- •Методы оптимизации. Ответы на вопросы.
- •Конечномерные экстремальные задачи без ограничений.
- •Конечномерные экстремальные задачи с ограничениями.
- •Свойства выпуклых множеств.
- •Выпуклые оболочки.
- •Проекция точки на множество.
- •Отделимость выпуклых множеств.
- •Свойства выпуклых функций.
- •Критерии выпуклости функций.
- •Минимум выпуклой функции.
- •Функция Лагранжа и седловая точка.
- •Теорема Куна-Таккера.
- •Связь между основной и двойственной задачами.
- •Условия сходимости градиентных методов.
- •Условия сходимости метода Ньютона.
- •Условие сходимости метода штрафных функций.
- •Условие сходимости методов возможных направлений
- •Вариация функционала
- •Доказательство.
- •Простейшая задача вариационного исчисления.
- •Доказательство.
- •Уравнение Эйлера-Лагранжа
- •Условия Лежандра и Якоби
- •Доказательство.
- •Постановка вариационной задачи с подвижными границами.
- •Доказательство:
- •Задача Больца
- •Изопериметрическая задача.
- •Задача Лагранжа
- •Метод Ритца
- •Общая постановка задачи оптимального управления.
- •Достаточное условие существования решения задачи оптимального управления.
- •Принцип максимума л. С. Понтрягина. Необходимые условия.
- •Принцип Эйлера-Лагранжа и оптимальное управление
- •Необходимые условия в задаче теории оптимального управления
- •Принцип максимума Понтрягина для простейшей задачи оптимального управления
- •Задача линейного быстродействия.
- •Достаточные условия оптимальности в задаче линейного быстродействия.
- •Фундаментальная матрица и формула Коши.
- •Принцип Крейна.
-
Постановка вариационной задачи с подвижными границами.
-
Пусть в простейшей вариационной задаче точки A и B находятся на кривых (1)
-
Функция y допустима, если удовлетворяет условиям допустимости в простейшей вариационной задаче, а граничные точки выбираются произвольно на кривых, определяемых (1). Минимизируемый функционал имеет нефиксированные пределы интегрирования.
-
Рассмотрим задачу:
-
Рассмотрим сначала случай удовлетворяет уравнению: . Функционал обозначим: - класс допустимых функций в простейшей задаче вариационного исчисления, в которой
-
Теорема 1. Если - решение задачи с подвижным правым концом, то необходимо (2)
-
(3)
-
Доказательство:
-
-решение простейшей задачи для и (2) имеет место. Пусть
-
Т.к. , то , что Пусть такая, что - непрерывно дифференцируемое расширение на
-
принадлежит
-
Положим
-
Т.к. , то в достигает локального минимума и
-
-
+ (4)
-
.
-
Т.к. удовлетворяет дифференциальному уравнению Эйлера-Лагранжа, отвечающему основной функции , то
-
(5)
-
А (6)
-
Преобразуя (4) с учетом (5) и (6), получаем
-
Равенство (3) называют условием трансверсальности на правом конце. Если правая кривая (граница) имеет уравнение , , то оно принимает вид
-
Аналогично можно рассмотреть случай незакрепленного левого конца или обоих концов.
-
Задача Больца
-
Если в задаче с подвижными границами зависимость минимизируемого функционала явная от границ, т.е. (1),где - дважды непрерывно дифференцируемые функции, то вариационную задачу называют задачей Больца. Пусть в задаче Больца левый конец фиксирован, тогда учитывая результаты п.11.1 выведем условие трансверсальности на правом конце.
-
(2) и (3) в силу (2) сводится к . (4)
-
Покажем, что уравнение Эйлера-Лагранжа для (4) определяется лишь интегральным слагаемым в (3).
-
.
-
Используя ((3) п.11.1) условия трансверсальности для (4) примут вид
-
, откуда находим
-
. (5)
-
Если кривая правой границы , то (5) принимает вид . Аналогично можно рассмотреть случай незакрепленного левого конца и обоих концов.
-
Изопериметрическая задача.
-
На множестве допустимых функций накладывается условие: функционал, заданный на множестве допустимых функций (как и минимизируемый) должен принимать фиксированное значение на любой допустимой функции.
-
Пусть - открытое выпуклое множество, , , Функцию назовем допустимой , если , , , , . Каждой поставим в соответствие число . Требуется минимизировать функционал I на . В случае изопериметрическая задача имеет вид: .
-
, , .Пусть Для рассмотрим функционал .
-
Теорема 1. Если решение изопериметрической задачи, то найдется что удовлетворяет уравнению Эйлера-Лагранжа, соответствующему функционалу , т.е. .
-
Доказательство. не стационарная функция для (иначе ). Пусть , Такая найдется, т.е. не стационарная для . Рассмотрим двухпараметрическое семейство функций
-
Причем , i=1,2, . Для малых по абсолютной величине . Положим. Видно что , i=1,2. и по теореме о неявной функции уравнение определяет функцию в окрестности точки . При этом . из малой окрестности О (1) и дифференцируя обе части (1) по получаем (2). Откуда с учетом получаем (3)
-
Рассмотрим однопараметрическое семейство функций
-
где малая окрестность нуля. Из следует , что значит , а и достигает минимума при . Тогда и с учетом (3) получаем
-
(4)
-
. Пусть , тогда из (4) , что означает и интегрируя по частям получаем , при (5). Тогда из леммы Лагранжа .
-
Замечание: интегральные кривые уравнения Эйлера-Лагранжа называют экстремалями. Экстремум может достигаться только на них. Из Т.1, если не экстремаль для , то можно сразу взять .