док т льст о. Примененяя теорему 3 к последовательности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
частичных сумм S |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
(x), получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
n |
(x) = P u |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
k=10k |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
k=1 |
Zb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 k=1 |
|
|
|
Zb |
275 |
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
Zb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ò. 3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= |
|
lim |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
= |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
A |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
uk(x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uk(x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn(x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
X |
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ò. 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nlim!1 Sn(x) |
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
k=1 uk(x) |
|
|
dx: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
Ò |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Î |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ó |
|
|
|
.) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
ff (x)g1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Пусть п |
|
|
|
|
|
|
|
|
[a; b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
äè åðåíкцииуе |
|||||||||||||||||||||||||||||
ìûõ íàîp òðì çê |
|
|
ункций |
|
|
х дится епрерывноотяпредельнойбы дной точке x |
0 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 [a; b , а последовательностьди еренцированиипроизво ых |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сх дится рав |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b . Тогда п следовательностьff (x)g |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
номерно на [a; b к некоторой непрерывно ди еренцируåìîé óíê- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ции f(x), причем |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
n |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim fn(x) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x 2 [a; b : |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim fn(x) |
|
|
|
|
'((4)x : |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
с ществует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
f0 |
|
Äîê ò ëüñò î. Ïî |
|
|
|
|
ñë âèþ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
'(x) |
|
ïðè n ! 1. |
Поскольку ункции f |
0 (x) непрерыв |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
íû, òî â ñèëó |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ункция '(x) непрерывна. Изункциясловия тео |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ðå |
|
|
|
|
[a;b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x ) = A 2 R. Опреде- |
|||||||||||||||||
|
ы следует теоремыакже,что существует |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
лим ункцию f(x) = A +xR0 |
|
'(t) dt. Заметим, что |
|
|
fn(x) = fn(x0 |
+ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
+ |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
||
|
|
|
fn( ) dt, следовательно, jfn(x) f(x)j jfn(x0) Aj + |
|
jfn(t) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
'(t)j dt. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x0 |
sup |
|
jf (x) f(x)j jf (x ) Aj + (b a) |
|
|
|
jf0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
sup |
|
(t) '(t)j: |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Поскольку f |
0 |
(x) |
|
|
'(x) ïðè n ! 1, òî |
jf0 |
(t) '(t)j ! 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2[a;b |
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
! |
|
n |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2[a;b |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2[a;b |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[a;b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
при n ! 1. Следовательно, |
|
jf |
|
|
(x) f(x)j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2[a;b |
|
|
sup |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
jfn(x0) Aj + (b a) |
|
|
|
jfn(t) '(t)j |
|
|
!1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2[a;b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ò. . |
|
|
f |
(x) |
|
|
|
|
f(x) при n ! 1. Из определения ункции f(x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следует, что |
|
|
(x) = '(x) = |
|
lim fn(x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[a;b |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
276 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ç ì ÷ íè . Èç òîãî, ÷òî |
|
|
|
|
|
ffn(x)g1=1 |
åïðå |
|||||||||||||||||||||
рывно |
|
|
|
|
емых на трезк [a; b ункций |
|
|
|
|
|
|
õî- |
||||||||||||||||
дитсяНапр мер,ункциипоследовательносf ) не едует соотношениеункций fn(x(4)=. |
ar tg nx сх дится |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
к ункцди fеренциру(x) = 0 равномернопоследовательностьна отрезк [0; , однакравномерноточк x = |
||||||||||||||||||||||||||||
= 0 |
имеем |
|
lim fn x) |
0 |
= f (x) = 0 =6 1 = |
lim fn(x). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
n!1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ò îp ì 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ðÿäа.) Пусть |
||||||||||||
|
(О почленном ди еренци |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ðÿä |
|
P uk |
(x) сх дится хотя быованиднойè |
точке x0 2 |
||||||||||||||||||
ядункциональныйu (x) сх дится равíомерно на [диa; b . Тогдаеренцируяд |
|
|
u (x) ñõî |
|||||||||||||||||||||||||
2 [a; b , все ункции u |
|
k=1 |
|
епрерывно |
|
|
|
|
åìû íà [a; b , è |
|||||||||||||||||||
k |
(x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
||
|
k=1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
еренцирования ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
||||||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дитс равномерно на [a; b |
|
и справедлива ормула почленного ди - |
||||||||||||||||||||||||||
Äîê |
|
|
|
k=1 .k |
(x)!0 |
|
|
|
k=1 |
kтеорему 5 к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
ֈ |
|
|
|
|
Xu |
= Xu0 |
(x) |
8x 2 [a; b : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ичных сумм Sn(x) = |
P uk(x), получаем, чтопоследовательностиэт |
|||||||||||||||||||||||||||
íîñòь равномернот льст ходитсо Примененяяна [a; b |
и для любого x 2 [a; b справед- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ливы равенства |
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n!1 |
|
n |
|
|
|
n!1 |
n |
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
k=1 |
k |
(x)!0 |
|
(x) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Xu |
|
= lim S |
|
|
= lim S0 (x) = |
Xu0 (x): |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
277 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ëàâà 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Ÿ 1. |
|
|
|
|
|
|
СТЕПЕНН Е P Д |
|
|
х имости |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïðè í ê Êîøè |
||||||||||||||||||||||||||||
|
Напомним,О оверщ нныим éеделом числовой последовательности |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
fxkg1 |
|
íàç |
|
ваечисяëоточнаяо о |
|
ÿ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
ве хняя грань множества всех (конечных |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пределов последовательности fx |
g : |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
и бесконечнûх) частичных |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim x |
k |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k!1 |
|
|
|
|
|
g1 |
|
|
: A = |
|
lim x |
|
: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
= sup A 2 R : 9 ïîäïîñëåä. fx |
kj |
|
|
|
|
kj |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Ë ìì 1. Åñëè A > lim xk, òî |
|
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
j!1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9k |
|
|
k!1 |
|
|
|
|
|
|
,! x |
|
|
A: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 N : 8k k |
0 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Äîê ò ëüñ î. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8k |
2 N 9k |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Предположим противное: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
последоватеëüности fxkсуществуg акая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
k0 : |
|
xk |
> A. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
ет подпоследовательность fxkj gj=1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> A: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8j 2 N ,! x |
kj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
В силу теоре |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
словая |
|
|
|
- |
|||||||||||||
|
|
ы Больца о Вейерштрасса любая |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
íåðkjàâåíj=1ствах следует, |
÷òî B A. Ï |
áåñê |
|
|
|
B являетсячастичный тичным |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
пределом |
последîâательности fxkg1 |
|
|
, то по опр делению упрему- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ãî ðÿäà.) Ïóñòь все члены числовогопризнакяда |
|
P aпоследовательностинеотрицательны |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
äîâ |
|
льность |
|
ìååò ê íå÷ |
|
|
èëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïðå . |
|||||||||||||||||
Пусть |
B 2 |
R некот рый частичный предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
fx |
|
g1 |
. Èç |
|
|
|
|
|
èÿ (1) |
силу те ремыонечныйпредельном перех де |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ìà |
|
lim xk |
|
|
B A, ÷òî |
противоречит |
олькусл вию |
|
ììû. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
k!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
Коши сх димости числово- |
||||||||||||||||||||||
|
Т оp м 1. (Обобщенный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пусть q = |
lim |
p |
a |
|
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
k |
|
k |
|
|
278 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
k!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à) |
|
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд kP ak сх дится; |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
á |
|
|
|
|
|
|
q > 1, òî ak 6!=0ïðè k ! 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÿ; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÿä kP=0 ak ðàñõ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
â) åñëè |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
может сходитüñ |
|
|
а можетдèòсрасхо- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
q = 1, òî ðÿä P a |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в допредельной |
орме (теорема 5 Ÿ 2 гëàâОпреы |
äå9)силимедуетотохðîäèìå |
|
ñòü |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дитьс . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
k |
|
|
|
lim |
|
|
k |
|
a я,то в с лу леммы 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
óñë |
|
âèÿ q < q0 |
|
< 1. Поскольку q0 > q = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Äîê ò ëüñò î. à) Ïóñòü q < 1. |
|
|
|
|
|
|
p |
|
k |
|
|
|
|
íåê |
|
|
|
|
|
|
|
|
q0 |
|
èç |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеем 9k 2 N : 8k > k |
|
,! |
k |
a |
|
q0. Îòñþäà â |
|
|
|
|
признака К |
øè |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
k!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñóпремумом |
|||||||||||||||||||
|
|
б) Пусть q > 1. Поскольку q = |
|
lim |
|
k |
|
a |
|
|
являетñÿ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ðÿäà k=0 ak. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k!1 |
p |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ìíîæ |
|
|
|
|
частичных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
, òî â ñè |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
означаесòâàсуществованиепределпо пîñëåдовательностиj a |
|
|
|
|
ò êîé, ÷òî |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ëó îïð äåëения супремума из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q > 1 следует, что суще- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Поэтому a 6!0 ïðè j ! |
1и,неравследователзначитåíñòâàaüíî,6!0 ïðè |
k |
|
|
! |
1 è ðÿä |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ствует q0 > 1 части÷íый предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
ak |
|
. Ý |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
|
|
|
|
= q0 > 1. Отсюда ïî определ нию предела получàåì 9j |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
kj |
a |
kj |
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
j |
!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8j > j , |
|
|
|
|
a 1. |
|||||||||||||||||||||||
2 N : 8j > |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
kj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P |
|
|
|
|
|
|
|
kj |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
kj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
kj |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
k=0 ak расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
â) Äëÿ ðÿäà |
|
|
|
|
|
имеем q = |
|
lim |
|
|
k |
a |
|
|
= |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1, à |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
k!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k!1 |
|
|
|
|
k k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
к к азано ранее, при > 1 этот ряд сходится, а пðè 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ðàсхпокдится. |
Компл ксны ря ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Ÿ 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что модулем комплек |
|
го числа z = x + iy (ãäå x = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ReНапомним,z y = Im z) называ тся |
вещественное |
число jzj = |
|
|
|
|
|
x |
|
|
+ y . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Îïp ë íè . |
|
|
|
|
|
|
|
сное число |
S называется пр ëîì ïî |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
следовательности кКомплексных чисел fS g1 |
|
|
|
|
|
|
S = |
p |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
, åñ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim S |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ëè |
|
lim jS Snj = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
279 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = lim Sn |
|
, |
|
|
Re S = lim Re Sn |
|
|
|
Im S = lim Im Sn : (1) |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Пусть1 |
|
n!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n!1 |
|
|
|||||||||
чисОпpf g1л .ни |
|
|
задана последовательность комплексных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
я схо ящимся, если существует |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
сныйпределядk=0 |
k |
нназывается солютно схо ящимся, если |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Комплексх дится вещественный ряд P j kj. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
|
k=0 |
|
|
|
|
k=0 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
îí ÷íûé |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
последов тельно ти частичных сумм этого ряда. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Èç |
условия |
(1) |
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
комплексного ряда |
|||||||||||||||||
1 |
|
следует, |
что сходимость |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k |
эквивалентна сходимости двух вещественных рядов |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
P |
|
P Re k |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
è k=0 Im k. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
k |
|
ходитс |
|
|
|
òî |
|||||||
jakjË ììa |
Е ли комплексный ряд k=0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ b |
= j kj, то в силу признака |
равненияабсолютно,из х димо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
комплексный ряд |
P k |
= |
|
P (ak |
+ ibk)димостьх ится. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Äîê ò ëüñò î. |
|
Обозначим a |
|
= Re , b |
|
|
= Im . Ïîñê ëüêó |
|||||||||||||||||||||||||||||
он сх дится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
õ |
|
k |
ть вещественного чис |
||||||||||||||||||
сти ряда k=0 j kj следует |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Аналогично по уча- |
||||||||||
лового ряда k=0 ak, а значит,абсолютнаяи его х |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ем сх димость вещественного |
числового ря а k=0 bk. |
Следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñíûõ ÷è |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
Ïó |
|
|
|
|
на нек тором множестве к |
|
|
|||||||||||||||
селОпpZ C заданал ни последовательность |
ê |
|
|
снозначных ун ций |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
fS (z)g1 |
|
|
. Будем говорить, |
ñõ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
омплекомплексно |
||||||||||||||||||||||
значных ункций fSn(z)gn=1 |
|
|
|
|
омплекункции S(z) р ном р- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
но на множестве Z, если |
|
|
|
последовательность |
|
|
÷íûõ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Z. |
n |
|
n=1 |
|
|
|
n |
(z) S(z)jg |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ункций fjS |
|
|
|
послехчтоä итсяк 0 равномерновещественнознамножестве |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
280 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Îïp 1 |
л ни . Будем |
|
|
|
|
|
что ко плексный ункциона ь |
||||||||||||||||||||||||
íûé |
|
яд kP=0 uk(z) сходитсяговорить,авномерно на множестве Z, если |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
довательностья равномерно |
ча тичных сумм Sn(z) = P uk(z) этого ряда схпоследит- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ê |
сумме S x) этого |
|
ÿäà, ò. . |
|
jS (x) S(x)j |
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
Ò îp ì 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
n |
|
|
|
! |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Вейерштрасса равномерной |
сх димости |
||||||||||||||||||||||||
k=0 uk |
(z) х дится(Признакрав омерно на множестве Z. |
|
|
|
|
Z |
|
|||||||||||||||||||||||||
ïðè n ! 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задан комплексный |
||||||||||||
омплексного ряда.) Пусть на множестве Z C |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ункциональныйa пу ть веществе ный числовой ряд |
|
a сходится. Тогда ряд |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÿä |
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 uk(z). Пусть 8k 2 N 8z 2 Z ,! juk(z)j |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Äîêò ëüñò î. В силу признака сравнения |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8z 2 Z 9 lim |
|
S (z) =вещественныйS(z) 2 C , гä |
||||||||||
P u (z) на множествепоточечнуюZ . . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
числовой ряд |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñèëó |
||||||||||
|
P juk(z)j сх дится для любого z 2 Z. Отсюда |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
сходимость ункционального ря а |
||||||||||||||
леммы 1 получаем |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn(z) = k=0 uk(z). Заметим, что |
|
|
|
|
n!1 n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
k=0 |
|
k |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jSn(z) S(z)j = |
|
X |
uk(z) |
X |
|
ak |
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
k=n+1 |
k=n+1 |
|
!1 0; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jSn(z) |
||||||||||||||||||
|
|
sup jSn(z) S(z)j ! 0 ïðè n ! 1, ò. å. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
z2Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S(z)j |
|
0 ïðè n ! 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ñò ï ííû ðÿ û |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Ÿ 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Пусть задана послед вательность комплексных |
|||||||||||||||||||
чиселОпpf g л никомплек |
|
|
÷èñ |
w . |
Комплек |
|
у кциональ- |
|||||||||||||||||||||||||
íûé ðÿä |
|
|
|
k |
(w w0) сноекомплексной переменносный w |
íазывается |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k |
1k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
281 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
степенным рядом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Введение |
|
|
ê |
|
|
|
|
|
ñíîé |
|
переменной |
z |
= w w0 |
сводит |
ÿä |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
kP=0 k(w |
|
w0)k омплекряду kP=0 kzk. Имея в виду эту замену переменной, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
в дальнейшем будем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
степенные |
|
|
|
|
|
P |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÿäû âèäà k=01kzk. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Îïp ë íè. |
рассадиусоìàòриватьсходимосòè степ нного ряда k=0 |
kzk |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ÿ R |
|
|
|
|
2 [0; +1) |
|
|
f+1g, опредåëÿемое по ормуле Коши |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
называетсАдамар : |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
= |
|
lim |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R x |
|
0 |
k!1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(при этом будем полагать, ч |
|
|
= +1, |
+1 |
= 0). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
и радусом R x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
C . |
Êðóã íà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
плоскости с |
|
|
|
|
|
|
|
|
â íó |
|
||||||||||||||||||||
Т оp м 1. (Осходимостикруге димости степенного ряда.) |
. Åñ è R x = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
называется |
|
омплек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñòåï нногоцентромяда |
P |
kzk |
|||||||||||||||||||||||||||||||
= +1, òî |
|
кругом |
ñ |
ñíîé |
|
|
|
|
|
считаåтся вся комплексная пëоскость |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Степенн й ряд |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
P kzk |
|
|
|
|
|
õ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Re z |
||||||||||||||||
2) |
абсолютрасх дится |
|
ествекруга |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1) |
|
õ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ходится внутри |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Im z |
|
|
|
||||||||||||||||
êðóã |
äèìîñòè |
|
|
fz |
2 C |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(ò. å. íà |
ìíîæ |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
jzj < R xg), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множестве |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(ò. . |
|
|
|
íà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
z =6 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ïîìîùüþ îáîáùåí- |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
èññëедуем сходимостьруядà k=0 j kzkj ñ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
димости(т. . |
|
|
на множе òâå fz 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
диться,границеможет |
|
|
|
|
|
|
|
|
òüñÿ. |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
fz 2 C |
: jzj > R xg), |
|
|
ñõ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сходится |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3) |
íà |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
êðóã |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
расходится |
|
|||||||
2 C : jzj = R |
x |
g) |
|
может |
|
õ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
(Здесь R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мости степенного |
|
|
ÿäà.) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
ðàäèóðàñõî |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷èñ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Äîê ò üñò î. Çà èê |
|
|
|
åì |
произвîëüíîå êîìплексн |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
лон го признака Коши. Определим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q = lim |
|
q |
|
|
|
zkj = jzj |
|
|
P |
|
p |
|
|
|
|
|
|
jzj |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
lim |
|
j |
|
j = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
k |
|
|
k |
k |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k!1 |
|
|
|
|
|
|
|
282 |
k!1 |
|
|
|
|
|
|
R x |
|
|
|