Соударения тел

При соударении тела в большей либо меньшей мере деформируются. При этом кинетическая энергия тел частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации и во внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии приводит к нагреванию тел.

Рассмотрим два предельных вида соударения – абсолютно неупругий и абсолютно упругий удар. Абсолютно неупругим называется удар, при котором потенциальная энергия упругой деформации не возникает; кинетическая энергия тел частично или полностью превращается во внутреннюю энергию; после удара тела движутся с одинаковой скоростью (т.е. как одно тело) либо покоятся. При таком ударе выполняется только закон сохранения импульса, закон же сохранения механической энергии не соблюдается – механическая энергия частично или полностью переходит во внутреннюю.

Абсолютно упругим называется такой удар, при котором полная механическая энергия тел сохраняется. Сначала кинетическая энергия частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. В итоге потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую и тела разлетаются со скоростями, определяемыми двумя условиями – сохранением суммарной энергии и суммарного импульса тел.

Мы ограничимся рассмотрениемцентрального удара двух однородных шаров. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры (рис.6.2). Из соображений симметрии ясно, что после удара шары будут двигаться вдоль той же прямой. Будем предполагать, что шары движутся поступательно (т.е. не вращаясь). Будем также предполагать, что шары образуют замкнутую систему либо что внешние силы, приложенные к шарам, уравновешивают друг друга.

Обозначим массы шаров m₁ и m₂, скорости шаров до удара v₁ и v₂, скорости после удара u₁ и u₂.

Начнем с абсолютно неупругого удара. Закон сохранения импульса требует, чтобы суммарный импульс шаров после удара был таким же, как до удара. Поэтому

m₁v₁+m₂v₂=(m₁m₂)u

где u – одинаковая скорость шаров после удара. Отсюда

u= (6.13)

Для числовых расчетов нужно спроектировать все векторы на ось х (рис. 6.2).

Теперь рассмотрим абсолютно упругий удар. Напишем уравнение сохранения импульса и энергии:

m₁v₁+m₂v₂=m₁u₁+m₂u₂,

.

Преобразуем эти уравнения следующим образом:

m₁(v₁-v₂)=m₂(u₂-v₂) (6.14)

[m₁(v₁-u₁)](v₁+u₁)=[m₂(u₂-v₂)](u₂+v₂) (6.15)

Все векторы, входящие в уравнения (6.14) и (6.15), коллинеарны. Для коллинеарных векторов из А=В и АС=ВD следует, что С=D. Поэтому можно написать, что

v₁+u₁=u₂+v₂ (6.16)

Умножив (3.56) на m₂ и вычтя результат из (6.14), а затем умножив (6.16) на m₁ и сложив результат с (6.14), найдем скорости шаров после удара:

u₁= u₂= (6.17)

Заметим, что выражение для u₂ отличается от выражения для u₁ только перестановкой индексов 1 и 2. Это естественно, поскольку шары в процессе соударения совершенно равноправны и безразлично, какой из них считать первым, а какой вторым.

Чтобы осуществить расчеты, нужно спроектировать все векторы на ось х. Сделаем это, например, для случая а на рис. 6.2. В этом случае проекция вектора v₁ равна модулю вектора, взятому со знаком плюс: v_1х=v₁, а проекция вектора v₂ – модулю, взятому со знаком минус: v_2x=-v₂. Поэтому

u₁= u₂= (6.18)

Пусть m₁=1 кг, m₂=2 кг, v₁=1 м/с. v₂=3 м/с. Подстановка этих чисел в формулы (6.18) дает значения: u_1х=-(13/3) м/с, u_2х=-(1/3) м/с. Обе проекции оказались отрицательными. Это означает, что после соударения оба шара движутся влево. Следовательно, первый шар изменил направление движения на обратное, второй же шар после удара движется в первоначальном направлении, изменился лишь модуль его скорости (с 3 до (1/3) м/с).

Особый интерес представляет случай, когда массы шаров одинаковы: m₁=m₂. При этом условии из (6.18) получается, что

u₁=v₂, u₂=v₁.

Следовательно, шары равной массы при центральном ударе обмениваются скоростями. В частности, если один из шаров до соударения покоился, то после удара он движется с такой же скоростью, какую имел первоначально другой шар, который после удара оказывается неподвижным. При центральном абсолютно упругом ударе шар полностью передает свою скорость неподвижному шару той же массы.