Энергия и работа.

Понятия энергии и работы широко используются в повседневной жизни. Эти понятия тесно связаны друг с другом. Например, говорят об энергичном или работоспособном человеке. Само слово «энергия» происходит от греческого слова «деятельность». Известно, что работа соверщается за счет запаса энергии и, наоборот, совершая работу, можно увеличить запас энергии в каком-либо устройстве. Например, совершая работу при заводе часов, мы создаем запас энергии в пружине, за счет которого идут часы.

Энергия является общей количественной мерой движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не исчезает и не возникает из ничего; она может лишь переходить из одной формы в другую. Понятие энергии связывает воедино все явления природы. В соответствии с различными формами движения материи рассматривают различные виды энергии: механическую, внутреннюю, электромагнитную, ядерную и др.

Механическая энергия бывает двух видов: кинетическая и потенциальная. Кинетическая энергия (или энергия движения) определяется массами и скоростями рассматриваемых тел. Потенциальная энергия (или энергия положения) зависит от взаимного расположения (от конфигурации) взаимодействующих друг с другом тел.

Работа определяется как скалярное произведение векторов силы и перемещения.

Кинетическая энергия и работа.

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной материальной точки (частицы) массы m, движущейся под действием сил, результирующая которых равна F. Напишем уравнение движения частицы:

m

( – ускорение частицы). Умножим скалярно обе части этого равенства на элементарное перемещение частицы ds:

m (4.9)

Учтя, что ds=vdt; (напомним, что перемещенеие ds совпадает с приращением радиус-вектора dr), представим левую часть равенства (3.9) в виде

mvdt=mvdv. (=dv/dt, откуда dt=dv).

Согласно формуле А²=АА=ААcos0⁰=А² vdv=vdv (это равенство поясняет также рис. 4.1). Следовательно,

mvdv=mvdv=d. (4.10)

Заменив полученным выражением левую часть формулы (4.9), придем к соотношению

d (4.11)

Если результирующая сил, действующих на частицу, равна нулю, d(mv²/2)=0, то сама величина

Е_к=(4.12)

остается постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы. Приняв во внимание, что произведение mv равно модулю импульса частицы р, выражению (4.12) можно придать вид

Е_к=(4.13)

Если сила F, действующая на частицу, не равна нулю, кинетическая энергия получит за время dt приращение

dE_k=Fds, (4.14)

где ds – перемещение частицы за время dt. Величина

dA=Fds (4.15)

называется работой, совершаемой силой F на пути ds (ds – модуль перемещения ds). Из (3.14) следует, что работа характеризует изменение кинетической энергии, обусловленное действием силы на движущуюся частицу:

dE_k=dA (4.16)

Проинтегрируем обе части равенства (4.11) вдоль траектории частицы от точки 1 до точки 2:

Левая часть полученного равенства представляет собой приращение кинетической энергии частицы:

Правая часть есть работа А₁₂ силы F на пути 1-2:

А₁₂=

Таким образом, мы пришли к соотношению

А₁₂=Е_к2-Е_к1, (4.17)

из которого следует, что работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы.

Работа

Согласно определению скалярного произведения выражение (4.15) для элементарной работы можно представить в виде

dA=Fds=Fcosds, (4.18)

где F – модуль силы, ds – путь, пройденный точкой приложения силы,  - угол между векторами силы F и перемещения ds.

Если угол острый, работа положительна. Согласно (4.16) приращение кинетической энергии также положительно; следовательно, кинетическая энергия увеличивается. Если угол тупой, работа и приращение кинетической энергии отрицательны; следовательно, кинетическая энергия уменьшается. При работа равна нулю и кинетическая энергия остается неизменной.

Запишем выражение для работы в виде

dA=F_sds, (4.19)

где F_s – проекция силы на направление перемещения ds, а ds – модуль перемещения, равный элементарному пути. На рис. 4.2 дан график зависимости F_s от s. Работа, совершаемая на пути от точки 1 до точки 2, положительна и численно равна площади S₁ фигуры 1В2, взятой со знаком плюс: А₁₂(=)S₁. Работа на пути от точки 2 до точки 3 отрицательна и численно равна площади S₂ фигуры 2С3, взятой со знаком минус: А₂₃(=)-S₂. Мы взяли знак равенства в скобки, чтобы подчеркнуть, что речь идет только о числовом равенстве (размерности работы и площади не совпадают). Работа на всем пути 1-3 численной равна разности площадей S₁ и S₂: А₁₃(=)S₁-S₂.

Применим полученный результат к нахождению работы, совершаемой внешней силой при растяжении пружины, подчиняющейся закону Гука. Растяжение будем осуществлять очень медленно для того, чтобы проекцию внешней силы на ось х можно было считать все время практически равной кх. В рассматриваемом случае F_sds =F_xdx. График зависимости F_x от х показан на рис. 4.3. Из рисунка следует, что работа, которую нужно совершить, чтобы вызвать удлинение пружины х, равна

А=. (4.20)

Такая же работа совершается при сжатии пружины.

В случае, если на частицу действуют несколько сил, их работа на пути ds равна

dA=(F₁+F₂+…)ds=F₁ds+F₂ds+…

(мы воспользовались дистрибутивностью скалярного произведения векторов. Каждое из слагаемых в правой части дает работу соответствующей силы. Таким образом, мы приходим к выводу, что работа суммы нескольких сил, действующих одновременно на частицу, равна сумме работ, которые совершила бы каждая сила в отдельности:

А=А₁+А₂+… (4.21)

Это утверждение согласуется с опытом.

Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью. Мощность Р определяется соотношением

Р=(4.22)

Где dA – работа, совершаемая за время dt. Подставив вместо dA выражение (4.15) и приняв во внимание, что ds/dt есть скоростьv, получим

Р=FFv (4.23)

Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки приложения силы.

Единицей работы служит работа, совершаемая на пути в один метр силой в один ньютон, действующей в направлении перемещения. Эта единица называется джоулем (Дж).

Единицей мощности является такая мощность, при которой за одну секунду совершается работа, равная одному джоулю. Эта единица называется ваттом (Вт). В технике иногда применяется единица мощности, именуемая лошадиной силой (л.с.) и равная 736 Вт.

Из соотношения (4.17) следует, что размерность кинетической энергии совпадает с размерностью работы. В сответствии с этим энергия измеряется в тех же единицах, что и работа.