Кинетическая энергия вращающегося тела

Когда тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью , элементарная масса m_i, отстоящая от оси вращения на расстояние R_i, обладает скоростью v_i=R_i.Следовательно, ее кинетическая энергия равна

(Е_k)_i=

Сумма энергий (Еk)I дает кинетическую энергию всего тела:

Е_к===I². (8.17)

Это выражение аналогично выражению для кинетической энергии материальной точки (и поступательно движущегося тела): Е_к=mv²/2. Роль массы играет момент инерции, а роль линейной скорости – угловая скорость.

Найдем работу, совершаемую внешней силой при вращении тела. Рассмотрим частный случай, когда сила направлена по касательной к окружности, по которой движется точка приложения силы (рис.8.8). В этом случае силаF и перемещение ds точки ее приложения коллинеарны. Элементарная работа dA=F_sds=F_sRd. В случае а на рис. 8.8 сила действует в направлении перемещения, поэтому F_s равна модулю силы F и dA=FRd. В случае б сила и перемещение направлены в противоположные стороны, поэтому F_s=-F и dA=-FRd. Как следует из рисунка, оба выражения для работы можно представить одной формулой

dA=M_zd (8.18)

В общем случае, когда внешняя сила направлена произвольно, ее можно разложить на три составляющих. Составляющие F_II и F_ перпендикулярны к перемещению ds и поэтому работы не совершают. Они также не вносят вклада в М_z. Следовательно, и в этом случае работа определяется формулой (8.18).

Поскольку направление оси z и вектора  совпадают, формулу (8.18) можно представить в виде

dA=M_d (8.19)

где M_ - проекция М на направление вектора .

Формула (8.19) сходна с формулой dA=F_sds. Разделив работу (8.19) на время dt, за которое тело повернулось на угол d, получим мощность, развиваемую силой F:

P=dA/dt=M_ . (8.20)

Кинетическая энергия тела при плоском движении

Представим плоское движение тела как наложение поступательного движения со скоростью v₀ некоторой точки О и вращение вокруг оси, проходящей через эту точку, с угловой скоростью . В этом случае скорость i-й элементарной массы тела определяется формулой

v_i=v₀+[r_i],

гле r_i – радиус-вектор i-й элементарной массы, проведенный из точки О.

Кинетическая энергия i-элементарной массы равна

(Е_к)_i=

Возведение в квадрат дает

(Е_к)_i=

Просуммировав (Е_к)_i по всем элементарным массам, найдем кинетическую энергию тела:

Е_к=

Разобьем полученное выражение на три слагаемых, вынося при этом постоянные множители за знак суммы:

Е_к=(9.21)

Сумма элементарных масс даст массу тела:Следовательно, первое слагаемое равноmv₀²/2.

Квадрат вектора равен квадрату его модуля. Поэтому, как следует из рис. 8.9, [r_i]²=²R_i², где R_i – расстояние i-й массы от оси вращения. Соответственно третье слагаемое в (8.21) равно

(I₀ – момент инерции тела относительно оси вращения О).

Воспользовавшись дистрибутивностью векторного произведения, преобразуем второе слагаемое в (8.21) следующим образом:

где r_c – радиус-вектор центра масс, проведенный из точки О.

С учетом всего сказанного можно написать, что

Е_к=(8.22)

В первое слагаемое входят только величины, характеризующие поступательное движение, в третье слагаемое – только величины, характеризующие вращательное движение. Второе же слагаемое содержит величины, характеризующие как поступательное, так и вращательное движение.

Если в качестве точки о взять центр масс тела С, то r_c будет равно нулю и формула (8.22) упростится следующим образом:

Е_к=(1/2)mv_c²+(1/2)I_c². (8.23)

Здесь v_c – скорость центра масс, I_c – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Таким образом, если разбить плоское движение тела на поступательное со скоростью центра масс и вращение вокруг оси, проходящей через центр масс, то кинетическая энергия распадается на два независимых слагаемых, одно из которых определяется только величинами, характеризующими поступательное движение, а другое – только величинами, характеризующими вращение.