Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Иванов Матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2.95 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

1)32

+ g)(x ) = df(x

) + dg(x

gdg(x(0x) df0)(,

2 f(x0) dg(

)

åñëè9 d(gf(gx)(0)x06=) =, g(x90) dfd(xf0) +(xf0)(x=0)

Док ьст о. 1) Так gкак ункции f

g) (èx0g)

(x) äè åðåí-

цируемы в

òî÷ê

x0,

òî

ïî

ореме 1 9 f + g)

(x0)

= f

(x0) + g

(x0).

Пункты (2) ения(3) доказываются анаëогично.

9d(f +g)(x ) = (f +

В силу опредеë

0(x

äè åðåнциала по учаем

+ g)0(x

) dx = f

dx + g0

) dx = df(x

) + dg(x

Ÿ 3.

Производные и ди еренциалы

высших

ядков

Производная f

(n)

(x)

порядк

n определяетс

индукцией по по

Îïp ë íè .

äíàÿ

левого

ÿäê

ýòî ñàìà óíê-

рядку.

(x) = f(x).Производная первого

ÿäê

(x) = f (x)

öèÿ: f

была определена ранее. Если

ункция

порпределена

U (x), òî

(0)

Факториалом числа

( )

(1)

(n+1)

(n)

2 N называется

(x) = (f

(x).

)

f0g даетсячислоп

n! =Îïpn (n ë1)íè:::

Строгое определение акториала числа n 2 N

индукции: 0! = 1, 1! = 1, n! = n (n 1)!.

Опp л ни . Пусть n; k 2 N

f0g, k n. Îïðåделим биноми-

альный коэ ициент:

n(n 1):::(n k + 1)

Ë ìì

n k)! k!

. (Свойства

биномèàëüíûõ êîý ициентоâ.)

= 1, C

= 1 8n 2 N Sf0g;

(n k+1)!ò ëüñòk! în+1

8n; k 2 N : k n.

+ k2)=

Cn+1

k 1

= C

n! 0!

= 1.

Äîê

. 1)

= 1, аналогично C

(n k)! k!

(n k+1)!

(k 1)!

(n k+1)! k!

C + C

(n k + 1 +

водныеТ оp ункцийм 1.

u x), v лаx) вЛейбницаточкn x

.порядка) Пусть. существуютТогда

произ-

(0)

9 (u x)v x))(n

XCnk u k)(x) v(n k)(x) =

(0)

= C

x) v

(1)

k=0(n 1)

(x) + + C

(n)

(x) v

(x):

(Формуx) + C

(x) v

k (kò) ëüñò(1 k

(uv)

v + uv

Äîê

Ïðè

(uv)(s+1)

= ((uv)(s))0

= XCk (u(k) v(s k))0

теорема

Пусть ормула Лейбницасправедлива при n = s, тогда

k=0

(s)

(s k)

(uv)

. Покажем, что ормула Лейбница спра-

k=0

ведлива при n = s

j=k+1

(s k)

s k=0

X k (k

+1)(j

X k (k) (s+1 k)

j 1

(s+1 j)

) (s+1 k)

k=0

Cs u

u v

= j=0+1 Cs

+ k=0 Cs u v

(k) (s+1 k)

(0)

(s+1)

k +1)

(k)

(s+1 k)

(s+1) (0)

ñ îéñò 1,2

= k=1 Cs

u v

+ Cs u

v +

(0)

(0)s+1)

(k) (s+1 k)

(s+1)

(0)

X k

+ k=1 Cs

u v

= u v

+ Cs )u v

+ u

+ k=1

= Cs+1 u v

Cs+1 u v

+ Cs+1 u

v =

k=1

s+1

u(k) v(s+1 k);

= XCk

k=0

s+1 84

÷òî. å.Анал гичнолаЛейбницасправедлдоказательствуíà ïðèтеоремываn =дляs +любого1.проводитсяПо индукцииn 2 N. доказательполучаем,-

ство бинормума Ньютона:n

n k

(a + b)

X k

8a; b 2 R; n 2 N:

= k=0 Cn a

Ýòîé îðìó

коэ циенты Ck

и обязаны своим названием.

был определен ранее. Пусть

UÆ

(x0) существует ди еренциал n-го

ïîð

ункции f:Диdnf(еренцx). è

порядка n + 1 назы-

Îïp ë íè .

f(x) = df(x)

ал первого пор

ваетсядкди еренциал первого

порядкеренциалоот ди еренциала порядка

dn+1f(x0) = d(

x0).

äâóõ

d f)(x) является

çà

. ДиП вычисленииеренциал

dn+1f(x )

dx è äè å-

Функция f называется n раз ди ункциейеренц руесироватьмой переменных:точк x , если

ренцировать d f(x) как ункциюнужнодной перем нной x.

dx9 f(x0).

() 9f

(n)(x0) 2 R;

Ò îp ì 2. 1) 9dnf(x0)

2) åñëè 9

f(n)(x

) 2 R, òî dnf(x

) = f(n)(x

) (dx)n.

Док т льст о. При n = 1 утверждение теоремы следует из

определе

я ди еренциала первого порядка.

Пусть

теоремы справедливо при n = k

òî

ндукции)ниутверакой

точки x

ет f(предполоx) 2 R,

èëó

предполождениеения индукции

существу0 åствуdkf(x). Тогда не

жение

(xокрестности) не сущест ует d

ñóùåñòâó

= k + 1

), è ïðè n

утвер

теоремы тр

âыполнено.

(k+1)

k+1

dk+1f(x0) = d(dkf x0

= d(f(k)

( ) (dx)k)

(x) (dx)

. Ïî

предпождениеения индукциивиальноU (x )

)

) = f

Пустьет перь в некоторой U

(k)(

) 2 R. Тогда в силу

(k)

определению ди еренциала порядка k + 1

(x ) (dx)

= d(f (x))

(dx) = f

(x ) dx (dx) = f

(k)

(k+1)

k+1

)(k+1)

x=x0

850

x=x0

fП(kрмулаэтому+1)(x0)dсуществование2k+1Rf(x случа) = f k+1)существованияdk+1x f)((xdx0))kэквивалентно. fСледовательн(k+1)(x0) 2существованиюR спраутâåрждедлива-

ние теоремы

ïðè n0

= k ++1. По индукции п лучаем, что

теорема

при любом n 2 N.

З м ч ни . (Неинвариантность ормы ди еренциалов âûøå

Найдем второйсправедливаеренциал сложной ункции z = '(x) = z(y(x)).

1-го порядк .)

Пусть заданы дважды ди еренцируемые ункции y(x) и z(y

В силу инвар антности ормы п рвого ди еренциала

d'2 (x) =

По правилу

вычисления ди еренциала произведения

( (x)) dy(x).

(y)d2 , в то время ункциидля прост й ункции z = z(dy): dy2z =

(y(x)))

(y(x))

d(dy(x)) = z

(y(x)) (

x))

d(z

dy(x) + z

Èòàê, äëÿ ñëî

z = z(y(x)):

z = z

(

)(

)

z0(

(x)) d2y(x).

бразом, ормулы для

= z

(y)(dy) . Таким

лов простой

сложнойй ункций

совпадаюò.орыхТждиотноситсяеренциак

ди еренциалам порядков n > 2.

Ÿ 4. Теоремы о среднем

для ди еренцируемых ункций

Опp л ни . Пусть задана ункция f : X ! R.

1. Точка x 2 X называется точкой локального минимума унк-

öèè f, åñëè

90Æ > 0 :

8x 2 U

) \X ,! f(x

) f(x):

2. Точка x0

2 X называется точкой локального максимума унк-

öèè f, åñëè

9Æ > 0 :

8x 2 U

) \X ,! f(x

) f(x):

3. Точка x

экстремума

2 X называется точ ой

ункции f, если x является точкой лоêàëüíîкальногоминимума или мак-

симума f.

Определимли,Точки локальноготочкия акжстрогоготочкамиэкстремума,локального экрыелокальногоемумамы сейчас. экстреопределиума.

4называютс. Точк x0

2 X называется нточкстрой остроо о о лок льно о мини-

мум ункции f, если

) \X ,! f(x

) < f(x):

9Æ > 0 : 8x 2

5. Точка x

UÆ

2 X называется точкой стро о о лок льно о м кси-

мум ункции f, если

) \X ,! f(x

) > f(x):

9Æ > 0 : 8x 2

UÆ

строгого локального

6. Точки строгого локального минимума

ìóìà.

Обр тноеназываютсеверно. Например, для ункции,

р внойэкстрон

àí-

максимума

òî÷ê ìè ñòðî î î

ìóì .

ального экстр мума являетс

точкой

нестрогогчтолок льно ольного эк

ðå

òå,

Непос едстве

èç

следует

÷ê

ëî

точки

множестваопределения

являютс

точками нестрогого

экстрвсемума,

строгих экстремумов

íåò.

ñòü

ункция f

Т оp м 1. (Теорема

íîãî

минимума f.

íà (a; b)

2 (a; b)

точкФерма(нестрогого) локального экстремум

Док т льст о. Пусть для определенносòè x

точкопределеналокаль

óíêö

f. Тогда если f ди еренцирПуема в

î÷êå x0,

(x0) =

= 0.

minfb x ; x

ag. Тогда 9Ж 2 (0; Ж

8x 2

Опред лим Ж

дельномнеравенствоперех де в неравенствах правая про зводная неотрицатель-

2 U (x ) ,!

f(x )

x . Поэтому при x 2 (x ; x

+ Æ)

åòñÿ

f(x)

0, следовательно,

по теоремевыполняпре

0 (x

íà: f

)

lim

f(x)

f(x0)

0. Аналогè÷íî, f

) 0. Åñëè

x!x0

x x0

9f0(x0), òî f

(x0) = 0.

(x0) = f (x0) = f0

(x0) и, следовательно, f0

З м ч ни . В точке локального экстремума проиçâодная мож

не существовать, как,

jxj не существуåò

а)б быть бесконечной, как,например,для f(x) = pjxj

(0) = 1.

f0(0) èëè

З м ч ни . Если ункция f : X ! R достигает экстремума

неXточке, равнаято x0 точке2нуXлю,котораяx0производнаяможетнесуществоватьявляетсяункциивнутреннейконечнаяf. Наприточкой(односторонняя),ер, ункциямножестваf :

[0; 1 ! R, заданная ормулой f(x) = x, достигает

ìинимума точк

Ò îp ì 2.

(Теорема олля.)

Пусть ункция f

непрерывна

= 0, íî f0

(x0) = 1 =6 0.

на [a; b и ди еренцируема на (a; b) и пусть f(a) = f(b). Тогда 9 2

2 (a; b) : f

0( ) = 0.

f(x)

f(a) = f(b)

b x

Док т льс о. По теореме Вейåðøтрасса (теорема 2 Ÿ 7 гла-

âû 2) 9m =

min

f(x) è 9M = m x

f(x).

x2[a;b

, то f(x) = onst на [a; b . Взяв произвольную точку

Åñëè m =6 M, òî ëèáî m < f(a)

либо f(a) < M. ассмотрим,

2 (a; b) ïî

ем требуемое утверждение.

9 2 [a; b :

например, случай m < f(a). По

определению

Ò îp ì 3.

(ТеоремаСледоваКошиòåëüсреднно,

Пусть ункции f и

( ) = m < f(a) = f(b).

2 (a;минимумаb) по теореме Ферма

( ) = 0.

непрерывны на [a; b и ди еренцируåìы на (a; b). Пусть 8x 2

2 (a; b) ,! g0

(x) =6 0. Тогда

= f

9 2 (a; b) :

( )

g(b) g(a)

Доказательство. Из

îëëÿ

8x 2 (a; b) ,!

f( )

f(x)

=!f(gx0()x)kg6=(0x)следует,, где коэ чтоициентg b) 6= g(опa)ределим.

изсловияу ункцию'(a) ='('x)(b=):

f(b) kg(b) = f(a) kg(a),теоремы. . k =

fg(b) gf(a) .

По теореме îëëÿ 9 2

(a; b) : '0

( ) ассмотрим= 0, . е. f0( ) kg0( ) = 0,

следовательно,

g0( ) = k = g(b) g(a) .

f(a

f( )

y = f(t)

еометрическая

н ерпретация те ремы Лагранж

состоит

â òîì, ÷òî äëÿ óíêöèè f

: [a; b

! R, ó

воряющей условиям

f(a

этой теоремы, íàйдется

òî÷êà

2 (a; b),довлекоторой

касательная

g(a)

g( )

g(b)

x = g(t)

гра ику f параллельна хорде.

: R ! R с непрерывной

Задача

. Существует ли ункция f

производной такая, что

f(x

) x

; f(x

) x

8Æ > 0 9x ; x

2 (0; Æ) :

ая интерпретация. Пусть

f : [a; b !

! R

g : [a; b ! R удовлетворяют условиям теор мы Коши о сред-

Задача 2. Пусть ункция f

ди еренцируема на интервале

нем. Построèì ãðà èê ïàðà

етрически заданнойункциикции x = g(t)

y = f(t), t 2 [a; b . Проведе

отрезок (хорду), с

точки

(a; b)

8x 2 (a; b) ,! f0

(x) 6= 0. Обязана ли ункция f0

сохраня

(g(a)åîì; f(aетрическ(g(b); f(b)). Тангенс угла наклона эт

единяющийхорды равен k =

çíàê íà (a; b)?

. Согласно теореме Êоши найдетс

òî÷êà 2 (a; b)

àêàÿ,

Следствие

из теоремы Лагранжа

среднем. (1)

ñòü

g(b) g(a))

äíîé óíê-

÷òî

( )

= k. Используя ормулу âычисления

непрерывна на отрезк

; x

+ Æ

ди еренциПуема

ò ÷ê

t =

ции, заданной параметрически (см. Ÿ 2), получаем,произвоч

нтервале (x0

; x0 + Ж). Пусть существует

пропределзво

справедливы

= k.

òельно, в точк

производной

(x0

+ 0).

Тогда существует

àункцияf0 (x

) è f0

) =

+ 0).

(g( ); f( ))

óãëà

касательной

ункции

è å

y(x) равен òàíã

ó óãëà

хорды. Таким образом, теорема

(2)

сть у кция f непрерывна на отрезкдносторонний[x Ж; x

ренци Пуема на

нтервале (x0

Коши утвержда

, ÷òî íà ãðà èê

ункции,Следоваз нной

раметриче-

Ж; x0). Пусть существует

ски, найдетсяравенстваточка, которойнаклонаасательная параллельнгра икухорде.

íèé ïðå åë

ïðîèзводной f0(x0

. Тогда существуетдносторонняядносторонняя

произвоäíàÿ f

)

0).

) = f (x

Теоpема 4. (Теорема Лагранж

о среднем.)

Пусть ункция f

UЖ(x0) и ди еренциру

Пусть ункцè

f непрерывна

на [a; b и ди еренцируема на (a; b). Тогда существует

). Пусть существует предел производной

lim

(x). Тогдема

непрерывнаточк 2 (a; b), для которой

ормула

прира-

(3)x

UÆ

(x0) è f0(x0) =

lim

x!x0

щений Лагранжа: f(b) f(a) = f0

( ) (b a).

существует производная f0

f0(x).

Доказательство состоитсправедливаприменении теоремыконечныхКоши среднем

x!x0

для ункций f(x) и g(x) = x.

Äîê

. Докаж

пункт

. Ïî

à î

среднем для любой fточки(x) f(xx)

2 (x ; x0

+(1)Æ

существует точкЛагранжx) 2

2 (x0; x) акая,т льстчто о

ореметрех

= f ( (x)). Ïî

ÿõ èìå

lim

(x) =x x .

я теоремутеоремезамене премен ых

x!x0+0

при пр дельном перех де дляИспользудностороннего предела, аналогичункциую

теоремå

3(a) Ÿ 6 ãëàâû 2, ï

лучаем

lim

( (x)) =

lim

( ) =

= f0(x

+ 0).

Следовательнî, существует

! 0+0

0(x

) =

lim

f(x

f(x0)

x!x0+0

lim

f0( x)) = f0

+ 0):

x!x0

x x

x!x0

Доказательство пункта (2) аналогично. Пункт (3) следует из пунктов

1), (2).

Пусть ункция f ди еренцируема на интервале

Ç ÷ 3.

(a; b . Может ли f

на (a; b) иметь

à)á

разрыв

ïåðâ

;

âòîðîãî ðîäà?

Ÿ 5.

Формул Т éëîð

Опp л ни . Пусть 9f(n)

x0) 2 R. Тогда

(k)

Pn(x) =

k(!x0) (x x0)k

Л мм 1. Пусть k 2 N, ' (x) =ост(x точнымx ) . Тогда

= f(x0) + f0(

0) (x

k=0

x0)2

+ ::: + f(n)(x0) (x x0)n

x0) + f

00(x0) (x

;

называется мно очл ном Т йлор ункции f в

êå x

(x) = f(x) P

(x) íàзываетсÿ

÷л ном в ормуле

Тейлора:

(k)

(!x0) (x x0)k + rn(x):

f(x) = k=0 f

k k s

(s)

(x) =

(k s)!

(x x0)

ïðè

2 f0; :::; kg;

1) 'k

s > k;

2) 'k(s)(x0) =

ïðè

;

Äîê2

'k00

(x) = k(k 1)(

'k0

(x) = s()x x0)

и так далее, при k s: '

(x) = k(k

:::(k (s

x )k s

x 1)k s.

(k1)

(x) = k! è '

1))(x) =

ëüñòs)!

9f(n)(x (1) 2

Л мм 2. Пусть

Тогда

8s 2 f0; :::; ng ,!

Пункт

(2)

следует из пунктСледовательно,.

= 0 ïðè s > k.

,! r(s)(x

) = 0.

Äîê ò ëüñò î. Заметиì, ÷òî!(s)

(s)

(k)(x0)

(s)

X f(k)(x0)

X f

Из леммы

1(б) следует, что ïðè s n:

'k (x):

x =

k=0

'k(x)

k=0

(s)

X f(k)(x0)

(x0) = f

(x0);

(x0) = k

k(!s)

а значит, rn

(x0) = f

(s)(x=0) Pn

(x0) = 0.

число л ит стро о

Îïp ë íè . Áóä ì

говорить, что

ì ó ÷èñë ìè x

è x,

åñëè x < < x

èëè x

< < x.

Òîp ì

ла Тейл ра с остаточным членом в орме

ïðè

x ! x :

f(x) = X f(Формуk) x0) x x )k

+ o((x x )n)

Пеано.)

Пусть 9f

n) x0) 2 R, òîãäà

k=0

Äîê ò ëü

о. Требуетñÿ äîêазать, что r

(x) = o((x x

ïðè x ! x0

, òî åñòü

x!x0

= 0;

(1)

' (x)

ãäå '

(x) = (x x

lim

)n. Поскольку 9f(n)

2 R, то существует окрест-

ность U

), в которой определена f(n 1), а значит, и f(k) при всех

Кошиk 2 f0о; :среднем: : ; n 1g8. xТак2

oкак(x r)nсуществует(x0) = , 'числоn(x0) =

,0лежащее, òî ïî òåîстрогоåìå

между x и x

, такое, что

rn(x )

r00

( 1

(x)

(x )

' ( )

Согласно леммаì

(n 1)

1, 2 è ååì rn(x0)

(x0) = 0, 'n(x0) =

= '(n 1)

) = 0.

Ïîý

ìó

по теореме Коши о среднем найдется

между

è x

à значит, ëåæащее строго

число

, ëåæàùåе строг

между x и x0), такое, 0чòî

r ( )

)

rn(x0)

r (

' (x)

(

)

(

)

' (x

)

' (

)

Продолжая эти рассуждениÿ, для любого x

) получаем

(x), лежащåå ñòðîãî между x è x

n 1

, такое, что

(

(n 1)

(x)

)

Òàê êàê r(n 1)(x

n 1

, òî

) = 0, '(n 1)(x) =

(n 1)

( n

(n 01)

(x0)

1) rn

(x)

n! (

)

n 1

Ïîñê

lim

n 1

(x) = x0

8x 2

(x0) ,! n 1(x) =6 x0

, òî ïî

теоремеолькузамåíå ïåðåìåííûõ

ïðè

предельном переходе (теорема 3(a)

x!x0

(n 1)

Ÿ 6 главы 2) èìååì

( n 1

(x0)

r ( )

x!x0

x!x0 'n(x)

n 1

(x)) x0

lim

(n 1)

( )

(n 1)

(x0)

lim

(n)

(x0) получаем

Отсюда по определеíèю производнîé rn

lim

(

)

(n)

(x0):

(2)

x!x0 ' (x)

изПосколькуÒ îp ìсогла(2).

следует(Формулано леммеравенство2Тейлорасправедливо(1).îñò равенствочленомrn(n)(x0)â = îðìå0, òî

равенстваПусть некотоðîé U (x )

ñóùåñòâóåò f

(n+1)

(x). Тогда 8x 2

(x )

9 , лежащее строго между x и

аточнымx , акое, что

Лагранж .)

UÆ

(k)(x

)

(

f(x) =

(x x0)k

(x x0)n+1

Äîê

k=0

(n+

1)!

. Пусть '

(x) = (x x

)n+1. Примен я n + 1

ðàç òåîð ìóò ëüñò î

среднем

используя

åììû 1, 2,

ÿ ëþáî-

x 2

n+1

; : : : ;

,длежащих

(x ) получаåì существование чиñåë

строго

междуКошиx x , и таких, что

n+1

UÆ

(

rn(x)

rn(

= '0

(n+1)

= =

n+1

'n+1(x)

(

)

n+1

(n+1)(x) = 0.

льку P ( ) многочлен степени n, то 8x 2 R ,!

Ïîñêотношение

2 R ,! '(n

(x) = (nn+

è îáîзначая =

получаем

rnn(x

(n+

n+1

1)( 1)!

След вательно, 8x 2 R ,! f

(x) = r

+1)(x . П этому, используя

f(x) Pn(x) = rn(x) =

(n+1)1)!

'n+1(x) =

(n+

1)!

(x x0)n+1

Èòàê,

'n+1(x

(n+ 1)!

(

1)( )

(

( )

Ò îp ì 3.

разложения по ормуле Тейлора.)

f((Единственностьx) = a x x )

+ o((x x ) ) =

Пусть 9f(n)(x0) 2 R

ïó

ïðè x ! x0

k=0

лораТ гдаДокс8остаk=2aòf0очным0льст;+:::;a1n(gxчленом.axÂk0=)ñèëó+âf(:::kk)(теоремы!+îðìåx0a) .n(xПеано,1x0справедлива)nследовательно,+ o((x x0 ормулаn):

Òåé-

+ a1

x0) + ::: + an(x x0)n + o((x x0)n) =

= f (x0) + f

0(x0)(x x0) + ::: + f

(n)(x0) (x x

+ o((x x0)n):

= f (x ).

Переходя к пределу при x ! x , получ

левой

правой частях одинаковые слагàåìûå a

и f (x ) Отбросивразделиâ

обе части полученного равенствà íà x x , получаем

)n 1) =

+ a

(x x

) + ::: + a

(x x

)n 10+ o((x x

f 0(x0) + f 00(x0) (x x0) + ::: + f (n)(x0) (x

0)n 1 + o((x x0)n 1):

x ! x0

íàõ äèì a1 =

Переходя в этом

венстве к пределу при

= f 0(x ). Продолжàя эти рассуждения по индукции, получаем ут-

верждение

теоремы.

) + a

(x x

) + a

(x x

)2 + o((x

З ч 1. Пусть f (x) = f (x

)2), x ! x

. Верно ли, что

(x0);

à)á 9f 00

(x )?

почленном ди еренцировании ормулы Тей-

Ò îp0 ì 4.

лора.) Пусть 9f

(Оx0) 2 R и пусть

(n)

(x) =

x0)k

+ o((x

0)n) при x ! x0. Тогда

P ak(x

ò ëüñò î.

По теореме 3

единственности разложения

k=0

f 0(x) =

x0)k 1 + o((x x0)n 1) ïðè x ! x0.

P akk(x

k=1

f(k)

(îx0)

Ò éë ðà) 8k 2 f0; :::; ng ,!

. В силу теоремы 1, приме-

íåннДокй к ункции g(x) = f 0

(x),

n 1

+ o((x x

)n 1) =

f 0(x) = X g(k)(x0) (x x

k=0

95 0

n 1

f (k+1)k!(x0)

(x x0)k + o((x x0)n 1)

n k1=0

(k + 1)(x x0)k + o((x x0)n 1) k==s 1

= k=0 ak+1

Xass(x x0)s 1 + o((x x0)n 1) s=k

s=1

+ o((x x0)n 1):

= k=1 akk(x x0)k 1

Ò îp ì 5. (Î

очленном интегрировании ормулы Тейлора.)

Пусть 9f

(n+1)(x0) è

пусть

. Тогда

(x) = k=0 bk(x x0)k + o((x x0)n) ïðè x ! x0

k+1

n+1

f (x) = f (x0) +

P bk

(x x0)

+ o((x x0)

) ïðè x ! x0.

k=0

k+1

оремы 4.

Док т льст о аналогично д казательству

Ÿ 6.

àçëîжение

основных элементарных

ункций по ормуле Тейлора

Из теоремы 1 Ÿ 5 при x0

= 0 следует

Åñëè 9f

(n)

2 R, òî

Т оp м 1. (Формула Маклорена.)

f (x) =

k!(0) xk

+ o(xn)

ïðè

x ! (0):

(k)

k=0

Л мм 1. Пусть f ди р нцируемая ункция. Тогда

1)2 åñëè f

òî f

íå

;

íåчетная,

òî f

четная ункция.

Äîê

четная,

ò. å.

Пусть

ò ëüñòx î

f 0

f(x

x) f(x)

f 0( x) =

f (x). Òàê

êàê

(x)

lim

, òî

x!0

f( x+ x) f( x)

силу ч тности f

f(x x) f(x)

t= x

lim

x!0

+ x!0

= lim f(x+t)t

f(x

= f

0(x). Èòàê, 8x ,! f0( x) = f0(x), ò. å.

нечетнаяt!0

ункция.

Äîказательство пункта 2 аналогично.

x ! :

f(x1)=

X f

(0) x2k

+ o(x2n+1);

(2n+1)(0).

Лемма 2.

Пусть ункция f

четная и пусть 9f

Тогда

(2k)!

(2n+2)

(0). Тогда

k=0

2) Пусть ункция f нечетная и пусть 9f

(2k+1)1)!

x2k+1 + o(x2n+2);

x 0! 0:

f(x) = k=0

X f

(0)

Доказательство. 1) Так как f(x) ч тная, то f (x) нечетная,

следовательно, f

(x)

è òàê

далее: 8k 2 N ,!

(2k)

(x)

f(2k 1)

= f

(0)четная, . .

f(2k 1)

= 0. По теореме 1 f(x) =

четная, f

(2k 1)

(x) íå÷å

. Òàê êàê f

(2k 1)

(x)

нечетные, то

= P

(2n+1

) ïðè

! 0, ãäå

(0)x) + o(x

(0)s

2n+1

P2n+1(x

2n+1

s!(0) xs

(s(0)

s=0

(s)

s=2k

k=0

s(0) xs

= s=0;2;4;:::;2n

(2k)!

x2k

s=0;2;4;:: 2n

(0)

s=1;3;5;:::;2n+1

(0)

2) Äîê

второго пункта аналогично.

(0) = e

Ýêñï

àçàненттельство. Если f(x) = e

, òî 8n 2 N

f0g ,! f

(n)

= 1, ñëåäîвательно,

+ o(xn) = 1 + x + x

+ x

+ ::: + xn

+ o(xn);

x ! 0:

= X xk

k=0

(2k

= sh x, f(2k+1)(x) = h x, следовательно, f

(2k)(0)

= 0, f(2k+1)(0) = 1,

иперболические ункции. Если f(x

= sh x, òî f

(x) =

(2xk xk++12n1)!+1+ o(x2n

sh x = kX=0

) =

= x +

+ ::: +

(2n + 1)!

+2n+2

);

x ! 0:

+ o(x

Аналогично,

X x2k

+ o(x2n+1) =

k=0

(2k)!

= 1 +

x2n

x ! 0:

+ 4! + ::: +

(2n)! + o(x2n+1);

sin x,

òî

óíêöèè. Åñëè

f(x)

= sinТригонометриче+ k = ( 1)kñê, слиедовательно,

sin( k)

f(2k+1)(0)

f(s)(x) =

sin x +

s ,

f(2k)(0)

x2k+1

sin x =

) =

( 1)k (2k + 1)! + o(x2n

k=0

x2n+1

+2n+2

Аналогично,3!

+ ::: + ( 1)

(2n +

1)!

+ o(x

);

x ! 0:

= x

x2k

os x = k=0( 1)k

(2k)! + o(x2n+1) =

(k)

+ ::: + ( 1)n

(2n)!

= 1 x

+ x

x2n

+ o(x2n+1);

x ! 0:

Степенная ункция. Е

è f(x) = (1 + x

, òî f

(x) =

1):::( (k

+ )

ñëåäîвателüíî, f

(0) = ( 1):::(

=1))(1;

( 1):::( (k

1))

;

k 2 N:

(k 1)). Обозначим

Тогда

98 k!

последней ормулы:

Отметим важный(1 +частныйx) = kXслучай=0 C

1 + x = k=0( 1)

+ o(x ); x ! 0:

n 1

Логари м. Ес и f(x) = ln(1+x), то f0(x) =

P( 1)kxk +

1+x

k=0

гровании ормуëûñëåäÒейлора,овательно,учетом l

= 0, ïîлучаем

+ o(x

);

x ! 0,

по теореме 5 Ÿ 5

почленном инте-

f(x) =

X( 1)k xk+1

+ o(xn) = X(1) 1)k 1 xk

+ o(xn) =

n 1

k + 1

k=0

xnk=1

= x

2 + ::: + ( 1)n 1

+ o(xn);

x ! 0:

1+x2 =

Аpктангенс. Если f(x)

ar tg x,

òî f0(x)

x ! 0, ñëåä â

ïî òåîðåìå î

= P( 1)kx2k + o(x2n+1);

членном интегрировании ормулы Тейлîðàтельно,с учетом ar tg 0 = 0,

k=0

ïîлучаем

( 1)kx2k+1

+ o(x2n+2) =

ar tg x = k=0

2k +

= x x3 + ::: +

( 1)nx2n+1 + o(x2n+2);

x ! 0:

2n + 1

ть ункцию f(x)

окрест

Замечание. Если

буется разлî

íîé: t = x x

затем

ïðåæäå

òü óíêöèþ

'(t) = f(x

+ t) ïî îð-

муле Маклорена в окрестнразлости

точки t = 0, после чего

вернуться к

сти точки

=6 0 òî

всего óæíî

сделать замену перемен

исходным переменным, подставив t = x x .

Пpимеp. азложить ln x по ормуле Тейлора в окрестности точ-

êè x0

, x0

> 0.

ешение. ln x

t=x 0

ln(x

+ t = ln(x

(1 + t=x

)) = ln x

(1 +

;

+ t=x0). Òàê êàê ln(1 + x) = kP=1( 1)k+1 xkk

+ o xn

! 0, òî ln

k+1

= ln x0

k=1

( 1)k

+ o(tn) = ln x0 +

k=1

( 1)

k(x x0)

+ o((x

x0 k

x0)n); x ! x0.

k+1

( 1)

Заметим, что разложение ln x = ln(1+(x 1)) = k=1

k(x 1)

+ o((x 1)n)

ïðè x

=6 1 не является решением данной задачи, так

êàê x 1 6!0

! x0

Пpимеp. азложитü ïî ормуле Маклорена до o(x

. Òàêóíкциюак

ãäå

=2 + o(x

y(x) ! 0 ïðè x ! 0, òî

= y(x)

+ y2

(x) + o(y2

(x))

ïðè

tg x.

sin

sin x = x

);

åøåíèå. tg x =

os x . Ïðè x ! 0:

+ o(x

y(x)

os x

1 x =2+o(x )

y(x)

! 0. Следовательно, os x

= 1 ( x =2

) + ( x

2 + o(x ))

(( x

))

=2 + o(

), поэтому tg x

= (x

=2 + o(x

) = 1+1+ x

))(1 +

)) = x

)

= x +

+o(x

+ o(x

+o(x

+ o(x

Ïpèìеp. Найти lim

sin

sh x

tg x = x+

sin x

ешение. Так как при x ! 0:

=3+o(x

x x3=6+o(x4),

sh x = x+x3=6+o(x4), òî

=3+o(x4)

sin x sh x

)

1+o(x)

=3+o(x

tg x x

= 1+o(x)

= 1 + o(1), следовательно, lim

sin x shx

= 1.

Ÿ 7.

Ïð èëî

ëÿx!0

и g(x) ди еренцируемы Лопитна íтервале (a; b),

Òåîpåìà 1.

îñòü

äà

Пусть ункции f(x)

lim

f(x) = (Неопределен0; lim g x) = 0

8x 2 (a; b) ,! g (x) =6 0:

x!a+0

Пусть

lim

= C 2

[f1g:

Тогда существует

x!a+0 g0(x)

100

полагаяДок f(

ò) =ëüñòg(a) î=x.

!0lim.a+0Òîпредгдаfg(x) =óíêx!limöèèa+0óífêöèèfg0(xg) :будутf(x) инепреg(x) ðûâточкены наa,

[a; b). По теореме КошиДосреднåëèì

8x 2 (a; b) 9 = (x) 2 (a; x) :

( )

Òàê êàê

lim

g(x)

g(x) g(a)

(x) = a и (x) =6 a, то по теореме о заìåíå ïåðå-

x!a+0

x!a+0 g0( (x))

!a+0 g0( )

= C,

менной при предельном переходе

lim

следовательно,луче (A; +1)

lim

g(x)

= C.

lim

g(x) =ди0 еренциру

lim

f(x) = 0;

x!a+0

åìû íà

Сл ст и 1. Пусть ункции f(x) и g(x)

x!+1

(x) =6 0:

Пусть

8x 2 (A; +1) ,! g0

lim

= C 2 R

[f1g:

Тогда существует

x!+1 g0(x)

lim

x!+

g(x)

x!+1 g0(x)

ðàññìотрим

Äîê ò ëüñò î.

Введем перем нную t =

Тогда ункциè f1

è g1 äè åðåнцируåìû íà

интерâàëå

. Çà-

= maxfA; 1g.

ункции f (t) = f(1=t), g (t) = g(1 t). Определим A

метим, что

lim

(t) =

lim f(x) =

lim

g1(t) = 0,

t!+0

x!+1

f0(1=t)

t!+0

g0(1=t)

8t 2

(t) =

;

=6 0;

0; A

,! f1

g1(t) =

t!+0 g0

(t)

t!+0 g0(1=t)

x!+1 g0(x)

= C:

lim1 f0

lim f

101

lim

Поэтомуlim fg(x)по= теоремеC

1 существует

t!lim

(t)

= C, . å.

существует

x!+Àí1

àëîгично можно с ормулировать теорему для раскрытия

Ò îp ì 2.

âèäà

1 .

0Пусть ункции

f(x)

неопре еленности вида

ïðè x ! b +0, x ! x

è ïðè x ! 1.

è g(x)

ди еренцируемû на интервале (a; b),

(Неопределx!a+0åíígîñòüx)

g(x) = 1 è

lim

) = 1;

lim

x!a+0

Пусть

8x 2 a; b) ,! g (x) =6 0:

lim

= C 2 R:

Тогда существует

lim

(x)

x!a+0 g(x)

x!a+0 g

Док т льст о. За иксируем проèçâîльное " > 0. Òàê êàê

lim

= C, òî

C <

(1)

x!a+0 g0(x)

9a"

2 (a; b) : 8 2 (a; a") ,!

( )

В илу теоремы Коши

среднем для любого x 2 (a; a ) существует

÷èñло 2 (x; a") такое,

÷òî

x) g(a")

g0( ) . Для любого x 2 (a; a")

(2)

обозначим

8x 2 (a; a(1) ,!

jH(x) Cj <

H(x

= f

Тогда в силу соотношения

g(x) g(a )

имеем

Покажем, что

lim

H(x)

= 0:

(3)

g(x)

x!a+0

102

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 165 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015220.39 Кб13Задачи к курсу.Колачевский.pdf
#
03.06.201581.11 Кб8задачи.pdf
#
03.06.2015103.27 Кб40Занимательная биология.pdf
#
20.09.2019218.8 Кб2записка-пояснительная Иноземцев.docx
#
03.06.20151.17 Mб40Золотое сечение.pdf
#
03.06.20152.95 Mб28Иванов Матан.pdf
#
03.06.20152.08 Mб254Иванова. Построение графиков функции.pdf
#
03.06.201580.38 Кб12Из диалогов Платона - Диалектика Сократа.doc
#
03.06.20151.9 Mб8Изоспин.pdf
#
03.06.2015756.54 Кб24Инерциальная навигация.pdf
#
03.06.2015827.15 Кб28информатика теория.pdf