Иванов Матан

n

ÿä kP=1 qk

сходитсяSn = kP=1.qk = q 11 qqn n!1 1q q . Следовательно, при jqj < 1

Ë ìì 1.

(Принцип

окализации.) Для любого k0

2 N

ÿäû

Äîêò ëüñòî.

Для любого натурального n > k

справедли-

k=1

è

1

ak

õ äÿòñ

èëè расх дятся дновременно.

k=k0

P ak

P

0

во равенство

n

k0 1

n

Xak =

X ak

+ X ak:

k=1

k=1

k=k0

емое утверждение.

Переходя к пределу при n ! 1, получаем

Л мм 2. (Свойство

.) Если требуяды

P a

k

P b

k

ñõî-

P

k=1

k=1

дятся, то для любых чиселлинейностиряд k=1( ak

+ bk) сходится.

Доказать самостоятельно.

k

k=1

k

P

k=1

сходится, а ряд

расходится,

Ñë ñò è . Åñëè ðÿä

P a

P b

òî ðÿä k=1(ak

+ bk) расходится.

членами

Ÿ 2.

ÿäû

ñ

членами.) Если ak 0

неотрицательными8k 2 N,димостито димость яда

P ak

эквива-

Т оp м 1. (Критерий

õ

яда с неотрицательными

лентна ограниченности его частичныõ ñóìì:

sup S

< +1.

Док т льст о. Поскольку

n2N

n

k=1

части

õ

ïðå åë

lim S

= sup S . ÿä

òîã

P a последовательностьх дится тогдаили

сумм нестрого возрастает, то сущ ствует коне

é

áåñê

÷íûé

когда

существует конечный предел его частичных сумм,тольк. оне. когда,

sup S

n!1

n

n2N

n

k=1

k

n

< +1.

n2N

243

2 NÒ, ò p õì 2.

ÿäàпризнакP bk следуетсравненияхо .) Åñëè 0ðÿäàak P bak;8k 2

k=1

k=1

P

P

а)б из расхдимости(Первыйяда k=1 ak следует расхдимостьдимость ряда k=1 bk.

Äîê ò ëüñò î.

а) Из неравенства a

k

b

k

следует неравен-

ñòâî

n

n

:

sup Xa

k

sup Xb

k

n2N k=1

n2N k=1

n2N k=1

k

ðÿä

=1

ходится,

òî

n

k

< +1, поэтому

k=1

Åñëè

P b

sup

P b

sup P a

< +1 è â ñèëó

1 ðÿä

P a

k

сходится.

n

k

k

n2N k

ðÿä

P ak расхтеоремыдится, то согласно пункту (а) ряд

P bk

á)

k=1

k=1

не можетЕслиходиться.

÷òî

ñ íåîò

р цательными

.

Будем говор

àìè fa g

и fb g экпоследовательностии л нтны мысл схо-

è

Опp рялони п сать a

bòü,

если существуют числа m > 0,

Mмости> 0 k 2 Nэлементакèå, ÷òî k

k

k

k

0

m b

a

ñõ.

8k k

:

Ò

k

k

M b

k

0

:

8k k

,!

3. (Второй признак сравнения.) Пусть 9k

0

0

,! ak

0; bk

0 è ak

bk. Тогда яды k=1 ak

и k=1 bk сходятся

Äîê

õ.

P

P

состоит в применении первого признака срав-

или расхоp дятсям

дновременно.

нения и принципат льст окализации.

признак.) Пусть на луче [1; +1)

Ò îp ì 4.

задана

(Интегральныйункция f x). Тогда

ÿä

k=1 f(k)

и интеграл

R1

f(x)монотоннаяdx сх дятс

P

или расходятся одновременно.

+1

244

+1

ешение

f(x) = x1

монотонна. Поскольку интегрàë

сходится при > 1

расходится при 1, то

ÿä P

1

R

k=1

k

dx

ñõî1 äèтся при Функция> 1 р сх дится при .

Задача 1.

Пусть

на луче [1; +1) задана непрерывная ункция

f(x). Верно ли, что из сх

димостè

яда k=1 f(k) следует сходимость

P

Òåîpåìà 5.

Äàëàмбера.) Пусть ak > 0 8k 2 N. Òîãäà

+1

q

1

сходится;

ak

8k k , то (Признакяд P a0

2 (0; 1)

такие, что

а) если существуют k

k

2 N

q

ak+1

0

=1

ak+1

P

á) åñëè 9k0 : 8k k0

,!

ak

1, òî ðÿä

k=1

ak

расходится.

Äîê

.

a)

ëåãê

ïîê

÷òî a

ak0

qk k0

8k k0.

Поскольку,индукцииак

показано в

èçkŸ 1,

ÿä

k=1

qазательствох дится при q 2 (0; 1), то ряд

1

ak0

q

азать,примереакж сходит-

k=k0

P

k

P

k k0

ÿ ðÿä

P a .k=k0

принципа локализациисравнениях

k

ñÿ

ïî ïðèçíàêó

ходится ряд

1

P a . А значит, в силу

ak+1

ñëåäовательно,

k=1

k

расх дится.

Следова-

тельно,сх димостиkряда, и,

ÿä

P ak

á) Åñëè

a

k

1 ïðè k k0

, òî ak

ak0

ïðè k k0

a 6!0 (k ! 1), дитс. . не выполняется необходимое условие

Следствие. (Признак Даламбера

k=1

a

в предельной орме.) Пусть

k

> 0 8k 2 N è lim

ak+1

= q, тогда

á

<

k!1

ak

ходится;

ÿ;

>

k=1

k

расхо

246

à)â

ïðè q = 1 ðÿä

P a

можетдитсходиться, а может и расходиться.

Следовательно,q <Докq0 < 1.тПольствопределениюсилуо. а) Опредпредела5(а)лимрядq90 k=0kP=1q:+128ak.

Ïîñê>õ käèòñ0ольку,!я.

aakq+1k<

1, qòî0.

á) Ïî

предела 9k0

: 8k > k0

,!

ak+1

1. Â ñèëó

теоремы 5(б)определеяд Píèюa теоремырасх дится.

ak

k

k

a

k+1

k

в) Пусть ak

=

=1

lim

=

lim

= 1

8 2 R.

k

. Тогда

ak

k+1

Однако, как показано

k!1

k!1

нее, при > 1 данный ряд сходится, а при

1 расходится.

.) Пусть ak > 0 8k 2 N. Тогда

Ò îp ì 6.

а) если существуют k0

2 N

q

2 (0; 1)

òàêèå, ÷òî

p

ak

k

q

8k k

P

Êîñõøèäèòñÿ;

, то (Признакяд a

P

0

=1

k

p

á) åñëè 9k0

: 8k

k0 ,!

k

ak

1, òî

ÿä

k=1

ak расх дится.

Äîê ò ëüñò î. a)

p

q

, òî a

qk

8k

k

a

k

8k k

k

k

0

õ äè-

. В силу признака сравнен я и

локализации из

0

P

q

k

следуетЕслих д

P

a .

мости ряда

k=1

принципаяда

k=1

á) Åñëè

p

1 ïðè k k

, òî a

1 ïðè k k

,

значит, не

k

a

k

k

0

0

следоваòåëü-

выполняется необ

мое условиемостьх димости ряда, и,

íî, ðÿä P a

k

ðàñходится.

k=1

. (Признак К ши в предельной орме.) Пусть ak > 0

p

k

ak = q, тогда

8k 2ÑëN ñòlimè

k!1

ходится;

á

<

ÿ.

ïðè q

>

1 ðÿä

P a

расхо

может

ходиться.

à)â

=

можетдитсходиться,

k=1

k

Доказательство аналогично доказательству признакрасДаламбера

в предельной орме.

247

k=1

k

ко тогда, когда выполняется условие Коши:

n+p

8" > 0 9N 2 N : 8n N 8p 2 N ,!

":

X ak

k=n+1

Док т льст о. По определению ряд

P

сходится, если

k=1 ak

лу критерияпоследовательнКоши для îñледовательностейсуммх

n

последова-

õ äèòñ

ть час ичных

Sn

=

P ak. Â ñè

тельности fS g эквива

нтна ее ндаментальности:

8" > 0 9N 2

S

S

=

P

a

следует требуемое утверждение.

n

n+p

яд k=1 ak называется со

,

Îïp ë íè .

n+

n

k=n+1

k

P

являетсхо абсолютноя, то он хсходитсдящимсящимся.

Ò îp ì 2.

Åñëè ðÿä

åñëè

k=1

k=1

назыв ется усло но