- •Методы оптимизации. Ответы на вопросы.
- •Конечномерные экстремальные задачи без ограничений.
- •Конечномерные экстремальные задачи с ограничениями.
- •Свойства выпуклых множеств.
- •Выпуклые оболочки.
- •Проекция точки на множество.
- •Отделимость выпуклых множеств.
- •Свойства выпуклых функций.
- •Критерии выпуклости функций.
- •Минимум выпуклой функции.
- •Функция Лагранжа и седловая точка.
- •Теорема Куна-Таккера.
- •Связь между основной и двойственной задачами.
- •Условия сходимости градиентных методов.
- •Условия сходимости метода Ньютона.
- •Условие сходимости метода штрафных функций.
- •Условие сходимости методов возможных направлений
- •Вариация функционала
- •Доказательство.
- •Простейшая задача вариационного исчисления.
- •Доказательство.
- •Уравнение Эйлера-Лагранжа
- •Условия Лежандра и Якоби
- •Доказательство.
- •Постановка вариационной задачи с подвижными границами.
- •Доказательство:
- •Задача Больца
- •Изопериметрическая задача.
- •Задача Лагранжа
- •Метод Ритца
- •Общая постановка задачи оптимального управления.
- •Достаточное условие существования решения задачи оптимального управления.
- •Принцип максимума л. С. Понтрягина. Необходимые условия.
- •Принцип Эйлера-Лагранжа и оптимальное управление
- •Необходимые условия в задаче теории оптимального управления
- •Принцип максимума Понтрягина для простейшей задачи оптимального управления
- •Задача линейного быстродействия.
- •Достаточные условия оптимальности в задаче линейного быстродействия.
- •Фундаментальная матрица и формула Коши.
- •Принцип Крейна.
-
Фундаментальная матрица и формула Коши.
-
Рассмотрим однородное к уравнению (*) п.17.1 уравнение , (1).
-
Пусть система линейно независимых векторов-решений уравнения (1). Тогда матрица является неособой на и имеет обратную Матрицу назовем фундаментальной матрицей Коши. Отметим ряд ее свойств:
-
1) 2) 3) , т.е. столбцы являются линейной комбинацией столбцов Z(t) и являются решением для (1); 4)
-
Пусть - некоторое уравнение и отвечающее ему движение линейного управляемого фундаментального объекта ((*)п.17.1).
-
Теорема1 (Формула Коши). Справедливо равенство
-
(2)
-
Доказательство. Надо доказать два равенства:
-
.
-
Первое следует непосредственно из свойства 1) фундаментальной матрицы Коши, а второе доказывается путем непосредственного дифференцирования правой части равенства (2) по аргументу t:
-
.
-
Принцип Крейна.
-
Рассмотрим управляемую систему, движение которой описывается уравнением (*) п.17.1. Требуется перевести систему за время из состояния в так, чтобы в выполнялось x(t)=x(T) и имел место расход усилий на управление в количестве . Решение неоднозначного уравнения может быть записано как сумма общего решения однородного и частного неоднородного. Оно может быть записано в виде:
-
и при t=T
-
, или где , - фундаментальная матрица Коши. Исходная задача уравнения системой свелась к изопериметрической задаче вариационного исчисления: Найти вектор-функцию обеспечивающую при ограничениях Принцип относительности ее решения формулируется теоремой:
-
Теорема1 (Крейна). В пространстве U существует линейный функционал F(u), для которого выполняется условие и который имеет минимальную норму при условии для любых компонент вектора .
-
Доказано, что если в качестве критериального функционала принимается величина то оптимальная операция, выражающейся минимальной функцией удовлетворяет условию и тогда , где - множитель Лагранжа, - вектор-столбец.
-
Замечание. Математическое содержание задачи представляет собой известную проблему моментов.
-