Иванов Матан

'0(x) = fxw((x;t)y=0

+ t)fx (x0fx+(x;1yt;0)y,0получае+ t) ìfx

(x0 + 1t; y0) t:

x

теорему Лагðàнжа о ср днем для ункции

(y) =

f

(x0 +

Приментакое,ÿÿ÷òî (y + t)

( ) =

0(y

+ t) t, ò. å.

+ 1t; y), получаем, что сóùåñтвует

число 2

2 (0; 1), зависящее от t

0

w(t) =

0

(x0

0

2

+ 2t) t2

:2f

(1)

y2fx

+ 1t; y0

(x; y)

â

В силу непрерывносòè

частной

произвоäíîé

точке

(x ; y ) и условий

2

(0

; 1),

2 (0; 1), получаем

0

0

0

0

21f

1

2

0

2

2f

t!0

(x y; x );

y x

(x

+ t; y

+ t) =

y x

lim

откуда и из (1) следует, что

2f

lim

w(t)

=

(x0

; y0):

t

2

t!0

y íà x

замене унêöèè

Поскольку при замене переменныхy íàx y,

f(x; y) на ункцию f(y; x), у кция w(t) не изменится,

ïîìåíÿ-

ется порядок ди åренцироваíèÿ

â

смешанной

производной

2f ,

òî

2

lim

w(t)

=

2f

(x

0

; y

0

):

y x

t!0

t2

2

Следовательно,

x y

(x

; y

) =

y x

).

f

0

0

f x( y; y

0

0

З м ч ни . По аналогии с теоремой 1 мож о доказать, что ес

этой точк частные

производные k-го порядканепрерывнызависят от порядк

частные производные k-го порядка ункции f(x

; :::; x ) опреде-

дипорядкОпpеренцирования(k л 1)ни ункции f определены в

окрестности

точки

x0 è

ëåíû

окрестности т чки x

0

2 R

n

è

1

n

0

, òî â

точке x

.

.

; :::; x

)

азывается k раз

Функция f(x) = f(x

1

n

еренцируемой

точке x

0

2 R

n

, если все част ые пр изводные

183

åìû â òî÷ê

0

. Ди еренциал k-го порядка опреде-

ляетсяди еренцирупо инд кции:

dkf(

0) = d(dk 1f)(x0):

При вычислении

ди еренциала выраж ния dk 1f ди ренциалы

независимых переменных

dxi, входящиå в dk 1f, следу

считать

постоянными.

Пусть ункция f(x) = f(x

; :::; x

) являетсÿ k ðàç

Ë ìì 1.

n

ди еренцируемой в точке x

0

2 R

n

. Тогда

1

n

n

kf

X

X

(x0) dxik

dxi1 :

dkf(x0) = i

=1

i

=1

xik xi1

1

k

Äîê ò ëüñò î. Â ñèëó теоремы!4 Ÿ 6 имеем

n

f

n

f

d2f(x0)=d(df)(x0) = d

X

(x) dxi

=

X

d

(x0) dxi:

x

x

i=1

i=1

i

Испольçóÿ равенства

i

x=x0

f

n

f

n

2f

d

(x0) =

X

xj

(x0) dxj

=

X

(x0) dxj ;

xi

j=1

xi

j=1

xj

xi

приходим к соотношениÿì

n

n

n

n

2f

2f

d2f(x0)=

X X

dxi

=

X X

i=1 j=1

xj

xi (x0) dxj

i1

=1 i2=1

xi2

xi1 (x0) dxi2 dxi1 :

ассуждая аналогично, индукцией по k получаем доказываемую

ормулу.

Ÿ 10.

Напом им, что в гл ве 5 было введено понятие линейн го

как мнОператорыжества, на кот ром опр деле ы операция сложе

ния элеме тов и операция умноженияди элементеренцированиячисло, удîвлетвпро-

странстваяющие определенным аксиомам.

184

Ïpè

p

Пусть X R

n

открытое

множество. Обозначим че

ðåç F

0

ножество ункций f :

X ! R,

через F k

, ãäå k 2 N,

множествоX

у кций f : X ! R, ди еренцируемыхXk раз в к

точке x 2 X. Легк

проверить, что множества F k

(k = 0; 1; ::) ÿâëÿ-

þòñÿ ë

X

пространствами с обычными операциями слоаждойения

óíêöинейнымиум ожения

на число.

Îïp

.

ПустьункцииF G лèíейные пространства. Отобра-

èç F

G,

ëнидля любых элеме тов f1

; f2

2 F è

юбых чисел 1

; 2

^

, действующим

жение A : F ! G называется лин йíûì îï ð òîðî

Ïpèì p. ×à

íàÿ

äíàÿ

является

линейным

выполняетеся

A( f + f ) =

Af

+ Af .

^

1

1

2

2

1

^

1

2

^

2

k

íîе пространство F k 1.

xi

íî, для любой k раз диоператоер -

ì A =

xi

,

действующимпроизволиней

го простðàнства FX

ëèí

^

ункция (Af)(x) =

xi

(x) является k 1

цируемой ункции f 2 FX

ðàç äè åðåíцируемой,Действитель. . f 2 F k 1. Èç ñâîéñòв производной

X

k

^

^

f

: 8f1; f2

2 FX ; 8 1; 2

2 R:

следует лèíейность оператора A =

xi

X

k

xi

( 1f1(x) + 2^f2(x))^= 1

f1

(x) + 2

f2

(x):

xi

xi

Опp л ни . Пусть A1

; :::; An

ûå

ператоры, действу

ющие из линейного

Fлинейв íейное

пространство G,

ный оператор,

езу ьпространстваат действия которого на элемент f 2 F опре-

деляется по ормуле

^

^

; :::;

числа. Через

+ +

будем обозначать линей

n

A

1

n

A

n

1

^

1

^

+ +

^

f =

^

f + +

f:

A

1

n

A

n

A

n

A

n

n

.

1

1

1

Для заданных чисел 1

; :::; n

è î êðûтого множеñòâà

X ПpимR рассмотримp

линейный оператор A = 1 x1

+

èç F k

^

x1

xn

в F k 1. Поскольку результат применения опе-

действующий. . равен скалярному произведению вектора ` = ( 1; :::; n) 2 Rn

^

X

X

k

^

f

f

2

FX

= 1

+ + n

,

ратора A к ункции f

равен Af

185

=íà(gradвекторf(-x)f;ункцию`),

f

f

^

gradсилуf(xормулы) = x(grad1 x); f(x;)x`)n (=x) f`: (x)(Afполучаем)(x) =

^

^

(Af)(x) = ` (x),

. . оператоð A ÿâëяется операторîм взятия про-

изводной по вектору `:

^

`

.

A =

Опp л ни . Пусть F; G; H линейные пðîстранства;

^

операторы. Прои ни м или суп рпо-

G, B : G ! H

ици й операторовлинейныеA B называется линейный оператор B A : F !

^

^

^

^

^

^

! H, определяемый по ормуле^ ^

8f^2 F

xi

(B A)f = B(Af):

Пpим p. Пусть Ai =

операторы частныõ ïðîизвод

õ

^

^

являются

^

ервого поðÿдка. Произведениями операторов

÷àñòíûå

ïроизводные

порядêîâ.

Ai Aj

=

xi xj ,

Ai

=

Заметèм, чтовысшобщемèõ

i

2

ìó

случае Например,оизведение операторîâ íåêî

^

^

2

k

k 2

= x2

линейíые операто ы, действующие из FX в FX .

= Ai Ai

i

^ ^

^ ^

), äëÿ

та ивно: A B =6 B A. В Ÿ 9 был приведен пример ункции f(x;

êîòîðîé

x y

f =6

y x

f.

x

y

èìåþ

Из теоремы 1 Ÿ 9 следует, что на пространстве

щих непрерûâные смешанные

производные, операторыункций,

êîì-

мутативны.

Пусть ункöèÿ f(x) = f(x ; :::; x )

ÿ k

ðàç

Ë ìì 1.

ди еренцируемой в точке

0

2 R

n

. Тогда в этой точкявляетс

dkf =

1

n

dx1 x

1

+ : : : + dxn

x

n

k f!:

Äîê ò ëüñò î. Èíäукцией по k ïîëó÷àем равенство

n

dx1

x

1

+ : : : + dxn x

n

k f!

=

n

kf

=

X

X

x

dxik

dxi1 :

x

i1

=1

ik=1

i1

ik186

ОтсюдаË ììâ

ñèëó2. Пустьлеммыâñå1 Ÿ

частные9 åòïðäîизводныеê

k-ãîутвержпорядкаåíèå.óíê-

ции f(x; y) непрерывны в точкследу(x0; y0).азываемоеТогда этой точке

k

k

i

kf

k i

i

i

k!

d

f =

X

;

ãäå

i=0

Ck

xk i

yi dx

dy

Ck

= (k i)! i!:

Äîê ò ëüñò о. В силу теоремы 1 Ÿ 9 смешаннûå ïðîèзводные

порядк

k

f в точке (x ; y ) не завис

îò порядка äè å-

ренцированèÿ. Ïîýòîìó â âûðàæ

0

dx

+ dy

k f

(x0; y0)

0

операторы унêöиикомìóтируют,

x

y

åíèè. . âåäóò ñåáÿò

êак обычные числа.

x

y

; y

) получаем

Применяя ормулу для бинома Ньютона, в точке (x

k

!

k

i

kf

0

0

k i

i

dx x + dy y

f =

X

:

i=0

Ck xk i yi dx

dy

Отсюда и из леммы 1 следует доказываемое равенство.

Ÿ 11.

Формул Т йлор

; :::; x

) является m +

Т оp м 1. Пусть ункция f(x) = f(x

n