Иванов Матан

В этомŸ 4. параградробиазложениее всесуммукоэ правильициентыэлементарныxрассматриваемыхой рациональнойдробеймного-

членов вещественные.

Л мм 1. Пусть

Q(x)

дробь

Пусть

P

= (x

x )

Q(x),

x

не являеправилòностикорнемüíàÿ мног члена Q(x)

. Тогда

существуют и еäèíñтвенны

число A 2 Rрациональнмногочленая

F (x)

такие,

x

1

вещественный коре ь кра

k знаменателя (т. е.

Q(x) =

1

k

e

1

e

÷òî

P

A

F x)

=

k +

:

(1)

Ïðè

Q(x)

(x x

1

)

(x x

k 1

e

F(x)

Q(x) дробь.

что существуют число A 2правилR многочьная рациональнаяен F (x) такие, что

k

1 e

Приводя орму

(1) ê

Äîêò ëüñò î.

получаеэтом

(x

x1)

Q(x)

P (x) = A Q(x)+F (x) (x x ). Поэтомуобщемутреб етсязнаменателю,доказать

e

e

1

(2)

Ò

P (x) A Q(x) = F (x) (x x1):

образом, тр бу тся доказать, что

åò ÷è ëî A 2 R

акимое, что

многочл н

'(x) = P (x) A Q(x) делится на x x б з

остатка. По

теореме

Áåçó это эквивале

тно словию '(x1) = 0, . .

P (x1) A Q(x1) = 0. Так как Q(x1) =6 0, тосуществуакое A 2 R существует

и един твенно: A = P

e

1

. При найденном A многочлен F (x) опре-

e

Q x1)

e

деляетñя ормулой (2)

однозначно: F (x) = P(x) A Q(x) .

Òàê êàê

P

e

x x1

Q(x) правильная дробь, то deg P < deg Q. Отсюда и из

e

e

соотношений deg Q = deg Q k < deg Q ñë äóåò, ÷òî deg (P A Q) <

< deg Q. Поэтому в силу равенства (2) èìååì

e

e

deg F = deg (P A Q)

1 < deg Q 1 = deg Q + k 1:

Следовательно, дробь

F(x)

является

.

z1

невещественный корень

кратности

` знамеправильнойателя (т. е. соглаñíî

(x x1)

k 1 e

Q(x)

Q(x)

ï

вильная рацио

льная дробь. Пу ть

Л мм 2. Пусть P

123

лемме 2 Ÿ 3 èìååì Q( ) = (x2

+ px + q)`Qe(x),

x2 e+

+ q =

существуют= (x z1)(x

è единственныz1), z1 не являетсячисла B;корнемC 2 R многочлени дена QF(x(px))).

такие,Тогда

÷òî

P

=

2

+ C

`

+

2

F (x

` 1

:

(3)

(x +px+q)

QBx( )

e

Q(x)

(x + px + q)

(x + px + q)

Ïðè

F(x)

Q(x)

правильíàÿ

äðîáü.

д казать, чò

существуюò числа B; C

2

рациональнаR многочленÿзнаменателю,F (требуx) акие

п лучаеэтом

P (x) = (Bx+C)Q(x)+F (x)(

+px+q . Поэтому

åòñÿ

2

`

1 e

)(x z

x z ):

(4)

Äîê

P (ëüñòx)

(îBx + C)Q(x) = F (

. Приводя ормулу (3) к общему

÷òî

e

что многочлен '(x) = P (x) (Bx + C)Q)(x) делèòñÿ íà x z

àêèå,

Òàêèì

разом,

e

1

1

ется доказать, что сущ ствуют ч сла B; C 2 R

условию '(z ) =требу0, . . P (

) (Bz +C)Q(z ) = 0. Òàê êàê Q(z ) =6 0,

то последнее

равенствПо

эквивалентно

равенству

è x z1 áез остатк .

e

теореме Безу и лемм 2 Ÿ 3 это эквивалентно

1

Bz1 + C = P

e

1

e

1

1

:

(5)

1

1

Q(z )

e

Ïîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóют и единственны числа B; C 2 R, у

Bx

+ iBy

+ C = x

+ iy . Следовательно,

равенство (5) эквидовлеа-

творяþùèе равенстâó

. Обозначим x

= Re z , y

= Im z , x

=

Q(z1)

Q(z1(5)

1

1

1

1

0

= Re P

,

0 = Im P

. Тогда равенс во (5) можно записать

è

e

1

e

0

0

1

= y0

;

дел нтно системе

By1

:

(6)

C = x

0

Bx

Òàê êàê z

62R,

òî y

= Im z

1

имеет

=6 0. Поэтому

единственноеx z без остатка. При найденных B и C многочлсистеман F (x(6)опреде

1

1

1

решение B; C 2 R. Следовательно, сущ ствуют и един

ственны числа B; C 2 R такие, что многочлен '(

) д лится на x z

1

P(x) (Bx+C)Q(x)

1

e

ляется о мулой (4)

днозначно: F (x) =

2

+px+q

Доказательство того, что дробь

x

является пра-

2

F(x)

+px+q)

` 1 e

(x

Q(x)

вильной проводится аналогично доказательству леммы 1.

124

щественнымиТ оp м 1коэ. ПустьицèåíòQP (x) амиправил. Пустьная рациональная дробь с ве-

Q(x) = a (x x

)k1 ::: (x x

)ks (x2 + p

x + q

)`1

::: (x2 + p

x + q

)`t ;

ãäå x1

; :::; xs

1

s

1

1

t

t

различные вещественные корни мнîãîчлена Q(x), а

(x2

+ p

x + q

); :::; (x2

+ p

x + q

) различные квадрàòíые трехчлены

1

1

t

t

P

îòðèцательными дискриминантами. Тогда дробь Q(x) можно пред-

ñтавить как сумму эл м нт рных ро й:

Q(x)

ù

ù

ù

компл

компл

P

;

= 1

+ 2

+ ::: + s

+ 1

+ ::: + t

где вещественному корню x

j

кратности k

j

соответствует сумма

ù

kj

Ajk

X

j 2 f1; :::; sg;

j

= k=1

(x xj )k ;

а множителю (x2

+ p

x + q

)

в разложении знаменателя соответ-

ствует сумма

j

`j

j

компл

Bj`x + Cj`

X

j

=

`=1

(x2

+ pjx + qj)`

;

j 2 f1; :::; tg;

я действительными числами

причем все коэ ициен ы

Док т льст о состоитявляютсмногократном применении лемм 1 è

определены

днозначно.

ð öèîí льных ро й

2.

Ÿ 5.

1) åñëè degÈíòP degðèðîQ,

методомнè

деления

"â ñòîë

Пусть мног члены P (x)

Q(x)

не имеют общих корней. Алго

ðèòì èíòåãðир вания раци нальной дроби

P

состоит из следую

Q(x)

ùèõ øàãîâ:

P

= D(x) + многочленовR , äå D(x) ìíî-

бик"представить дробь виде

ãî÷ë

,

R

правильная

Q(x)

Q(x)

дробь;

Q(x)

2) найти корни знаменателярациональнаяразложить знаменатель Q(x) на

элементарные множители;

125

3) методом неоп ед ленных коэ ициентов

èòü

элементмуюэлементарныхрациоарныхальнуюдробейдробейдробьсуще. ВQRñòâ(ñèëóx)ует(илитеоðåìQP (x)ыпри1 Ÿ 4degразложениеP < deg Qправиль) сумму-

4) проинтегрировать

элементарныеединственно;дроби многочлен D(x) при

deg P deg Q.

ýë ì íò ðíûõ ðî é

Èíò ðèðî (xíè1)

k

û âèäà

Z

A

, k 2 N являются

абличными.

+C

k

Z

1)2 Интеграл Z

2

k dx

сводится к

èíòåãðàëó

Z

2

:

dx

(x2

+ + q)k dx =

2 (x2

+ px + q)k

+ C

2

(x2 + pdx+ q)k ;

(px + px

(x +px+q)

(x +p +q)

Z

+ q)

ln jx2

+

2

qj

k 1

= ;

d(x2

+ px + q)

=

1

ïðè k

2

k

> 1:

Z

(k 1)px( +px+q)

3) Вычислим èнтеграл

(x2

+dxp+q)k

, ãäå

2

+ px + q = x +

2

+ q

4

. Поскольку знаменателüíå

âå

ùåственных

ê

é, òî q

> 0. Обозначим a =

q

èìå=4 åòâû-

ê

. Выделиì полный квадрат â

íåëå:

x +

p 2

p2

p

p2

2

4

t = x + p=2. Тогда

полним заменуорнейп ременной интегрироâàíèÿ:

Z

(x2

+dxp+q)k

=

Z

(t2

dt

= Ik

( ).

+a2)k

=

1 ar tg t

+ C.

Ïðè k = 1 èì åì I (t) =

Z

dt

Выведем

ек ррентную

îðìó

äëÿ âычислåíèÿ Ik( ) ïðè k > 1.

1

t2

+a2

a

a

Интегрирóÿ ïо частям, ïîëó÷àåì

Z

t2 dt

Ik(t) =

Z

dt

=

t

+ 2k

2

k+1

=

2

2

k

2

2

k

2

(t

)

(t

)

(t

)

t

+ a

(t2

+ a

Z

+ a

Z

+ a2) dt

2ka2

(t2

dt

= (t2

+ a2)k + 2k

(t2

+ a2)k+1

+ a2)k+1

=