- •Методы оптимизации. Ответы на вопросы.
- •Конечномерные экстремальные задачи без ограничений.
- •Конечномерные экстремальные задачи с ограничениями.
- •Свойства выпуклых множеств.
- •Выпуклые оболочки.
- •Проекция точки на множество.
- •Отделимость выпуклых множеств.
- •Свойства выпуклых функций.
- •Критерии выпуклости функций.
- •Минимум выпуклой функции.
- •Функция Лагранжа и седловая точка.
- •Теорема Куна-Таккера.
- •Связь между основной и двойственной задачами.
- •Условия сходимости градиентных методов.
- •Условия сходимости метода Ньютона.
- •Условие сходимости метода штрафных функций.
- •Условие сходимости методов возможных направлений
- •Вариация функционала
- •Доказательство.
- •Простейшая задача вариационного исчисления.
- •Доказательство.
- •Уравнение Эйлера-Лагранжа
- •Условия Лежандра и Якоби
- •Доказательство.
- •Постановка вариационной задачи с подвижными границами.
- •Доказательство:
- •Задача Больца
- •Изопериметрическая задача.
- •Задача Лагранжа
- •Метод Ритца
- •Общая постановка задачи оптимального управления.
- •Достаточное условие существования решения задачи оптимального управления.
- •Принцип максимума л. С. Понтрягина. Необходимые условия.
- •Принцип Эйлера-Лагранжа и оптимальное управление
- •Необходимые условия в задаче теории оптимального управления
- •Принцип максимума Понтрягина для простейшей задачи оптимального управления
- •Задача линейного быстродействия.
- •Достаточные условия оптимальности в задаче линейного быстродействия.
- •Фундаментальная матрица и формула Коши.
- •Принцип Крейна.
-
Свойства выпуклых множеств.
Опр. 1. Множествоназывается выпуклым, если и
Теорема1. Пересечение любого количества выпуклых множеств выпукло.
Доказательство:
Пусть множество индексов, .А т.к. выпуклы, то и , т.е. оно выпукло.
Опр. 2. , называется алгебраической линейной комбинацией множеств
Теорема 2. Любая линейная комбинация конечного числа выпуклых множеств выпукла.
Доказательство:
Т.к. - выпуклы, то и .
Опр. 3. Точка , где называется выпуклой комбинацией точек
Теорема3. выпукло D содержит все выпуклые комбинации любого конечного числа своих точек.
Доказательство.
Необходимость. Если D выпукло, то для двух точек утверждение справедливо. Пусть оно справедливо для точек, m>2 (доказательство по индукции). Пусть и <1 (для определенности). Тогда и выпуклая комбинация и . Но => .
Достаточность. Если содержит выпуклую комбинацию своих точек, то оно содержит и любые выпуклые комбинации двух точек, т.е. является выпуклым.
Замечание. Если фиксированы, а их выпуклые комбинации, то выпуклая комбинация точек является выпуклой комбинацией точек
-
Выпуклые оболочки.
Опр. 1. Пересечение всех выпуклых множеств, содержащих множество называется выпуклой оболочкой множества D (coD).
Замечание. coD минимальное выпуклое множество, содержащее D.
Теорема 1. coD состоит из тех и только тех точек, которые являются выпуклой комбинацией конечного числа точек из D.
Замечание. Выпуклая оболочка конечного числа точек на плоскости – выпуклый многоугольник, в пространстве – выпуклый многогранник.
Теорема 2. где , представима в виде выпуклой комбинации не более чем n+1 точки из D.
Доказательство.
Из Т.1. (1). Если , то число ненулевых слагаемых можно уменьшить. Рассмотрим в векторы i=1..m. Они линейно зависимы, т.к. m>n+1. ,что (2)
Из (1), (2) справедливо , а т.к. не все , а их сумма равна 0, то среди них есть строго положительные. Пусть , и . Тогда и точка x представляется в виде выпуклой комбинации меньшего, чем m числа точек из D.
Теорема 3. Замыкание и внутренность выпуклых множеств выпуклы.
Теорема 4. Если компактно, то и компактно.
Доказательство.
Из ограниченности D А т.к. - выпукло ограниченно. Пусть y – предельная точка и такое, что . По Т.2, п.2.2 и что Из ограниченности следует существование подпоследовательностей из последовательностей что и из замкнутости D . Перейдя к пределу при в соотношениях получаем
-
Проекция точки на множество.
Опр. 1. Проекцией точки на множество называется точка , что
Теорема 1. Для замкнутого множества и существует ее проекция на . Если выпукло, то проекция единственна.
Теорема 2. Для того, чтобы была проекцией x на выпуклое замкнутое множество выполнялось .
Теорема 3: Пусть - выпуклое множество. Тогда существует вектор , что , причем, если , то .
Замечание: Г - совокупность всех граничных точек множества . Геометрический смысл теоремы 3: через любую точку (выпуклому множеству) можно провести гиперплоскость, причем будет располагаться в одном из отвечающих ей полупространств. Если принадлежит границе , то гиперплоскость называется опорной, а ее нормальный вектор – опорным вектором к множеству в точке .