- •Методы оптимизации. Ответы на вопросы.
- •Конечномерные экстремальные задачи без ограничений.
- •Конечномерные экстремальные задачи с ограничениями.
- •Свойства выпуклых множеств.
- •Выпуклые оболочки.
- •Проекция точки на множество.
- •Отделимость выпуклых множеств.
- •Свойства выпуклых функций.
- •Критерии выпуклости функций.
- •Минимум выпуклой функции.
- •Функция Лагранжа и седловая точка.
- •Теорема Куна-Таккера.
- •Связь между основной и двойственной задачами.
- •Условия сходимости градиентных методов.
- •Условия сходимости метода Ньютона.
- •Условие сходимости метода штрафных функций.
- •Условие сходимости методов возможных направлений
- •Вариация функционала
- •Доказательство.
- •Простейшая задача вариационного исчисления.
- •Доказательство.
- •Уравнение Эйлера-Лагранжа
- •Условия Лежандра и Якоби
- •Доказательство.
- •Постановка вариационной задачи с подвижными границами.
- •Доказательство:
- •Задача Больца
- •Изопериметрическая задача.
- •Задача Лагранжа
- •Метод Ритца
- •Общая постановка задачи оптимального управления.
- •Достаточное условие существования решения задачи оптимального управления.
- •Принцип максимума л. С. Понтрягина. Необходимые условия.
- •Принцип Эйлера-Лагранжа и оптимальное управление
- •Необходимые условия в задаче теории оптимального управления
- •Принцип максимума Понтрягина для простейшей задачи оптимального управления
- •Задача линейного быстродействия.
- •Достаточные условия оптимальности в задаче линейного быстродействия.
- •Фундаментальная матрица и формула Коши.
- •Принцип Крейна.
-
Задача линейного быстродействия.
-
В линейных задачах Теории оптимального уравнения дифференциальное уравнение принимает вид (*), где A(t) – где квадратная матрица , B(t) – матрица, W(t) – вектор , а функции непрерывна по t. К уравнению (*) можно перейти непосредственно моделируя реальный динамический объект, а также в результате линеаризации дифференциальных уравнений его движения, когда исходная модель не линейна.
-
Линейную задачу теории оптимального уравнения называют задачей линейного быстродействия, если
-
уравнение (*) однородно, т.е. W(t)=0, а A и B – постоянные;
-
минимизируемый функционал имеет форму Лагранжа при ;
-
начальный момент фиксирован;
-
конечный момент не фиксирован;
-
левый и правый концы траектории закреплены, т.е. , ;
-
фазовые ограничения отсутствуют, ;
-
область изменения управляющих параметров имеет вид:
-
, ограничена, содержит в себе точку O, которая не является для нее угловой; U – выпуклый ограниченный многогранник.
-
Опр.1 Подпространство называется инвариантным относительно линейного преобразования , если Оно называется собственным, если не совпадает со всем .
-
Замечание: принадлежит инвариантному подпространству относительно линейного преобразования A в том и только том случае, если - линейно зависимы.
-
Опр.2 В задаче линейного быстродействия выполнено условие общности положения, если для любого вектора w, параллельно какому-либо ребру U, вектор Bw не принадлежит никакому собственному инвариантному подпространству относительно линейного преобразования A, т.е. линейно независимы.
-
Для задачи линейного быстродействия дифференциальное уравнение движения имеет вид (1), минимизируемый функционал , функция Гамильтона-Понтрягина при . (2) и система сопряженных уравнений (3).
-
Лемма1. Пусть уравнение на - порожденное им движение и - решение сопряженного уравнения (3). Тогда (4)
-
Лемма2. Пусть - нетривиальное решение уравнения (3). Для того, чтобы вектор принадлежал собственному инвариантному относительно преобразования A подпространству, достаточно выполнения равенства при некотором .
-
Достаточные условия оптимальности в задаче линейного быстродействия.
-
Теорема1 (достаточное условие оптимальности). Пусть в задаче линейного быстродействия выполнены условия общности положения, и пара удовлетворяет условиям принципа максимума при Тогда - минимально возможное время перевода фазового вектора из начального положения в начало координат, - оптимальное управление, - оптимальная траектория.
-
Доказательство. От противного приходим к существованию управления , , приводящего фазовый вектор из в в начало координат в
-
Пусть (5)
-
Тогда (6)
-
Из принципа максимума следует
-
(7).
-
Из (6) (8)
-
Из леммы 1 и (8):
-
(9)
-
Из (7) и (9) (10) С другой стороны т.к. , то справедливо неравенство (11)
-
и поэтому (12) Из (10) и (12) =0. Но из (12) а из (11) Обозначим грань наименьшей размерности многоугольника U, которая содержит начало координат. либо совпадает с U, либо является гранью U, но во всяком случая, размерность не меньше 1, т.к. начало координат не вершина U, а внутренняя для . линейная функция , определяемая формулой , , достигает максимального значения 0 во внутренней точке (начале координат), и поэтому постоянна на В частности, если - концы какого либо ребра грани , то Следовательно, для вектора направленному по ребру многогранника U, Из леммы 2 следует, что вектор Bu принадлежит собственному инвариантному относительно преобразования A подпространству, а это противоречит условию общности положения. Итак, предположение приводит к противоречию.
-
Теорема 2 позволяет выяснит структуру оптимального управления в задаче линейного быстродействия.
-
Теорема2 (о числе переключений). Пусть в задаче линейного быстродействия включено условие общности положения. Тогда для любого нетривиального решения сопряженной системы дифференциальных уравнений (3) на промежутке функция , найденная из условия , (13)
-
кусочно-постоянная и ее значения являются вершинами U.
-
Замечание. Из теоремы 2 следует, что число переключений конечно, но произвольно. При дополнительных предположениях число переключений допускает точную оценку.
-
Теорема3 (А.А. Фельдбаума). Пусть в задаче линейного быстродействия множество и все собственные значения матрицы A действительны. Тогда для всякого нетривиального решения сопряженной системы дифференциальных уравнений (3) каждая компонента вектор-функции , найденная из условия (13), кусочно-постоянная; принимает только значения и имеет не более n-1 переключений, где n-размерность фазового вектора.