Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Иванов Матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

jP = Xi=1 j

(ti) r(ti 1)j =

= i=1 j

(ti)

(ti ) + jr(tj )

(tj 1)j + i=j+1 jr(ti)

(ti 1)j;

jP1j = i=1

r(ti) r(ti 1)j + j

(

j 1)j;

jP2j = jr(tj) r( )j +

r(ti 1)j:

X jr(ti)

Â ñèëó íåðавенства

i=j+1

)j jr( ) r(t

)j +

à jr(t ) r(t

j j = sup j

jследоваj +треуголj òjельно,jüíèêj . å. j j + j

j = j j.

j 1

+ jr(t )

r( )j,

j j

j 1

j + j

Функция f

j + j

j j

j. Èòàê,

Îïp ë íè .

: [a; b ! R называеòñÿ íå

ерывно

8t 2 [a; b 9f (t), ãäå ïðè t = a ïîä f (t) понимаетсÿ ïравая, а

ди еренцируемой на [a; b ,

при t = b левая производнаяесли

(t) непрерывна на [a; b .

1)2 ункция f

Непрерывная ди åренцируемость векторункции r : [a; b !

! R

пределяетс

àíàëогично.

кривую

Пусть векторункция r : [a; b ! Rn , па àìåò

Òîp ì

(Достаточное

условие спрямляемости

кривой.)

= fr(t)

t 2 [a; b g, непрерывно ди еðåíöèðизуюема.ùТогдаая

спрям-

ляема и

j j (b a) m x

(t)j:

t2[a;b

(t)j непрерыв-

Док т льст о. Так как скалярная ункция jr

на на [a; b , то по теореме Вейерштрасса для скалярных ункций

9 m x

(t)j = M .

t2[a;b

ëîìàíàÿ, âïèñанная в кривую

, порожденная некото

Пусть

рым разбиением

= ft

; t

; :::; t

g отрезка [a; b . По теореме Лагран-

9 i

2 (ti 1

; ti):

жа для векторункций 8i 2 f1; 2; :::; Ig

);

jr(t

) r(t

i 1

)j jr0

(

)j (t

i 1

) M (t

i 1

143

следовательно,

j =

i=1

) r(t

i 1

)j M

i=1

i 1

) = M (b a):

Поэтому

j = sup jPj

m x

(t)j (b a).

t2[a;b

= fr(t)

: t 2 [a; b g спрямляема.

Опp л ни . Пусть криваÿ

Определим

äóãó

fr(u)

2 [a; t g. Функцию

s(t) = j

называютпеременíуюменной длиной дуги кривой .

, параметризу-

Т оp м 2. Пусть âекторункциÿ r : [a; b ! R

ющая кривую

= fr(t)

: t 2 [a; b g,

åìà.

Тогда переменная длина

äóãè

s t

непрерûвноди еренцируема

Äîê

. Пусть t

2 [a; b , t 2 (0; b t

). Обозначим

s = s(t +ò ëüñòt) s(ît ), r =(çäår t

ñ+ü

r(t ).

= b имеются

2 [a; b ,!

) = jr0(t

ïðè t

= a è ïðè t

в виду односторонние произвîäíûå).

; t

+ t g равна

В силу леммы 1

êðèâîé

= fr(t) : t 2 [t

j = s. Так какдлина

отрезка [r(t

); r(t

+ t) не превосходит

длины дуги , то

rj 0j j0:

(1)

Ïî òåîðåìå 1 j j

max

t)j j t .

Ïî îïðåäå

нию макси-

ìóìà 9

; t

+ t :

max

jr0

(t)j

= j

( )j, ñëедовательно,

j jr0

( )j j tj, откудà

â ñèëó

(1)

ïîлучаем

jr0( j.

0 0

t2[t0

+ t

Поэтому

;t2[t0;t0

j tj

(2)

jr ( )j:

Òàê êàê jt0

j j tj, òî ïðè t ! +0 выполняетсÿ ! t0 +0 è â

ñèëó

óíêöèè r0(t)

lim

)j = jr0

)j. Êðîìå

ого, непрерывностипо определен ю производноé

lim

t!+0

òельно,

lim

= jr0(t )j. Поэтоìó èç (2)

по теоремеследоватрех

t!+0

= jr0(t

)j, ò. å. 9s0

) = jr0(t

)j.

ункциях следует, ÷òî

lim

Аналогично 8t

2 (a; b 9s0

t!+0

)j.

) = jr0

144

í%[0îé=; jäóãè,f%j(t)!ò:. åtR.2n8[0tявляетс;2j [0j ;gj,Будемеслиj !ísпараметpтур(t)говорить,=льнойt. t являетсяп рчтом трипеременнойвекторци й- ункциякривойдли-

Îïp ë íè .

èâàÿ

называ

ñ ë êîé, åñëè

возможна натуðальная парамåòризация

кривой

= f%(s) : s 2 [0; j j g è

! R

, задаюùàÿ

1)2 векторункция %[0; j

j .

метризацию кривой

, непрерывно ди еренцируеманатуральную[0; j

Опp л ни . Пусть векторункция r : [a; b

! Rn ,

ïàðàìåò-

кривую

= fr(t)

t 2 [a; b g, ди еренцируема на [a; b .

ðТочкизующаяt 2 [a; b называåтся осо ой точкой параметризации r, если

r0(t

) = 0.

(О существовании íатур льной

Ò îp ì 3.

= fr(t)

: t

2 [a; b g, непрерûâíî ди еренцируемапараметризациине имеет

Пусть векторункция

[a; b

! R

, ïàраметризующая кривую

особых точек. Тогдà

% : [0; j

j ! R

кривой

ÿâëÿ-

1)3

натуральíàÿ

являетспараметризациягладкой.

ется допустимоé;

(t)j

2 8t 2 [a; b 9 %0

(s)js=s(t) =

;

ТакДоккриваяr0(tт) =6льст0,

оs0(t1)> 0. Следоватеëüíî, ïеременная длина ду

По теореме 2 8t

2 [a; b 9s (t)

jr (t)j.

и s(t) является строго

возрастающей нåïðåðûвной ункцией.

ãэтомувозрастает

. Ïî îïðåäелению

стимой парамет

сущес вует обратнàя к ней ункция t(s), которая акж

стрПо

èçации получаем,непрчтоåрывнапар ìетризàöèÿ %(s) = r(t(s)), ãäå s 2 [0; j j ,

является допустимоé.

äíîé îá-

2) Òàê

9s ( ) = jr (t)j =6 0, òî ïî теоремедопу

ðàòíîé

(s) =

. Ïî

произвопроизводной

s) =

0 .

сложной ункцииции 9 %0(s) = r0(t) t0

3) Òàê

àê

åìà

s (t)

r(t) íåпрерытеоремев

jr (t)j

è r0

(t) =6 0,

вектор- уíêöèÿ%0

(s) =

неп ерывна, следова

тельно,

âåкторункция %(s) íåïрерывíо ди еренцируди еренцируема кри-

âàÿ

гладкая.

145

jr (t(s))j

З м ч ни . Услов

отсутствия особых точек является суще

tственным2 [ 1;д1ëя глазадаетсости кривойнепрерывно. Напримди р, еренцируивая

(tвектор; tj ) :

ункциåé

r(t)

; jtj

àê

åå

оизводнаÿ

(t)

; 3t

signt)

- ункциÿ. Îднакемоé íå ÿâëÿ-

= (3t

åòñ

гладкой, т к как

натуральной

= f

(s) : s 2

2 [0; 2

2 g çàäàетснепрерывнаявекторункцией %( ) = (

1; j 2

1j), íå

являющейся ди еренцируемойвекторточкпараметризацииs = 2.

Ÿ 5.

Ï ð

ïðè ëè íè êðè îé

(ê ñ îò

= r(s ), r = r(s + sëüír . ÿ)Óðàâíåíèе секущеé, ïрохнатудящейðальнойчерез

Ïóñòü êð âàÿ

= fr(s

: s 2 [0; j

g çадана в

ïà-

è. Пусть

; s

+ s 2 [0; j

s =6 0. Об значим

точкиìетризациr r(s

+ s), èìååò âèä

(ãäå u 2 R

ïàðàìåòp

прямой)

r = r

+ u

ÿ ê -

Опp л н . Прямаÿ

(u) = r

с т льной к крèâîé

= fr(s)

s 2 [0; j

j g â òî÷íàçê rûваетс, если эта

KAC

прямая явлÿется предельным пîëîжением секущей:

+ u:

8u 2 R ,!

lim

r u

= r

KAC

(u) = r

Ò p ì 1.

s!0

íàòó

Пусть криâàÿ

= fr(s) : s 2 [0; j

j g задана

сательноé,

íàïðàâëåííûì

ïî âîçрастанию параметра s.

вектор r íàïð

ñòîðîíó âозрастания парамеòравекторомs, вектор

ральн

ïà

метризации. Тогда

касательной

÷ê

â òî÷ê

r(s0) эквивалентíîñóùåствованствованию производной

Ïðè

ýòîì вектор

ÿâëÿ òñÿ

единич ым

êðèds -

Äîê

Èç

ельной

следует,

÷òî

ïрямая

r(s ) + u

îïðåделениякасательной

огда и тольк

òîã

îãäà

lim

s , .

9ds

= r (s0) = . Èç

òå ðåìû

2 Ÿ 4 следуетäà,

lim тrsльстнаправлено явëÿтуетсже сторону.

÷òî jr (s)j =

очно малых s

(s) = 1, ò.

. j j = 1. Òàê ê ê ïðè äîñò

s!0

s!+0

146

Т p м 2. Пусть кр вая

= fr(

: s 2 [0; j j g задана в нату

ральной параметрèзации è пусть 9r0

). Тогда

r(s) = r

)

s ! s

;

KAC

(s + o(s s

åíèè ñîâ-

ò. . â

)

êðèâàÿ

â ïåðâîì

òî÷êè r(s

Д окресòности

- óíкцию r(s) по ормуле

. àçложим

r( ) = r(s0) + r0

(s0) (s s0) + o(s s0)ïðиближs ! s0. Так

какейлорап теореме:

1 èìåем r0(s ) = ,вектоr(sð) = r(s ) + (s s ) + o(s

ï äàåò ñî ñâîåé

асатеëüíîé.

s ) = r

ò(sëüñòs

)î+ o(s s ) ïðè s ! s .

KAC

Т оp м 3. Пусть векторункция r : [a; b ! R

не имеет особых точек. Тог

в любойнепрерывточк ríо= r(t ) 2параметризусуществ

þùàÿ

= fr(t) : t 2 [a; b g

äè еренц руема

åò

к кривой

r = r

(u) = r + u, где единичный

вектораниюасательнаяпарам тра t имеет вид

KAC

по возрас-

кривуюльной, указывдàþùèé ориентацию кривой

= jr0

можно задать

Äîê ò ëüñò î. Â ñèëó òåоремы 3 Ÿ 4 кривую

уральной параме

%(s) = r(t(s)), ãäå t(s) óíêöèÿ,

èþ

параметра s (а зíàризачитö,ии:по возрастанию

параметра t). В силу

обратнаяпункт 2 теоремы 3 Ÿ 4

0 .

ÿâ

ременной дл нå дуги. По теореме 1 вектор =

ляетс

единичным векòîðîì êàñàòåëüíîé,

аправленным по возрас-

Ÿ 6.

Второ

jr (t0)j

íè êðè îé

Опp л ни . Пусть кривая

= f

(s) : s 2 [0; j

j g çàäàíà â

туральной парàметризапðè .ëèÏóñòü

- ункциÿ r

: [0; j

j !

! Rn

дважды

ди еренцируема

[0; j

j . Пусть

(s)

называетсЕсли точкри иr нойривизна k(s ) =6 0,

ðè è íû,

единичныйсло R = R(s0) = k(s0)

называåòñâåêÿòîр иусом

âå

òîð

асательíîй. Тогда чиñëî k = k(s

) =

)

1)2

êðèâîé

òî÷ê

= r(s0).

единичный вектор

= (s ) =

(s ) êтором л ной

íîðì ëè,

k(s0) ds

0147

3) прямая

èì â

, прох дящая через точку

ìr0аль,4 лпл нопрскéîñòü,èкнормнаправлс ющпрохльюй ÿдящаяюплоскостьюктоð,îì

и главную нор

òî÷ê

= r (s ) = r

+ R(s ) (s ) ц нтром кри и ны,

îñòè,

точкчерез r

àñ, ðàäàтельнуюсом R, лежащая в

прикасающеокружностя плü

íàзывается

соприк с ющ йся окру нсо-

ñòüþ

кривой

â òîчскценòrðî.

Å ëè

опредеëåíû âектор

некоторой то÷êå êðèâîé

касательíîé

и вектор

главной нормали

, òî

? .

. ( (s); (s)) =

òî (Ë(sìì);ò ëüñ(s))0 = 0ò,

оследовательно, ( 0

(s); (s)) = 0, ò.

Äîê

. Òàê êàê ( (s); (s)) = j (s)j

= 1 8

2 [0; j

j ,

Напишем

уравнеíèå

àñàþùåéñ

= 0.

ïëîскости xy заданасоприкямоóгольная ñèñòå à

òåòè

Пус ь сначала

диуса R

центромвекторное0, лежащая в ïлоскости веêторовокружносi, j, ìî

ê èâîé

â òî÷ê r .

ординаò

единичнымè базисными векторами i, j. Окружíîñòü ðà-

быть задана ормулами

y = R sin ';

' 2 [0; 2

èëè

x = R os ';

âåêòорной

r = x i + y j = R os ' i + R sin ' j. Åñëè

òо уравн

èå

окружностè

ðадиуса R, лежащей в плоскîсти вектороâ

, è ñ öåíтром точкорме:r

имеет вид

r = r

(') = r R os ' +

Rn заданы два ор

г нальных единичнûх в ктора и

точка r

+ R sin ' . Следовательно,

с учетом определения öåнтра кривизны

148

îêð

+R(s

)

), соприкасающаясÿ окружность крèâîé

в точке

= r(s0) задаеr =

òrся уравне(') = ír

èåì+ R sin ' + R (1 os ') :

(1)

îêð

fr(s) :

2 [0; j j g задана

Т оp м 1. Пусть

кривая

1) åñëè r00(s ) =6 0,

точки r

= r(s ) кривая

âî

втором приближении сòîвпадаетîкрестностисопрèкасающейсунêцияокружностью:

натуральнîй парамåт изации. Пу ть вектор-

[0; j

j !

! R

äâàæäû äè åðенциру мà. Тогда

s s

+ o((s s0)2)

r(s) = rîêð

ïðè

s ! s0;

2) åñëè r00

(s ) =

, òî

÷êè r(s ) кривая

âî

втором приближåíèè

совпадаетîêðестностиасательнîé:

s ! s0:

r( ) = rKAC(s s0) + o((s s )2)

ïðè

Äîê

'2 +

. 1) Ïîльзуясь разëожениями os ' = 1 1

s ò sëüñò î

+ o('

sin ' = ' + o('

) ïðè ' ! 0, из ормулы (1) получаем

ïðè s ! s0:

= r(s

) + (s s

) +

(s s

)2 + o((s s

)2):

Òакокраê

= k

= r

(s0),

= r

(s0), òî ïðè s ! s0:

rîêð s

= r(s0) + r0(s0) (s s0) + r00(s0)

(s s0)2 + o((s s0)2):

С другоé стороíû, â ñèëó îрмулы Òейлора при s ! s0

r(s) = r(s0) + r0(s0) (s s0) + r00

(s0) (s s0)2

+ o((s s0)2):

Сравниваяпункт (1).

разложения r(s

è rîêð

s s0

, получаåì óòверждение

(2) аналогично доказательству теоремы

Доказательство пункта

2 Ÿ 5.

149

2. Пусть векторункция r : [a; b ! R

þùàÿ êðèâóþ

= f (t) :

2 [a; b g R

, дв жды ди еренциру

ма и не имеет особыõ òî÷åê (ò. å. r

(t) =6 0) íà [a; b . Тогда

îp ì ;

= [r0

(t);r

3(t) ;

jr (t)j

1)2 кривизнà êðèâîé

â êàæäîé òî÷êå r(t) 2 ñóùåпараметризуству вы-

ражается орìóëîé

k =

j[r0

(t); r

00(t) j

(t)j

jr (t)j

Äîê ò ëüñò î.

1) По теореме 3 Ÿ 5 èìååì =

. Òàê êàê

(t) äâàæäû ди еренцируемà, òî 9

(t)

+ r0

(t)

jr (t)j

Òàê êàê ïî òåîðåме 2 Ÿ 4 справедëèâî ðàâåíñòâî

= jr0(t)j, òî

00(t)

jr0(t)j

0 :

0(t)j

jr0

(t)j2

jr0

(t)j

Åùå ðàç èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî =

jr (t)j

, ïîëó÷àåì

[r0

(t); r00(t)

; ds

(t)j

(t);

jr0(t)j3

2) Из уществованиÿ

следуåò ñóùåñòвование кðèâèçíû k =

. Â ñèëó леммы 1, âåêòîðû

âçаимно перпендикулярны,

кроме того, j j = 1, следовàтельно,

(t) j

j[r0(t); r00

Ñë ñò èÿ

k =

; ds

jr0

(t)j3

1) Формула для вычисления кривèзны, за исанная через коорди-

наты векторункции r(t) = (x(t); y(t); z(t ),

ïринимает вид

k = p(y0z00

y00z0)2

+ (z0x

z00x0 2

+ (x0y00

x00y0)2 :

)

3=2

2) Åñëè

((x

+ (y )

+ (z )

плоская кривая, т. е. z(t)

0, òî

k =

jx0y00

x00y0j

)

3=2

((x

+ (y

)

150

3) Если плоская кривая

задана как гра ик ункции y = f(x),

òî x

= 1, x = 0, y

= f , y

= f

и, следовательно,

k =

)

3=2 :

Ÿ 7.

(1 + (f )

þùèé òð õ ð ííèê êðè îé

= fr(t)

: t 2 [Сопроb g Rо

Â äàííîм парагра е всегда будем предполаãàòü, ÷òо кривая

13)

êðèâизна не обращаетсяäважды0 (т. . согласно теореìå 2 Ÿ 6

8t 2

ункцией r : [a;b ! R ,

ди еренцируемой

вектор-

параметризоваíà

8t 2 [a; b

r (t) =6 0) è

не имеет особых точек (т. .

2 [a; b

Пусть

единичíûé

â êòîð

[r (t); r (t) =6 0).

направляющим вектором ,ктпроîрох дящая чåрез точкуасательной,r называеòñ

единичнûé âектор г

íî

кривой

r . Тогда век-

торОпp= [ ; л называетсяни

мали инорм ли в

. Прямая с

инорм лью криâîéëàâíîéòî÷ê

r .

Ç ì ÷ íè . Ïîскольку векто ы

заимно

еди ичные

а асательная, главная

бинормортонàëü

îðданноймировàííûéточкзведенияэто

îéê

лярны, то

ñèëó

âåêò

íîãî ïðî

базис,

векторов

, , îá

àçóåò ïðàâ é

Опp л ни . Отложнормàëü

, вычисле ные для

перпенвзаимноäику перпендикулярныеопрåделеням è.ÿ

рехгрàííèê íàçû-

точки r

èâîé

, îò

точки r .

Трехгранник

Френе в точк

Образовавшийсr дает следующие три взаимно

векторасательной,

ÿ íîð

пер ендикулярные плоскости, прох дящие через

точку r :

вается соп о о ющим тр х р нником Фр н кривой .

ной плоскостью,

бинормали,

называется соприкм льс -

þùплоскость,йся плоскостьюперпендикулярная,

главной

нормали,

называется

спрямляющ й плоскостью.

151

ñïð

ïëоскостü

íîðì ëüí ÿ

0ямляющ я

соприк с ющ яся

плоскоñòü

плоскость

а ающейсÿ и спрям-

З м ч ни . ( еом трический смысл

Êàê

ет из теоремы

1 Ÿ 6, êðèâàÿ

соприкточностью до o((s s )2)

ляющей пло

остей.)

совпадаетследóîïðикасающеéся окружностью:

r = r

(') = r

+ R sin ' + R (1 os ') :

Òàê

ак соприкасающаяс

îêружностплоск тьü

асательн

окружности на спрям

принадлеж

, òî

точностью до o((s s ) )

лежитs ! s соппроеðикция кривîé

плосккривойямляющую плоñкость являетс

прямой. Этим объясняются

îñòè, òî

òî÷íîñòüþ äî o((s s

)2)

s ! s

лежит

соприкасающейскривая

îñòè. Òàê àê

оекция

ющейс

названия соприк

ÿþùóèþспрямляющей

плоскостей.

ùåé

остейуравненияасающейсточк r = r(t

). Соглаñно определениям эти урав-

Напишем

нормальнîé, ñоприкасающейс

спрямляю

ямплоскяющая плоскость:

(r ; ) = 0.

нения можно записать в следующем âèäå.

ма ьная плоскость:

(r r

; ) = 0.

Ñоприкасающаяся плоскосòü:

(r r ; ) = 0.

Напишем более явные уравнения этих плоскостей.

152

Ò ê ê ê =

jr0 (t)j

, òî íîð(r

ì ëüí; r0 (tÿ ))плоскость= 0:

òñÿ óð í íè ì

Поскольêó =

r , òî ñïð

плоскость тся

óð í íè ì

ds2

ямляющ я

r r0

;

(t0) = 0:

Èñïî

= [

; ,

óð

ñîïðèê ñ þ

ÿ ïëîñêîñòè

ñì ø ííî ïроипиш ни : (

;

; ) = 0. Â

ù ëóéñïóíêò

(1) ò îð ìû 2 Ÿ 6 è

îïð ë íèÿ êòîðí íèë íîé íîðì -

ëè =

ï ëó÷ ì

[ ; =

Поэтому сопðèê ñ þù ÿñÿ

плоскостьь уточкр ríñò î òñÿ óð í íè ì

[r0 (t);r (t)

k jr (t)j

(t )) = 0:

Ÿ 8.

r ; r0(t ); r00

Открыты

и мкнуты мно ст

= (x1; : : : ; xn) 2 Rn í -

Н помним, что "-окр ñтностью точки x

û òñÿ ìíî ñò î

) = fx 2 Rn

: jx x

j < "g =

; : : : ; x

x0)

+ : : : + (x

x0 )

< "g:

= f(x

) 2 R

Òî÷ê x

2 Rn

í û òñÿ

нутр нн й точкой

мноОпpст Xл ниRn

, ñëè

Внутр ностью мно

9" > 0 : U"(x0)

ñò

ÿ int X ìíî

íóòð ííèõ òî÷ ê X. Ìíî

ñò î X

û òñÿ

, ñëè ñ

точки X я

яются

нутр нними,н . ы. Xтс int Xоткрытым. Пусто ст о ст о

; ïî îïð

íèþ ñ÷èò

открытым.

Опp л ни . Точктсx0

2 Rn

н ы тся точкой прикосно -

íèÿ ìíî ñò X Rn

, ñëè

) \X =6 ;:

8" > 0 ,! U

153

тЗрикосночкимыкприкн мнияосномноX.нМностя л X но ы, .

ÿXX

яXмно. Пустомкнутымст омно,с хслистточоск;

ïî îïð ë íèþ ñ÷èò nòñÿ

Ë ìì 1. 8X

,! intмкнутымX í Xû Xòñ.

U (x )

Äîê ò ëüñò î.

Åñëè x

2 int X, òî 9" > 0 :

2) Åñëè x

2 X, òî 8" > 0 ,!

2 U (x ) TX,

ñë î ò ëüíî,

2 X.

ñë8" >î0 !ò ëüíî,U (x )

X =6 ;, í ÷èò, x 2 X.

X = int X.

. 1) Ìíî

X открытî

Сл2) Мност ист о X

ìêíóY

î n

X = X.

Y .

Å ëè

,òî int X

int Y ,

Ë ìì 3.

ñë ó ò

,! ìíî

îïð ë

íèé.

8" > 0 8x

2 Rn

ст о U (x ) открыто.

x 2 int U (x ). Опр лим Ж =н"посрjx стxj.Трннок

óê ê jx îêx j < ", òî

Äîê ò ëüñò î.

Пусть x 2 U (x ).

òñÿ

òü,

Æ > 0.

Æx

(x ).

ê ì, ÷òî U (x)

y 2 U (x), òî jx

yj < Æ è ïî

тр уДольникйñò èò jëüíî,y x

jñëèjy xj + jx x j <

Поэтоìó x 2 int U"(x0).

ÿ:

Ò îp ì

í1.ð8XíñòRó

< Æ + jx

j = ", ñë î ò ëüíî, y 2 U

(x) U

). Èò ê, U

1)2

X я ляя лятс тс мкнутымоткрытымыполняно тсст ом.

int X

ìíî

ñò îì;

154

Äîê ò ë

1) Обозначим Y = int X. Пусть x

2 Y . Òðå-

буется доказатü,стчто x

2 int Y . Òàê êàê x

2 Y

= int X

> 0 : U

)

X. Ïî ëåììå 2 int U

int X. В силу леммы

3 int U

) int X = Y . Поэтому

) = U

2 следовательно,Y то 8" > 0 !

(x0) TY =6 ;, азать,. е. 8" >

x0 2 Y . Òàê êàê x0

int Y .

X. Пусть x0

2 Y . Требуется док

÷òî

> 0

) Обозначим Y

2 U"=2

(x0) TY . Òàê êàê x1(") 2 Y

X, òî 9x2(")

"=2

(

Â ñèлу неравенства треугольникà jx

x (")j

jx x (")j+ jx (") x (")j < "=2 +

2 = ". Èò ê, 8" > 0 9x (") 2

= Y .

2 X

U (x ), ò. å.

8" > 0 ,!

U (x ) 6= ;, à значит, x

2 X =

Л мм 4. Пусть X R . Тогда

int X = R

n X;

1)2 Rn n X = int (Rn n X).

2 Rn n int X , :(x

2 int X)

Äîê ò ëüñò î. 1) x

, :(9" > 0 : U"(x0) X) , 8" > 0 ,! U"(x0) 6 X ,

, 8" > 0 ,! U

) \(Rn n X) 6= ; , x

Rn n X:

2) Äîказать самостоятельно.

()

Rn n

îòкрыто.

Т оp м 2. X замкнуто

n X =

Док т льст о. X замкнуто

= X

= Rn nX

Ë.4

Rn nX = int (Rn nX)

Rnn nX открыто.

()

раницей множества

называется

îæå-

с во X = X n int X. Точки множества X

íàçываются граничíûìè

точкаОпp множествал ни .

, 8" > 0 9x

2 U

)\X; 9x

2 U

)nX.

Ë ìì

Ïî

Äîê ò üñò î.

определению

имеем

2 X ,

, 8" > 0 9x

2 U

) \ X.

t X имеем x 62int X , :(9

> 0 : U (x )

опредеëåíèþ

Ïîэтому x

2 Xin int X

8" > 0

; x

2 U (x )

x 2

2 U"(x0) n X.

) , 8" > 0 ,! U"(x0) 6 X , 8" > 0

2 X; x2

62X.

155

" 0

Доказать, что для лþбого множества X R

ñïðà

ведливыÇ ÷равенства2. Найтиint intX =XX, Xn, X,.XВыяснить,X [ Xявляется.

ли множе-

ство X открытым или замкнóòûì.

: x

> 0; x

2 R ;

à)á

полуплоскость X = f(x ; x ) 2 R2

интервал X = f(x1; x2) 2 R2 : x1

= 0; x2 2 ( 1; 1)g.

; X2

Ç ÷ 3. Âåðно ли, что для любых множеств X1

справедливы включенèÿ:

int (X1 [ X2) int X1 [ int X2;

X1 [ X2 X1

[ X2;

;

[ X

) X

[ X

6) (X

Ÿ 9.

Ñõî

lim xk

= x0

, åñëè

дится к точке x0 2 Rимостьпишут

Опp л ни . оворят, что последовательность fxkg Rn схо-

k!1

8" > 0 9N :

2 U (x );

8k N ,! x

x j = 0.

ò. å. 8" > 0 9N :

8k N ,! jx

x j < ",

k. .

"lim0 jx

Л мм 1. Пусть з даны

последовательность

fxkg Rn , xk

= (x1

; x2 ; :::; xn) и точка x

; x2

k!1

= (x1

;

xn) 2 Rn . Тогда

= x0

lim xk

= x0

()

8i 2 f1:::;:::; ng ,!

lim xk

Äîê

. 1) Пусть

lim x

= x . Тогда 8i 2 f1; :::; ng ,!

k!1

= (x1

x1)2

k!1

ïðеделе суммыт льстjx о x j2

+ ::: + (xn xn)2 ! 0 ïðè

,! (xi

xi )2

jxk

x0j2

k!1

! xi

! 0 при k ! 1, следовательно, xi

è k ! 1.

2 f1; :::; ng ,!

2) Пусть 8i

lim xk = x0. Тогда по теореме о

k!1

k ! 1, следовательно, lim x

= x

k!1

156

Ò îp ì 1.

точки прикосновения.)

2(КритерийX

9fxkg X :

lim xk = x0:

k!1

lim xk

= x0

. Ïî

Äîê ò ëüñò î. 1) Пусть 9fxkg X :

определению предела имеем 8" > 0 9N :

!1,

2 U"(x0).

8k N

ольку

2 X, òî 8" > 0 ! U (x ) TX =6 ;, ò.

2 X.

2) Пусть x0

2 X. Тогда по определению X

имеем

8" > 0 ,!

,! X TU (x ) =6 ;,

следовательно,

8k 2 N 9x

2 X TU

(x ). Òàê

Поскак jxk

x0j < 1=k ! 0 ïðè k ! 1, òî

lim xk

= x0.

k!1

1=k

Îïp ë íè .

Множество X R

азывается о р нич нным,

åñëè 9C 2 R : 8x 2 X ,!

jxj

C. Â ÷àñòíîñòè,

последовательность

g 2 Rn

называется о р нич нной, если 9C 2 R : 8k 2 N ,! jx

k=1

÷òî

ÿ ïî ïîñë

fyjg

ãî

возрастающая последовательностипоследовательностьнатуральных чис

ë fkjg: 8j 2

2 NНапомним,! y = x

(Ò

рема Больц

j=1

называетс.)

2k.j

т льностью

fxkg1

, если суще твует стро-

Из любой

ограниченной

ñòè fxkg

можно вы

делитьоpхмдящуюся

подпоследовательность.

ðàçì

Док т льст о проведем индукц

ñòâà R . Ïðè n = 1 äîê

но Вейерштрассаорема следурностиет з теор мы

йерштрасса для

последова

ельностейпростран. Пу ь

азываемаяпри n = n . Докажем тогда, ч о

скольку jy j jxничена,j то

fy gстьакжпоследовательограничена

äаннаяазываемаятеор ма справедливасправедлчисловыхn = n

+ 1. Ïó

) 2 R

+1.

Больцаноfx

gÂ1

îãð

= (x

; x2

; :::; x

0 ; x

ñìîò

èì

теоремательность fykg1

, ãäå yk

= (x1

; x2

; :::; x

0 ) 2 Rn0

k=1

n +1

ассмот

выделить

подпо

g1 .

k=1

km m=1

fxkg1 .

рим подпопоследов

fxk

Òàê êàê fy

х дится,последовательностьто пер ые n коор

Ïî ïð

æíî

ложению индукции из

fykgk=1

ности fx

. Пользóясь теоремой Бопоследовательностиьцано Вейерштрасса для

овательностьящуюсдятсх я. ассмотрим

÷èñ îâóþ

k=1

km m=1

fxkm

gm=1, составленн

þ èç n0

=1-й координатыпоследовательность-

n0+1

km m=1

числов

fxn0+1gm1=1

выделим из

динатынееограниченнойх дящуюсдпо ледовательнподпосfx g1

fхxдитсяkmj gj1=1.fИтак,xknõm0+1jдятсяgдокj1=1азано,. Тп гда всеиз1кïðî

извольной

ограниченнойkmj j=1

fxkg Rn0

+1 можно

ыделить

дящуюся

последовательностидпоследовательность fx

g1леммечто, . .

äàí

я теорема

аведлива при n = n

j=1

+ 1, что по индукции доказы

последовательностьет теорему при любом n 2 N.

называется ко

ì,

Îïp ë è .

жество X R

ли из любой

g X можно выделить под-

последовательпоследовательностиость,Мнох дящуюся

некоторому элементумп кто

Ò îp ì 3.

(Критерий комп ктн сти множества.)

Множество

X R

являе я компактом тогд

ëüê

тогда, к

да X ограни-

чено и замкну .

1) Пусть X R

ограниченное замкнутое

Äîê ò ëüñ î.

жество. Покажем, ч

X компакт. Пусть fx

множ ства X. Так как последова ель

ñëåäfовательностьx g ограничена,элементовпо теоремå

ìîæ

дп следовательность fБольцаноx g, х дящуюсВейерштрассапроизвольнаяк которо-

мновыделить

ìó x0

2 Rn . Ппоск льку fxkj g X

lim xkj , òî

еореме 1

2 X. Â ñèëó замкнутости X

2 X.

j!1

ñòè fxkg

Итак, показано, что из произвольной

можно выделить подпоследовательн сть fx

g, схподящуюся к

íåê

элементу x

множества X,

. . X компакт.

2)оторомусть X

îãî,

то множество X

îãð

омпакт. Доказат льство

замкнуто,

проведем м тодомпоследовательнпротивн го.

à) Ïредположим, что множество

X не грани÷ено. Тогда 8k 2

2 N

2 X :

j > k. Поскольку для любой

ниченоfx g

g выполняется

lim jx

j = +1,

довательности fx

èç

j!1

выделить подпосл дова ель

жества X. Следо а

ь,последовательностих дящуюся к которому элементу

íîñòльно, множество X не являетснельзякомпактоì. Полученное протиâî-

ðåчие показывает, что множество X

ограничено.

158

б) Предп

æèì, ÷òî множество X

. Тогда 9

2 X n X. Ò

как x0 2 X, по теореме 1

xk X :

lim xk =

= x

. Òàê êàê

дп следовательность9fx

k!1

62X,

g х дится к x

ïîñòè fx g

èç

выделить подпосл дова ель

íîñòь,последовательнх дящуюслюбаяк

которомуk

элементу

ножества

X. Следо а

ò льно, множество X

íå являетснельзякомпа незамкнуто. Полученное протиâî

ðåчие показывает, что множество X замкнуто.

Опp л ни . Последовательность fxkg Rn называется ун-

даментальной, если

j < ":

8" > 0 9N : 8k N 8m N ,! jx

Ç ÷ 1.

Доказать

Êîøè â R

: последовательность

fxkg Rn сходится тогда критерийтолько тогда, когда она ундаментальна.

159

ëàâà 6

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕPЕМЕННЫХ

Ÿ 1.

Предел ункции нескольких

переменных

. оворят, что

Опp л ни . Пусть задано множество X R

на множестве X определена ункция

льк х переменных f(

)

(x ; :::; x )

2 X

поставлено в соотвенеско

вие единственное число

f(x

; :::; x

)

и пишут f

! R,

åñëè каждой точке x =

2 Rn íà-

Опp л ни . Проколотой "-окрестностью точки x

f(x),

я значением ункции f в

î÷êå x.

зываетсявляющеесмножество

) n fx

g = fx 2 Rn

: 0 < jx x

) = U

j < "g:

некоторой

Îïp

л ни . Пусть ункц я f(x)

определена

вается пределом ункции f(x) пр

x ! x

(ïî

совокупности пере-

менных) и пишут

lim f(x) = A

èëè

lim

f(x ; :::; x ) = A, åñëè

) Rn . оворят, что элемент A 2 R

f+1 1; 1g íàçû

Æ0

x!x0

: : :

(определение Коши):

: 8x 2 o

x !x0

(A);

(î

8" > 0 9Æ 2 (0; Æ

) ,! f x) 2 U

ределение ейне):

(x )

(т. . акой последова-

8 ïоследовательности ейне fx g U

тельности, что

lim x

= x

è x

=6 x

8k 2 N)

выполняется условие

lim f(xk) = A.k!1 k

Æ0

k!1

опред лений

ункции неск

Эквивале

íîé. Äëÿ

ункций нескольких переменных

теореольких

ïредельном

перехтностьдедвухнеравенствах, пределатакжсправедливыо пре елахпеременсу мы,

еремен ых доказывается

ак ж , как и для ункции о ной

160

произведения

частного, аналогичные соответс

ующим теоремам

для ункций однойnпеременÍ ïð ë íè. ì â

пространстве

любой вектор ` 2 R

длины (j`j = ).

Îïp ë íè .

A 2 R Sf+1; 1; 1g назывàзывается пр -

лом ункции f(x) в точк x

ïî í ïð ë íèþ `

Rn (j`j = 1), åñëè

lim f(x

+ t`) = A, Элемент.единичной.

+ t`)

2 U

(A):

(1)

t!+0

8" > 0 9Æ > 0 : 8t 2 (0; Æ) ,! f(x

Ë ìì 1.

1) Åñëè A =

lim

f(x), о по любому направлению

предел ункции f

точке x0

x!x0

существуеò и равен A.

2) Обратное

неверно.

lim f(x) тогда

Док т льст о. 1) Пусть A =

x!x0

U"(A):

8" > 0 9Æ > 0 : 8x 2 UÆ(x0) ,! f(x n

За иксиру м произвольное напр вление ` 2 R

= 1. Тогда 8t(2)

2 (0; Æ) ïðè x

+ t` выполнены соотношения jx x

j = tj`j =

= t < Æ, ò. å.

x 2

). Отсюда, учитывая (2), получаем (1), т. е.

lim f(x

+ t`) = A.

t!+0

x0 + t``

U (x

)

u v2

. Покажем, что

2) Пусть R

= R

x = (

v),

f(u; v) =

в точке x

= (0; 0) предел ункции f по любому направлению ` =

=по(совокупностиos '; sin '), гдепеременных' 2 [0; 2 ),u;limсуществуетf(u; v) неисущравåíствует.0, однако предела v!0

161

= a) tПоскольку2os+'t2 sin2 4'' ,f(тоx0 +приt`) = osf('t =6os0'; tимеетsin ') =место2t3 2osнеравенство'+tsin4 sin2 '4 ' =

' ! 0 (t

+0), а при os ' = 0 имеем

jf(t os';t sin')j t os '2sin

sin ' =6 0

os '

и выполняется равенство f(t os '; t sin ') = 0.

Ñледовательнî,

8` 2 R2

j`j = 1

lim f(x

+ t`) = 0.

t!+0

; v) =

f (v

+0)

)

(t;

á)

÷òî ïðè u = v

=6 0 справедлиâî равенство f(u; v)

2v4

Ç=аметим,при u = 0, v =6 0 равенство f(u; v) = 0. ассмот

f(u

; v

)g = f(

;

)g è f u

; v~ )g

ðèì äâå

f(0;

1 )g. Ýòè äâательности:

являются

lim f(~u

; v

) =

ями ейне,последîдящимисяпоследовательностик точк (0; 0). Так как

=6 0 = lim f(~u

; v~ ), то предела

k!1

f в точкпоследовательно(0; 0) со-

k!1

переменных не существует.

я двух переменных f(x; y)

Опp л ни . Пусть задана ун

точка (x

; y

) 2 R2 . Для любого

икункции

ного числа y предел

lim f(x; y)

ðîâàí существует) обозна-

вокупностиункции дной переменной

чим через '(y). Тогда

x!x0

lim(åñëèf x; y)

lim '(y) = lim

y!y0

y!y0 x!x0

òî÷ê

; y

). Предел

пр лом ункции f

lim

f(поx; yторным) акж называетс

п вторным пределом

ункции f

x!x0 y!y0

; y

). Аналогично мож

о ределить повторные пределы

называетсточк (x

ункции n

переменных.

Ç ì ÷ è 1. Èç

существования повторного предела не следует

существоваíие предела по совокупности переменных. Например, для 162

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 168 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015220.39 Кб13Задачи к курсу.Колачевский.pdf
#
03.06.201581.11 Кб8задачи.pdf
#
03.06.2015103.27 Кб40Занимательная биология.pdf
#
20.09.2019218.8 Кб2записка-пояснительная Иноземцев.docx
#
03.06.20151.17 Mб40Золотое сечение.pdf
#
03.06.20152.95 Mб28Иванов Матан.pdf
#
03.06.20152.08 Mб254Иванова. Построение графиков функции.pdf
#
03.06.201580.38 Кб12Из диалогов Платона - Диалектика Сократа.doc
#
03.06.20151.9 Mб8Изоспин.pdf
#
03.06.2015756.54 Кб24Инерциальная навигация.pdf
#
03.06.2015827.15 Кб28информатика теория.pdf