- •Кинематика материальной точки
- •1. Механическое движение.
- •Скорость
- •Сравнение выражений (1.9) и (1.10) приводит к соотношениям
- •В математике выражение вида
- •Ускорение
- •Сопоставление этого выражения с (1.25) дает, что
- •Лекция 2 кинематика вращательного движения
- •Движение по криволинейной траектории
- •Поступательное движение твердого тела
- •Продифференцировав соотношение (2.6) по времени, получим
- •Лекция 3 Динамика материальной точки Инерциальные системы отсчета. Закон инерции.
- •Сила и масса.
- •Второй закон Ньютона
- •Единицы и размерности физических величин.
- •Третий закон Ньютона
- •Сила тяжести и вес
- •Упругие силы.
- •Силы трения.
- •Лекция 4 Сохраняющиеся величины.
- •Закон сохранения импульса
- •Энергия и работа.
- •Кинетическая энергия и работа.
- •Лекция 5 Консервативные силы
- •Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле
- •Лекция 6 Потенциальная энергия взаимодействия
- •В случае гравитационного притяжения частиц
- •Нетрудно убедится в том, что в этом случае
- •В этой сумме имеется n(n-1) слагаемых (каждая из n частиц взаимодействует с n-1 частицей).
- •Закон сохранения энергии
- •Где определяется формулой (3.30).
- •Соударения тел
- •Лекция 7 Момент силы
- •Закон сохранения момента импульса
- •Плоское движение твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Момент инерции
- •Кинетическая энергия вращающегося тела
- •Сумма энергий (Еk)I дает кинетическую энергию всего тела:
- •Кинетическая энергия тела при плоском движении
- •Возведение в квадрат дает
- •Лекция 9 Кинетическая энергия вращающегося тела
- •Сумма энергий (Еk)I дает кинетическую энергию всего тела:
- •Кинетическая энергия тела при плоском движении
- •Возведение в квадрат дает
- •Лекция 10 Механические колебания Колебательное движение, общие сведения о колебаниях
- •Малые колебания
- •Гармонические колебания
- •Введя обозначения
- •Затухающие колебания.
- •Применив обозначения
- •Маятник
- •2.5. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания
- •Лекция 11 Упругие волны Распространение волн в упругой среде
- •Уравнения плоской и сферической волн
- •Волновое уравнение
- •Стоячие волны
Скорость
Рассмотрим движение частицы (т.е. материальной точки) по некоторой траектории. Если за равные, сколь угодно малые промежутки времени t частица проходит одинаковые пути s, движение частицы называется равномерным. Разделив путь s на время t, за которое он пройден, получим величину
, (1.1)
которую в обыденной жизни называют скоростью частицы. Эта величина численно равна пути, проходимому частицей в единицу времени.
Если движение неравномерное, величина, получаемая делением s на t, дает среднее значение скорости за промежуток времени t:
v=(1.2)
(Средние значения величин мы будем обозначать, заключая символы этих величин в угловые скобки.)
Чтобы определить скорость v в некоторый момент времени t, берут следующий за t небольшой промежуток времени t (его можно рассматривать как приращение времени) и измеряют путь s, пройденный частицей за время t (его можно рассматривать как приращение пути). Беря все меньшие промежутки времени t (соответственно будут уменьшаться пути s), получают значения отношения s/t, приближающиеся к «истинной» скорости в момент t. В пределе при стремлении t к нулю отношение s/t даст скорость в момент времени t. Аналитически это записывают следующим образом:
v==sI (1.3)
Выражение (1.3) показывает, что скорость v представляет собой производную пути s по времени t.
Все сказанное до сих пор относится к величине, которую называют скоростью в обыденной жизни. В механике под скоростью понимают векторную величину v, которая характеризует не только быстроту движения частицы по траектории, но и направление, в котором движется частица в каждый момент времени. В соответствии с этим величина, определяемая формулой (1.3), представляет собой не саму скорость v, а ее модуль v.
На рис. 1.3 показана траектория частицы. За время t частица получила перемещение r, равное приращению радиус-вектора частицы r. Скорость частицы v определяется как предел отношения перемещения частицы r к промежутку времени t, за который оно произошло, при условии, что t стремится к нулю:
v=limt0 (1.4)
Выражение (1.4) показывает, что скорость есть производная радиус-вектора по времени.
В физике принято производные по времени обозначать не штрихом, а точкой над буквой, обозначающей данную величину. Поэтому определение (1.4) можно записать в виде
v=. (1.5)
Из рис.1.3 следует, что вектор v направлен по касательной к траектории в той точке, где находится частица в данный момент, в ту сторону, в которую движется частица.
Найдем модуль выражения (1.4), т.е. модуль скорости v:
IvI== (1.6)
На рис.1.3 видно, что отношение при уменьшенииt стремится к единице. Поэтому преобразуем выражение (1.6) так:
IvI=. (1.7)
Мы пришли к формуле (1.3).
Отметим, что при равномерном движении скорость, изменяясь как угодно по направлению, остается постоянной по модулю.
Положение материальной точки в пространстве задается радиусом-вектором:
r=xex+yey+zez (1.8)
Продифференцируем по времени выражение (1.8) для радиус вектора, учтя, что ех, еy, ez-постоянные векторы. В результате получим для скорости выражение
v== (1.9)
Вместе с тем в соответствии с формулой (1.9) скорость можно представить в виде
v=vxex+vyey+vzez (1.10)
где vx, vy, vz – компоненты скорости, т.е. проекции вектора v на координатные оси.