- •Методы оптимизации. Ответы на вопросы.
- •Конечномерные экстремальные задачи без ограничений.
- •Конечномерные экстремальные задачи с ограничениями.
- •Свойства выпуклых множеств.
- •Выпуклые оболочки.
- •Проекция точки на множество.
- •Отделимость выпуклых множеств.
- •Свойства выпуклых функций.
- •Критерии выпуклости функций.
- •Минимум выпуклой функции.
- •Функция Лагранжа и седловая точка.
- •Теорема Куна-Таккера.
- •Связь между основной и двойственной задачами.
- •Условия сходимости градиентных методов.
- •Условия сходимости метода Ньютона.
- •Условие сходимости метода штрафных функций.
- •Условие сходимости методов возможных направлений
- •Вариация функционала
- •Доказательство.
- •Простейшая задача вариационного исчисления.
- •Доказательство.
- •Уравнение Эйлера-Лагранжа
- •Условия Лежандра и Якоби
- •Доказательство.
- •Постановка вариационной задачи с подвижными границами.
- •Доказательство:
- •Задача Больца
- •Изопериметрическая задача.
- •Задача Лагранжа
- •Метод Ритца
- •Общая постановка задачи оптимального управления.
- •Достаточное условие существования решения задачи оптимального управления.
- •Принцип максимума л. С. Понтрягина. Необходимые условия.
- •Принцип Эйлера-Лагранжа и оптимальное управление
- •Необходимые условия в задаче теории оптимального управления
- •Принцип максимума Понтрягина для простейшей задачи оптимального управления
- •Задача линейного быстродействия.
- •Достаточные условия оптимальности в задаче линейного быстродействия.
- •Фундаментальная матрица и формула Коши.
- •Принцип Крейна.
-
Необходимые условия в задаче теории оптимального управления
-
В случае выбора решений в динамических задачах оптимального управления в пространстве , когда , т.е. в задачах вида
-
, , ,
-
где
-
( - пространство кусочно-непрерывных функций; - пространство кусочно-дифференцируемых функций; - произвольное множество из ; - раскрываются такие, как в задаче Лагранжа п.15.2), принцип оптимальности формируется как принцип максимума Понтрягина.
-
Теорема 1 (Необходимое условие экстремума) Пусть - оптимальный процесс в задаче оптимального управления, функции и их частные производные по непрерывности во множестве , где - некоторая окрестность множества , а непрерывно дифференцируемы в окрестности точки . Тогда найдутся множители Лагранжа , не равные одновременно нулю и такие, что для функции Лагранжа выполнены условия:
-
а) стационарности по - уравнения Эйлера,
-
, б) трансверсальности по , , ,для терминантов на и ; в) оптимальности по ; г) стационарности по (только для незакрепленных , ) ; д) дополняющей нежесткости (при наличии ограничений неравенств) ; е) неотрицательности (при наличии ограничений неравенств) .
-
Здесь - арифметическое n-мерное пространство, сопряженное к , - терминант.
-
Принцип максимума Понтрягина для простейшей задачи оптимального управления
-
Задачу теории оптимального управления назовем простейшей, если для нее начальный и конечный моменты времени фиксированы, левый конец закреплен, правый – свободен, фазовые ограничения отсутствуют, а ограничение на вектора управляющих параметров стационарны, т. е. Из (1)-(4) (п. 14.1) получаем следующую краткую запись для простейшей задачи оптимального управления:
-
дано: , (1)
-
- непрерывно дифференцируема по совокупности своих параметров. Пусть - оптимальное управление и оптимальная траектория в задаче (1). Если - вектор сопряженных переменных, то т. к. Сопряженная система дифференцируемых уравнений, отвечающая паре имеет вид , то если решение сопряженной системы дифференциальных уравнений, отвечающей этой паре при граничных условиях и , (2) то .
-
Теорема 1. (Принцип максимума Понтрягина) В любой момент времени имеет место равенство . ()
-
Практическое применение задачи Т.1 осуществляется следующим образом для поиска решения задачи управления. Выражение для , в котором полагают , рассматривается как функция переменных , а остальные переменные при этом считаются параметрами. Для каждого фиксированного набора решается задача математического программирования . Решением ее будет . Таким образом . В ряде случаев функцию можно выписать в явном виде. Если построена, то можно рассмотреть следующую систему из дифференциальных уравнений относительно : , (3), где . Для определения произвольных постоянных имеется граничных условий на левом конце: -, и на правом: . (4)
-
Опр.1 Пара удовлетворяет условиям принципа максимума, если , а - решение системы (3) при граничных условиях (4) и .
-
Пары, удовлетворяющие условиям принципа максимума назовем стационарными.
-
Рассмотрим пример применения принципа максимума Понтрягина при решении простейшей задачи теории оптимального управления:
-
Пример1
-
-
Функция Гамильтона-Понтрягина (с учетом ) имеет вид: . Вектор-функция из условия .
-
Основная и сопряженная система дифференциальных уравнений:
-
.
-
Интегрируя их совместно, получаем:
-
(5)
-
Из граничных условий:
-
, которые в силу (5) принимают вид: , откуда ,
-
Для доказательства теоремы 1 дополнительно положим, что и непрерывно дифференцируемы по и константа , для которой справедливы неравенства: ,
-
, (6)
-
.
-
Пусть - кусочно-непрерывная функция, для которой: . Полагаем .
-
Сформулируем ряд утверждений, которые используются в доказательстве Т.1.
-
Лемма 1. Имеет место равенство: , (7), где (8), .
-
Лемма 2. Имеет место равенство:
-
, (9), где .
-
Лемма 3. Справедлива оценка: .
-
Доказательство теоремы 1:
-
Пусть , , и столь мало, что .
-
Функцию определим формулой:
-
(10)
-
Очевидно, что кусочно-непрерывная функция и для всех выполнено включение . Таким образом, для управления и движения в соответствии с леммой 1 справедлива оценка (7), (8), которая в силу (10) имеет вид: (11) , где
-
(12)
-
При достаточно малых функция непрерывна на , поэтому
-
, (13)
-
Из оптимальности пары следует неравенство . Тогда в силу (11) - (13) заключаем: (14)
-
Поделив обе части неравенства (14) на положительное и устремив к нулю получаем . Из определения выводим: (15)
-
В силу произвольности из неравенства (15) следует справедливость условия (2) для всех . Чтобы доказать его для надо взять в виде:
-
-
и провести аналогичные рассуждения. Теорема 1 доказана.
-
Рассмотрим случай простейшей задачи с нефиксированной продолжительностью процесса: ,
-
-
Если рассмотреть вспомогательную задачу с фиксированной продолжительностью процесса, то если - решение основной задачи, то будет решением вспомогательной задачи при условии . Но по Т.1 для пары будет выполняться условие принципа максимума Понтрягина при . Однако условий принципа максимума недостаточно для выделения изолированных пар , среди которых только и могло бы находиться решение исходной задачи с нефиксированной длительностью процесса. Это объясняется тем, что помимо (2) и произвольных констант интегрирования в общем решении системы дифференциальных уравнений (3) определению подлежит еще и момент . Дополнительные условия, которым удовлетворяет определяются следующей теоремой.
-
Теорема 2. Пусть - оптимальный конечный момент времени в простейшей задаче оптимального управления с нефиксированной длительностью процесса. Тогда
-
.