Кинетическая энергия тела при плоском движении

Представим плоское движение тела как наложение поступательного движения со скоростью v₀ некоторой точки О и вращение вокруг оси, проходящей через эту точку, с угловой скоростью . В этом случае скорость i-й элементарной массы тела определяется формулой

v_i=v₀+[r_i],

гле r_i – радиус-вектор i-й элементарной массы, проведенный из точки О.

Кинетическая энергия i-элементарной массы равна

(Е_к)_i=

Возведение в квадрат дает

(Е_к)_i=

Просуммировав (Е_к)_i по всем элементарным массам, найдем кинетическую энергию тела:

Е_к=

Разобьем полученное выражение на три слагаемых, вынося при этом постоянные множители за знак суммы:

Е_к=(9.5)

Сумма элементарных масс даст массу тела:Следовательно, первое слагаемое равноmv₀²/2.

Квадрат вектора равен квадрату его модуля. Поэтому, как следует из рис. 9.1, [r_i]²=²R_i², где R_i – расстояние i-й массы от оси вращения. Соответственно третье слагаемое в (9.5) равно

(I₀ – момент инерции тела относительно оси вращения О).

Воспользовавшись дистрибутивностью векторного произведения, преобразуем второе слагаемое в (9.5) следующим образом:

где r_c – радиус-вектор центра масс, проведенный из точки О.

С учетом всего сказанного можно написать, что

Е_к=(9.6)

В первое слагаемое входят только величины, характеризующие поступательное движение, в третье слагаемое – только величины, характеризующие вращательное движение. Второе же слагаемое содержит величины, характеризующие как поступательное, так и вращательное движение.

Если в качестве точки о взять центр масс тела С, то r_c будет равно нулю и формула (9.6) упростится следующим образом:

Е_к=(1/2)mv_c²+(1/2)I_c². (9.7)

Здесь v_c – скорость центра масс, I_c – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Таким образом, если разбить плоское движение тела на поступательное со скоростью центра масс и вращение вокруг оси, проходящей через центр масс, то кинетическая энергия распадается на два независимых слагаемых, одно из которых определяется только величинами, характеризующими поступательное движение, а другое – только величинами, характеризующими вращение. В этом заключается одно из преимуществ такого разбиения плоского движения, о котором упоминалось ранее.

Лекция 10 Механические колебания Колебательное движение, общие сведения о колебаниях

Колебаниями называются процессы, отличающиеся той или иной степенью повторяемости. В зависимости от физической природы повторяющегося процесса различают колебания: механические, электромагнитные и т.д.

В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему различают свободные (или собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и параметрические колебания.

Свободными или собственными колебаниями называются такие колебания, которые происходят в системе, предоставленной самой себе после того, как ей был сообщен толчок либо она была выведена из положения равновесия.

Вынужденными называются такие колебания, в процессе которых колеблющаяся система подвергается воздействию внешней периодически изменяющейся силой.

Автоколебания, как и вынужденные колебания, сопровождаются воздействием на колеблющуюся систему внешних сил, однако моменты времени, когда осуществляются эти воздействия, задаются самой колеблющейся системой – система сама управляет внешним воздействием.

При параметрических колебаниях за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы, например длины нити, к которой подвешен шарик, совершающий колебания.

Простейшими являются гармонические колебания, т.е. такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, отклонение маятника) изменяется со временем по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен по следующим причинам: во-первых, колебания в природе и технике часто имеют характер очень близкий к гармоническим, и, во-вторых, периодические процессы иной формы (с другой зависимостью от времени) могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.