Иванов Матан

(b xj 1)

sup

;b

f(x)

(xj

b

sup

f(x)

2M (x

x2[xj 1

) ! 0

ïðè

x2[b;xj

j

x

j 1

) 2M `(

! 0:

),

`( )!0

Поскольку

`(

)

`(

)

è `(

)

`(

S(f;

) =

T1

T

lim

T1

b

T2

T2

1

= J1

=

è

lim S(f; T2) =

J2

=

f(x) dx,

R f(x) dx

R

lim

S(f;

) = J

+ J . Аналогично,

lim

s(f; ) = J + J . Ïòî

a

1

2

`(

)!0

T

b

1

2

`(T)!0

T

`(T)!0

определению интеграла получаем требуемое утверждение.

Опp л ни . Для любой ункции f положим по определению

Za f(x) dx = 0:

a

Если ункция f интегрируема на отрезке [a; b , то определим

a

Z

b

Z

f(x) dx:

Ñë ñò è .

b

f(x) dx = a

ункция f интегрируема на отрезке, содер

жащем точки a, bЕсли, то при любом расположении этих точек спра-

ведливо равенство

Zb f(x) dx + Z f(x) dx:

Z f(x) dx =

Äîê

a

a

b

. ассмотрим случай a < < b. Из леммы 1

ìó â ñèëó òåò ðльстемы 5ополучаем

следует ин

г ируемость ункции f на отрезках [a; и [ ; b . Поэто-

b

Z

b

b

Z

Z

Z

Z

f(x) dx:

a

f(x) dx = a

f(x) dx

f(x) dx = a

f(x) dx+b

203

грируемаÄîêÒ îpŸ 4ìíà. ýòîì1Äîñò. Еслиотрезк.точныПусть.

ункциянепрерывнаñëî èÿf

èíòíà

ðèðóå,íàòî[a;мостиîíàb , тогдаèíòå-

по теореме Кантора

ункцияf равномернонепреотрезкерывна на [a; b . Это

означает, чтот льстмоду о непрерывности

!(Æ) =

sup

jf(x) f(x

)j

стреми

ÿ ê íóëþ ïðè Æ ! 0.

0

2[a;b

0

= fxigI

x;xj x0j<Æ

Пусть задано

разбиение T

отрезка [a; b . Поскольку jxi

x

j `(

) < 2`(

i=0

; x

i 1

T

), то колебание ункции f на отрезке [x

i 1

T

sup

0

)j !(2`(

)):

i

!

(f) =

0

jf(x) f(x

i

2[xi 1

;xi

T

x;x

Поэтому разность сумм Даpбу

I

(f; T) =

I

xi 1)!i(f) !(2`(T))

xi 1) =

X xi

X(xi

= !(2`(T)) (b a) ! 0

ïðè

`(T) ! 0:

тсюда

i=1

i=1

из критерия интегрируемости следует и тегрируемость

Îïp ë íè .

Ф нкция f называ

я кусочно-н пр ры ной на

ункции f.

1

< : : : < N

= bтсакое, что 8k 2 f1; : : : ; Ng

f kgN

:

a = 0 <

а интервалах

(

;

) ункция f

непрерывна

и сущес вуют к -

отрезк

[a; b ,

åñëè

óществует разби ние

отрезка

[a; b

точками

íечные

дносторонние

пределы f(

+ 0), f(

0).

k=1

отрезке, то

Т оp м 2. Если ункция кусочно-

k 1

k

k 1

k

Äîê ò ëüñò î.

Ïó ü

f

кусочно-непрерывна

îтрезк

[a; b . Тогда

ñòвует разб ениенепрерывнаотрезк

[a; b

точками

à

íà

ема на этом отрезке.

дносто-

интегрируонцах

рвалов ( k 1; k) ункцияя f имеетункцияонечные

f kgN

àêîå, ÷òî íà

сущеинт рвалах ( k 1

; k)

f

непрерывна,

k=1

;

è

рассмотрим

За икпределысиру м произвольный отрезок [

k 1

k

непрерывную

ункцию

ронние

.

204

8

x);

2 (

k 1

;

k

);

<

1 0)+;0);

åñëè

x =

g(x) = : f(

k

k

: 1;

å à íà

å [

;

. Ïî

В силу теоремы 1 ункция g

k 1

k

скольку на отр зк

[

; ункция f

æ

отрезкличатьс

îò óíê

ции g не более чем

двух точках, то по

теореме

4 Ÿ 3 ункция f ин-

тегрируема на

произвольном

интегрируотрезк [

; . Отсюда по теореме 5

Ÿ 3 следует ин егриру

мость ункции f

âñåì

å [a; b .

k 1

k

k 1

k

отротрезке, то она инте-

Т оp м 3. Если ункция монотонíà

ема на этом отрезке.

убывает на отрезке [a; b

Док т льст о. Пусть ункция f не

грирупусть задано разбиение

T

= fxigi=0

отрезкна

[a; b . Тогда

!i(f) =

0

sup

I

jf(x) f(x0)j = f(xi) f(xi 1):

x;x 2[xi 1;xi

Следовательно,

I

X

(f; T) = i=1(xi xi 1)!i(f)

`(T)

I

!i(f) = `(T)

I

X

X(f(xi) f(xi 1)) =

i=1

i=1

ïðè

`(T) ! 0:

= `(T) (f(b) f(a)) ! 0

В силу критерия интегрируемости, ункция f интегрируема на [a; b .

Ç ì ÷ íè . Èç

èëè ìîíî

нности ункции на

Например, ункция fнепрерывности(x) = 1 ðûâíà

убывает

(0; 1), днако

тервале (a; b) не следует èíò ã

емость эòîй ункции на [a; b .

она не граничена и, следовательно, неинтегрируемана

[0; 1 .

их произведение f(x)g(x) является

емой наотрезк-

x

g(x)

åìû íà

å

Тоp м 4. Если ункции f(x)

Док т льст о. Поскольку

ункцииинтегрируf g интегрируемы на

ке [a; b ункцией.

205

[a; b , то они ограничены, т. е.

M

=

sup jf(x)j 2 R;

M

= sup

jg(x)j 2 R:

Следовательно,f

x2[a;b

j )0g(x) f(x0)0g(x0)xj2=[a;b

0

)g(x

0

)j

= jf(x)g(x) f(x )g(x)

f(x )g(x) f(x

jf(x)g(x) f(x0)g(x)j0

+ jf(x0)g(x)

f

00 g(x0)j

M

g

jf(x) f(x )j + M

f

jg(x) g(x )j:

I

отрезка [a; b . Тогда

Пусть задано разбиение T = fxigi=0

!i(fg) =

sup

jf(x)g(x) f(x0)g(x0)j

Mg

sup

2[xi 1;xi

sup

jg(x) g(x0)j =

;xi

jf(x) f(x0)j + Mf

x2[xi 1

= M

!

(f) + M

x2[xi 1 i

g

f

!

(g):

i

i

)g(x)

Поэтому разность сумм Даpбу ункции f(

(fg;

) =

I

x

)!

(fg) M

(f;x ) + M

(g;

):

T

X(x

i

i 1

g

f

T

i=1

i

T

В силу критерия интегрируемости из интегрируемости ункций

f g следует, что (f; T) ! 0, (g; T) ! 0 при `(T) ! 0. Следо-

âà ëüíî, (fg; T) ! 0 ïðè `(T) ! 0,

значит, ункция f(x)g(x)

интегрируема на [a; b .

как ункция

Ÿ 5.

Определенный

верхнего

Ò îp ì 1.

(Непрерывность интегралакак ункции верхнего

предела.) Пусть на

предела[a; b задана

мая по иману

x

непрерывна на [a; b .

ункция f(x). Тогдаотрезкун ция F (x) = R f(t) dt

Пусть

; x2

2 [a; b . В силу свойства аддитивности интеграла от-

носительно отрезк

интегрирования

x2

f(t) dt. Ïî

F (x2) F (x1) = xR1

теореме об интегрироваíии неравенств

jF (x2) F (x1)j

x2

C dt

=

R

= C jx2

x1j. Следовательно,

x1

8x0 2 [a; b 8" > 0 9Æ =

"

8x 2 [a; b : jx x0j<Æ ,! jF (x) F (x0)j<";

C

т. е. ункция F (x) непрерывна на [a; b .

Опp л ни . Функция F (x) называется п р оо р ной унк

f(x) íà [a; b , åñëè 8x 2 (a; b) ,! F

0

) = f(x), а на концах от-

ункции

F :

f(a) = F 0 (a) =

lim

F

(x) F (a) , f(b) = F 0 (b) =

резка [a; b значения ункции f равны односторонним производным

=

lim

F (x) F (b)

.

+

x!a+0

x a

0

x b

x!b

f

непрерывна на [a; b , то ункция

Ò îp ì 2. Åñëè

F (x) =

R

f(t) dt являетс ункцияпервообразной ункции f(x) на [a; b .

x

a

. Пусть

x0

2 [a; b , x 6= x0.

Äîê

x;

x

Тогда òFëüñ(x) ò îF (x0) =

f(t) dt

=

(x x0) f(x0) +

(f(t)

R

R

f(x0)) dt. Следовательно,

x0

x

x0

F (x)

F (x

)

1

Z

x x0

0

f(x0) =

x x0

x0

(f(t) f(x0)) dt

1

x

Z

jf(t) f(x0)j dt:

jx x0j

x0

В силу непрерывности ункции f на [a; b

)j ";

8" > 0 9Æ > 0 8t 2 [a; b : jt x

j Æ ,! jf(t) f(x

поэтому

207

0

0

Следовательно," 9Æ > 0 8x 2 [a; b : jx x0j Æ ,! xZ0x jf t) f(x0)j dt jx x0j ":

8" > 0 9Æ > 0 8x 2 [a; b : jx x j Æ ,!

F

(x) F (x0) f(x

)

";

åñòü 8x0

2 [a; b !

lim

F (x) 0F (x0)

x

x0

0

x x0

= f(x0), где при x0 = a имеет-

÷òî F 0 (a)

= f(a)справа,F 0 (b)

= f(b),

8x

2 (a; b) ,! F 0(x ) = f(x ).

ся в виду предел

x!x0

а при x0 = b предел слева. Это означает,

+

0

0

0

Таким образом,

F является п рвообразной ункции f на

Из теоремы 2 ункциятеоремы

структуре

множества первообразных

[a; b .

получаем

(теорема 1 Ÿ 1 главы 4)

Сл ст и 1. Любая первообразная непрерывной на [a; b унк-

ции f имеет вид

F (x) =

Zx f(t) dt + C;

где C 2 R произ

a

констант .

образная

непрерывнойольная

[a; bНьютонаункцииЛейбницаf,

.) Если F перво-

Сл ст и 2. (Формула

b

Zb

ïî îïð .

f(x) dx = F (x) a

F (b) F (a):

a

=

Док т льст о. Воспользуемся следствием 1 и заметим, что

a

b

b

R

f(t) dt + C = C,

R

R

f(t) dt + F (a).

F (a) = a

F (b) = a

f(t) dt + C = a

Следовательно,

b

f x) dx = F (b) F (a).

R

x = '(t) имеет

Ò îp ì 3.

(Заменаa

переменной.) Пусть

производную на отрезке [a; b , а ункция f непрерывна

íепрерывнуюа отрезк '([a; b ). Тогда

208

b

'(b)

Za

f('(t)) d'(t) ='Z(a) f(x) dx:

Äîê ò ëüñò î.

Поскольку

ункция

f непрерывна

f:(b) 8

2 '([a; b ) ,! F 0(x) = f(x). По ормуле Ньютона Лейбницна

R

[a; b ), то по теореме 2 существует первообразная F для ункции

f(x) dx = F ('(b)) F ('(a)).

(t

0(t), òî óíê

'(a)Поскольку

dt

F ('(t)) = F 0

('(t)) '0(t) = f(

0

(t). Следова-

ция F ('(t)) является перв образной ункции f('(t))'

тельно, по ормуëå Íüþòîна Лейбница

b

Z

b

Z

f('(t)) '0(t) dt =

b

a

f('(t)) d'(t) = a

Z

'(b)

Z

= a

dF ('(t)) = F ('(b)) F ('(a)) ='(a) f(x) dx:

Т оp м 4. (Интегрирование по частям.) Если ункции u(x) и

v(x) непрерывно ди еренцируемы на [a;

b

, òî

b

b

Z

Z

v(x) du(x):

a

u(x) dv(x) = u(x)v(x) a

a

Док т льст о. Пользуясь линейностью интеграла и орму-

лой Ньютона Лейбница, получаем

b

b

Z

b

Z

Z

(u(x) v0

(x) + v(x) u0

(x)) dx =

a

u(x) dv(x) + a

v(x) du(x) = a