Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается при его движении параллельной самой себе (рис. 2.5).

Обозначим цифрами 1 и 2 две произвольные точки тела (рис.2.6). При поступательном движении вектор r₁₂, проведенный из точки 1 в точку 2, остается постоянным. Он связан с радиус-векторами точек соотношением r₂=r₁+r₁₂. Продифференцировав это выражение по времени, получим, что

, т.е. v₂=v₁

(производная от постоянного вектора равна нулю). Еще одно дифференцирование дает, что

т.е. а₂=а₁.

Таким образом, скорости и ускорения точек 1 и 2 одинаковы. Такое же равенство скоростей и ускорений получается для каждой пары произвольно взятых точек. Отсюда заключаем, что при поступательном движении траектории всех точек идентичны и могут быть совмещены параллельным переносом.

Сказанное означает, что для описания поступательного движения твердого тела достаточно знать, как движется одна из его точек. Все остальные точки движутся таким же образом.

Согласно (2.12) модуль нормального ускорения определяется формулой а_n=v²/R. Подставив сюда выражение (2.6) для v, найдем, что

а_n=²R. (2.15)

Таким образом, модуль нормального ускорения пропорционален квадрату угловой скорости.

Продифференцировав соотношение (2.6) по времени, получим

(напомним, что R=const). В соответствии с формулой (2.13)  представляет собой модуль тангенциального ускорения а_. В случае, когда ось вращения, а следовательно и вектор , не изменяет направления в пространстве, равен модулю углового ускорения. Следовательно, мы приходим к формуле

а_=R. (2.16)

Лекция 3 Динамика материальной точки Инерциальные системы отсчета. Закон инерции.

Мы уже отмечали, что относительно разных систем отсчета движение имеет неодинаковый характер. Например, относительно вагона точка на ободе колеса движется по окружности, в то время как относительно Земли она движется по сложной кривой, называемой циклойдой.

Среди всевозможных систем отсчета существуют такие, относительно которых движение тел оказывается особенно простым. В частности, тела, не подверженные воздействию других тел, движутся относительно таких систем без ускорения, т.е. прямолинейно и равномерно. Эти особенные системы отсчета называются инерциальными. Существование инерциальных систем отсчета установлено из опыта и представляет собой закон природы.

Любая система отсчета, движущаяся относительно какой-либо инерциальной системы поступательно с постоянной скоростью, является также инерциальной. Чтобы убедится в этом, рассмотрим движение частицы относительно систем отсчета К и К^I (рис.3.1). Допустим, что система К^I движется относительно системы К поступательно с постоянной скоростью v₀. Между показанными на рисунке радиус-векторами имеется соотношение r=r₀+r^I. Продифференцировав его по времени, найдем, что

=+, т.е. (3.1)

Если на частицу не действуют никакие тела и система К инерциальна, то скорость v частицы в этой системе будет постоянной. Из (3.1) следует, что скорость v^I частицы в системе К^I также оказывается постоянной. Это означает, что система К^I также инерциальна.

Опытным путем установлено, что инерциальной является система отсчета, начало которой совмещено с центром Солнца, а оси направлены на неподвижные звезды. Эта система отсчета называется гелиоцентрической. Земля движется относительно Солнца по криволинейной траектории; кроме того она вращается вокруг своей оси. Поэтому система отсчета, связанная с Землей, неинерциальна. Однако ускорение, с которым движется Земля, настолько мало, что при решении многих задач систему отсчета, связанную с Землей, можно считать практически инерциальной.

Утверждение о существовании инерциальных систем отсчета Ньютон сформулировал в виде закона инерции., который называют также первым законом Ньютона. Согласно этому закону всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние.