- •Методы оптимизации. Ответы на вопросы.
- •Конечномерные экстремальные задачи без ограничений.
- •Конечномерные экстремальные задачи с ограничениями.
- •Свойства выпуклых множеств.
- •Выпуклые оболочки.
- •Проекция точки на множество.
- •Отделимость выпуклых множеств.
- •Свойства выпуклых функций.
- •Критерии выпуклости функций.
- •Минимум выпуклой функции.
- •Функция Лагранжа и седловая точка.
- •Теорема Куна-Таккера.
- •Связь между основной и двойственной задачами.
- •Условия сходимости градиентных методов.
- •Условия сходимости метода Ньютона.
- •Условие сходимости метода штрафных функций.
- •Условие сходимости методов возможных направлений
- •Вариация функционала
- •Доказательство.
- •Простейшая задача вариационного исчисления.
- •Доказательство.
- •Уравнение Эйлера-Лагранжа
- •Условия Лежандра и Якоби
- •Доказательство.
- •Постановка вариационной задачи с подвижными границами.
- •Доказательство:
- •Задача Больца
- •Изопериметрическая задача.
- •Задача Лагранжа
- •Метод Ритца
- •Общая постановка задачи оптимального управления.
- •Достаточное условие существования решения задачи оптимального управления.
- •Принцип максимума л. С. Понтрягина. Необходимые условия.
- •Принцип Эйлера-Лагранжа и оптимальное управление
- •Необходимые условия в задаче теории оптимального управления
- •Принцип максимума Понтрягина для простейшей задачи оптимального управления
- •Задача линейного быстродействия.
- •Достаточные условия оптимальности в задаче линейного быстродействия.
- •Фундаментальная матрица и формула Коши.
- •Принцип Крейна.
-
Вариация функционала
-
Опр.1 Отображение некоторого множества в множество действительных чисел называется функционалом, определенным на этом множестве.
-
Замечание Функционал – обобщение понятия функции.
-
Обозначают: - функционал; - область определения; - значение функционала на элементе .
-
Опр.2 Функционал достигает на , если . Обозначают: . Вариационное исчисление изучает общие методы решения экстремальных задач, связанных с функционалами, определенными на множестве функций.
-
Определим (линейное пространство над полем действительных чисел) функцию .
-
Опр.3 Если дифференцируема раз () в точке , то говорят, что функционал дифференцируем раз в точке вдоль направления , а производную называют вариацией функционала в вдоль и обозначают . Если дифференцируем раз в вдоль , то говорят, что имеет вариацию порядка в точке .
-
Если линейное нормированное пространство, то для можно ввести понятие локального экстремума:
-
Опр.4 называется точкой локального минимума функционала , если окрестность точки , что .
-
Опр.5 Если имеет первую вариацию в и , то - стационарная точка функционала .
-
Опр.6 Если имеет вторую вариацию в и , то вариация функционала положительна в .
-
Теорема 1. (необходимое условие локального экстремума): Если точка - локальный минимум функционала , то:
-
если имеет первую вариацию в , то - стационарная точка ;
-
если имеет вторую вариацию в , то она положительна.
-
Доказательство.
-
Рассмотрим Выбором малого можно добиться, чтобы находился в сколь угодно малой окрестности . Тогда (опр.4) справедливо Если выполнено 1), то дифференцируема в , а если выполнено 2), то дважды дифференцируема в (по свойствам локального минимума функции ) т.к. произвольно и из предыдущего соотношения следует доказательство теоремы. ч.т.д.
-
Простейшая задача вариационного исчисления.