- •Методы оптимизации. Ответы на вопросы.
- •Конечномерные экстремальные задачи без ограничений.
- •Конечномерные экстремальные задачи с ограничениями.
- •Свойства выпуклых множеств.
- •Выпуклые оболочки.
- •Проекция точки на множество.
- •Отделимость выпуклых множеств.
- •Свойства выпуклых функций.
- •Критерии выпуклости функций.
- •Минимум выпуклой функции.
- •Функция Лагранжа и седловая точка.
- •Теорема Куна-Таккера.
- •Связь между основной и двойственной задачами.
- •Условия сходимости градиентных методов.
- •Условия сходимости метода Ньютона.
- •Условие сходимости метода штрафных функций.
- •Условие сходимости методов возможных направлений
- •Вариация функционала
- •Доказательство.
- •Простейшая задача вариационного исчисления.
- •Доказательство.
- •Уравнение Эйлера-Лагранжа
- •Условия Лежандра и Якоби
- •Доказательство.
- •Постановка вариационной задачи с подвижными границами.
- •Доказательство:
- •Задача Больца
- •Изопериметрическая задача.
- •Задача Лагранжа
- •Метод Ритца
- •Общая постановка задачи оптимального управления.
- •Достаточное условие существования решения задачи оптимального управления.
- •Принцип максимума л. С. Понтрягина. Необходимые условия.
- •Принцип Эйлера-Лагранжа и оптимальное управление
- •Необходимые условия в задаче теории оптимального управления
- •Принцип максимума Понтрягина для простейшей задачи оптимального управления
- •Задача линейного быстродействия.
- •Достаточные условия оптимальности в задаче линейного быстродействия.
- •Фундаментальная матрица и формула Коши.
- •Принцип Крейна.
-
Общая постановка задачи оптимального управления.
-
В задачах оптимального управления характерно наличие динамического объекта (меняющегося во времени).Положение его характеризуется в каждый момент времени фазовым вектором . Предполагается, что вектором управляющих параметров можно управлять (влиять) на движение объекта. Зависимость от отличается для различных объектов и может описываться, например, системой дифференциальных уравнений
-
, где (1) описывает внутреннее устройство объекта и воздействие внешних факторов. Обычно предполагается, что (2) в каждый момент времени, - текущее время, - заданное множество. Кроме (2) на могут быть наложены ограничения на зависимость от времени. Обычно - замкнуто. Таким образом определяется класс допустимых уравнений: гладкие, непрерывные, кусочно-непрерывные, и т.д. функции.
-
Предполагается, что задан начальный момент и множество - допустимых начальных состояний объекта, и желательно так им управлять, чтобы в конечный момент объект перешел на некоторое множество заданных допустимых конечных состояний. Считаем, что допустимое управление переводит объект из в на отрезке времени , если соответствующее этому управлению фазовое состояние объекта удовлетворяет условиям . (3)
-
Замечание. может быть не фиксированным, а определяться из условия попадание вектора на .
-
Обычно предполагается, что каждому допустимому управлению , заданному на и соответствующей ему траектории объекта сопоставлено некоторое число , оценивающее качество пары ,, т.е. задан некоторый функционал, или критерий, качества , имеющий, например, вид (4)
-
Замечание. Из в управляемый объект часто можно привести различными способами и желательно выбрать лучший в некотором смысле переход.
-
Задачу оптимального управления можно сформулировать так: среди допустимых управлений выбрать такое и соответствующую ему траекторию объекта , переводящую объект из множества начальных состояний на множество конечных состояний , что при этом функционал качества принимает минимальное значение, т.е. , где минимум берется по всевозможным допустимым управлениям и соответствующим траекториям , переводящим объект из на .
-
Достаточное условие существования решения задачи оптимального управления.
-
Сформулируем достаточные условия существования решения задачи оптимального управления следующего вида:
-
,
-
.
-
Относительно данных сделаем предположения:
-
1) - компактно;
-
2) мн-во компактно;
-
3) множество выпукло для всех ;
-
4) существует константа , для которой справедливо неравенство .
-
Класс допустимых уравнений отождествляется с функциями, интегрируемыми по Лебегу на интервале управления.
-
Теорема 1. Пусть выполнены предположения 1) - 4) и множество . Тогда существует четверка , на которой функционал достигает минимума.
-
Замечание 1. В теории оптимального управления часто применяют следующие обозначения. Если некоторая функция, то ее значение в точке , а - сама функция, как элемент функционального пространства.
-
Замечание 2. Если функционал качества управления имеет вид , где . Первое слагаемое называется интегральным, а второе терминальным, а сам функционал – функционалом Больца. Если , то получаем функционал Майера, а в случае - функционал Лагранжа.