- •Методы оптимизации. Ответы на вопросы.
- •Конечномерные экстремальные задачи без ограничений.
- •Конечномерные экстремальные задачи с ограничениями.
- •Свойства выпуклых множеств.
- •Выпуклые оболочки.
- •Проекция точки на множество.
- •Отделимость выпуклых множеств.
- •Свойства выпуклых функций.
- •Критерии выпуклости функций.
- •Минимум выпуклой функции.
- •Функция Лагранжа и седловая точка.
- •Теорема Куна-Таккера.
- •Связь между основной и двойственной задачами.
- •Условия сходимости градиентных методов.
- •Условия сходимости метода Ньютона.
- •Условие сходимости метода штрафных функций.
- •Условие сходимости методов возможных направлений
- •Вариация функционала
- •Доказательство.
- •Простейшая задача вариационного исчисления.
- •Доказательство.
- •Уравнение Эйлера-Лагранжа
- •Условия Лежандра и Якоби
- •Доказательство.
- •Постановка вариационной задачи с подвижными границами.
- •Доказательство:
- •Задача Больца
- •Изопериметрическая задача.
- •Задача Лагранжа
- •Метод Ритца
- •Общая постановка задачи оптимального управления.
- •Достаточное условие существования решения задачи оптимального управления.
- •Принцип максимума л. С. Понтрягина. Необходимые условия.
- •Принцип Эйлера-Лагранжа и оптимальное управление
- •Необходимые условия в задаче теории оптимального управления
- •Принцип максимума Понтрягина для простейшей задачи оптимального управления
- •Задача линейного быстродействия.
- •Достаточные условия оптимальности в задаче линейного быстродействия.
- •Фундаментальная матрица и формула Коши.
- •Принцип Крейна.
-
Принцип максимума л. С. Понтрягина. Необходимые условия.
-
Рассмотрим автономную задачу оптимального управления с незакрепленным временем:
-
(1), , (2)
-
требуется минимизировать функционал путем выбора вектора допустимого управления . Для эффективного и сжатого формулирования необходимых условий оптимальности вектора параметров управления, рассмотрим сопряженную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка для дополнительных переменных (3)
-
и функция Гамильтона-Понтрягина задачи оптимального управления . Вектор - вектор сопряженных переменных. Необходимое условие оптимальности, известное как принцип максимума Понтрягина формулируются так:
-
Теорема 1. Чтобы вектор параметров управления и соответствующая траектория , описываемая формулами (1) и (2), были оптимальными, необходимо, чтобы существовало решение сопряженной системы (3) и константа такие, что и (4) для всех векторов в каждой точке оптимальной траектории , где - вектор параметров управления.
-
Замечание: Фраза «в каждой точке» подразумевает, что если кусочно-непрерывная, то условие (4) справедливо в точках непрерывности ; если ограничена и измерима, то (4) справедливо почти всюду.
-
Рассмотрим пример 1 из Л. 14. Сопряженная система будет иметь вид: . Решение её . Гамильтониан системы: . Т.к. , то из принципа максимума Понтрягина следует , если и , если . Как видно из предыдущего примера, переменную можно исключить из задач об оптимальном быстродействии. Заменим (4) условием: существует невырожденное решение . , что при неравенство (5) имеет место в каждой точке оптимальной траектории .
-
Для неавтономных задач с закрепленным временем непосредственно из принципа максимума следует, что должно существовать - решение системы (3), что для некоторой константы , , при в каждой точке оптимальной траектории . ( появляется благодаря введению новой переменной состояния ).
-
Рассмотрим пример 2 из Л. 14. Получаем и значит . Таким образом, , где . Данная функция достигает максимума при . При , , получаем следующую траекторию . Функционал .
-
Принцип Эйлера-Лагранжа и оптимальное управление
-
Сформулируем принцип оптимальности для динамических задач, представляющихся классическими задачами вариационного исчисления с ограничениями типа равенств и неравенств.
-
Пусть требуется найти (0) при ограничениях вида:
-
(1), (2)
-
(3) в пространстве , где - пространство непрерывных функций; - пространство дифференцируемых функций, - заданный конечный отрезок, ; - функция переменных;
-
- функция переменных; - функция переменных; - вектор-функция управления; - вектор-функция фазовой переменной; - управляющий процесс в задаче Лагранжа, если , , и всюду на выполнится дифференциальная связь, задаваемая (1); если же при этом выполняются ограничения (2), (3), то четверка - допустимый управляющий процесс.
-
Теорема Эйлера- Лагранжа Пусть - оптимальный (в слабом смысле) процесс и при этом функции и их частные производные по и непрерывны в некоторой окрестности множества , а , непрерывно дифференцируемы в окрестности точки . Тогда найдутся множители Лагранжа и не равные одновременно нулю и такие, что для функции Лагранжа выполнены условия: а) стационарности по , ; б) трансверсальности по , , , ;
-
в) стационарности по , ; г) стационарности по (для незакрепленных и ), ; д) не отрицательности (только при наличии ограничений неравенств) ; е) дополняющей нежесткости (только при наличии ограничений неравенств)
-
-
Замечание. 1)допустимый управляемый процесс называется оптимальным (в слабом смысле) процессом, или слабым минимумом в задаче (0), если существует такое , что для любого допустимого управляемого процесса , удовлетворяющего условию , выполнено неравенство .
-
2) - арифметическое n-мерное пространство, сопряженное к , - терминант.