Ускорение

Чтобы охарактеризовать изменение скорости частицы со временем, используется величина

а=lim_t0, (1.23)

называемая ускорением частицы. Приняв во внимание соотношение (1.5), можно написать, что

а=. (1.24)

Следовательно, ускорение можно определить как первую производную скорости по времени либо как вторую производную радиус-вектора по времени.

Продифференцировав по времени соотношение (1.9), получим для ускорения выражение

а=е_х+е_у+е_z (1.25)

Вместе с тем ускорение, как и любой другой вектор, можно выразить через его компоненты по координатным осям:

а=а_хе_х+а_уе_у+а_zе_z

Сопоставление этого выражения с (1.25) дает, что

, , . (1.26)

Таким образом, компоненты ускорения равны вторым производным соответствующих координат по времени.

При движении в одну и туже сторону по прямолинейной траектории скорость изменяется только по модулю. Следовательно, ускорение должно определяться значением -производной модуля скорости по времени.

Лекция 2 кинематика вращательного движения

При вращении твердого тела все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных к этой оси.

Быстроту вращения естественно характеризовать углом, на который поворачивается тело в единицу времени. Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени t тело поворачивается на одинаковые углы , вращение называется равномерным. Пусть равномерно вращающееся тело поворачивается за время t на угол . Тогда величина

(2.1)

определит угол поворота в единицу времени. Эту величину называют угловой скоростью тела (точнее, эта величина есть модуль угловой скорости, сама угловая скорость – вектор). При неравномерном вращении выражение (1.1) дает среднее значение угловой скорости за промежуток времени t. Мгновенное значение угловой скорости определяется выражением

(2.2)

где  - угол, на который поворачивается тело за время t.

Чтобы охарактеризовать не только быстроту вращения, но также и ориентацию оси вращения в пространстве и направление вращения, вводят векторную величину , модуль которой определяется формулой (2.2). Направлен вектор  вдоль оси вращения, причем так, что направление вращения и направление  образуют правовинтовую систему: если смотреть вслед вектору , вращение представляется происходящим по часовой стрелке (рис.2.1). Определенная таким образом векторная величина  называется угловой скоростью тела. Поскольку направление угловой скорости определяется условно,  является псевдовектором. Единицей угловой скорости служит радиан в секунду (рад/с).

Изменение угловой скорости со временем характеризуется векторной величиной

===, (2.3)

которая называется угловым ускорением. Как и угловая скорость, угловое ускорение является псевдовектором.

Если направление оси вращения в пространстве не изменяется, вектор  может изменяться только по модулю. В этом случае векторы  и  коллинеарны, причем направлены в одну и ту же сторону, если вращение ускоренное, и в противоположные стороны, если вращение замедленное.

При неизменном направлении оси вращения модуль углового ускорения определяется формулой

=(2.4)

(модуль вектора всегда положителен, производная же d/dt может быть как положительной, так и отрицательной). Нетрудно сообразить, что сама производная d/dt представляет собой проекцию углового ускорения на направление угловой скорости:

(2.5)

Отметим, что при поворотах оси вращения угловое ускорение  отлично от нуля даже в том случае, когда d/dt=0.

Угловое ускорение измеряется в радианах в секунду за секунду (рад/с²).

Найдем связь векторов  и  с величинами v и а, которые, чтобы отличить от угловых называют линейными скоростью и ускорением. Из рис. 2.1 следует, что точка тела, отстоящая от оси вращения на расстоянии R, при повороте тела на угол  проходит путь s=R. Разделив s на время t, за которое произошел поворот тела на угол , и осуществив предельный переход, получим модуль линейной скорости точки:

.

Таким образом, мы нашли связь между модулями линейной и угловой скоростей:

v=R (2.6)

Будем определять положение точек тела с помощью радиус-вектора r, проведенного из точки О, лежащей на оси вращения. На рис. 2.2 видно, что R=r sin. Подстановка этого значения в (2.6) дает

v=rsin

Это равенство и показанные на рис. 2.2 взаимные направления векторов , r, и v дают основание представить v в виде векторного произведения  на r:

v= (2.7)