5. Методи визначення внутрішньої норми прибутковості (irr)

Перед тим як здійснити інвестиціі, необхідно визна­чити джерело їхнього фінансування. Існує два можливих джерела цього фінансування: власні та запозичені кошти. Вартість власних джерел визначають рівнем одержуваних акціонерами дивідендів, вартість запозичених — відсотками з кредитів банків, облігацій. Тобто виникає потреба в зістав­ленні рентабельності інвестиції та ціни їхнього залучення.

Внутрішня норма прибутковості (внутрішня норма рентабельності інвестицій) – норма приведення (дисконту) r = IRR, при якій дисконтова на вартість надходжень проекту дорівнює дисконтованій вартості витрат (інвестицій), тобто ставка, при якій NPV = f(r) = 0:

або

Зміст цього рівняння у тому, що приведені на момент t₀ = 0 початку проекту значення потоків витрат і надходжень рівні, тобто проект є безприбутковим. Неважко зрозуміти, що у загальному випадку f(r) нелінійна функція. Тому при визначенні IRR потрібно буде застосовувати наближене обчислення.

Коли грошовий потік не являється постійною величиною, тоді необхідно використовувати таку формулу:

r₁ — значення табульованого коефіцієнта дисконтуван­ня, за якого NPV₁>0 (NPV1<0);

г₂ — значення табульованого коефіцієнта дисконтуван­ня, за якого NPV₂<0(NPV₂>0).

Тобто, по таблицям беруться такі значення r₁ і г₂ , при яких NPV має різні знаки. Точність розрахунку за цією формулою буде тим більша, чим менша різниця між r₁та г₂. При цьому необхідною умовою є min NPV₁>0 при r₁, та max NPV₂<0 при r₂, тобто мають різні знаки.

Норму рентабельності інвестицій можна також визначити за допомогою графічного методу. Для цього по осі абсцис відкладають значення NPV, а по осі ординат — значення коефіцієнта дисконтування (рис. 1).

Рис. 1. Графічне визначення норми рентабельності

Оскільки значення NPV-прямопропорційне ставці дисконтування, то залежність між ними матиме вигляд прямої. З курсу елементарної математики відомо, що необхідно мати дві точки на площині XY, щоб побудувати пряму. В цьому конкретному випадку це означає, що необхідно мати дані про два значення NPV при двох значеннях коефіцієнта дисконтування. Як правило, прийнято брати такі значення цього коефіцієнта, щоб одна величина NPV була додатною, а інша — від'ємною. Розглядаючи проблему визначення норми рентабельності, слід також зазначити, що сьогодні дедалі частіше використовують модифіковану норму рентабельності (MIRR).

Модифікована норма рентабельності (MIRR) — значен­ня табульованого коефіцієнта дисконтування,за якого поточ­на вартість (PV) проекту дорівнює його кінцевій вартості, деостання перебуває як сума майбутніх вартостей грошових прибутків, компаудированих під вартість капіталу фірми.

Якщо заданий неперервний потік платежів р(t) при t [0; Т],

Тоді, якщо рівняння f(i) = 0 має єдиний додатній корінь, то це буде IRR за одиницю часу. Тобто задача приводиться до суто математичної – знаходження кореня рівняння f(i) = 0.

Якщо потік платежів заданий, то f(0) – недисконтована сумма нетто-платежів за термін проекту. Суто з єкономічної точки зору, необхідно відкинути усі значення f(0) ≤ 0 и розглядати випадок, коли f(0) > 0. При великих значеннях і отримаємо, що ,

де C0 - початкова інвестиція.

Теорема (достатня умова існування IRR):

Нехай t₀ < t₁ < … < t_n і , m= 1, 2, …, n. – загальна сумма усіх платежів від моменту 0 до t_m.

Тоді, якщо С0 ≠ 0 , С1 ≠ 0, і, якщо виключення нульових значень з інвестицій Сі, , має лише одну зміну знаку, то рівнянняf(i) = 0 має єдиний додатній корінь.

У разі, коли інвестиції здійснюються миттєво, а прибутки нараховуються регулярно у вигляді постійної обмеженої ренти постнумерандо NPVможна розрахувати так:

NPV = P * PVIFA (n ; r) – K = R*a_{n | i} – C₀.

PVIFA (n ; r) = a_{n | i} = коефіцієнт приведення постійної ренти (обчислюється по таблиці); K = C₀ - миттєві інвестиційні витрати; P - член потоку прибутків; r - ставка, приведення (дисконтування); n - тривалість періоду надходження доходу.

Тоді IRRобчислюється за формулою :

.

Для оцінки і застосовується інтерполяційна формула :

а_н, а_в – табличні значення коефіцієнтів нарощення (приведення) відповідно до верхньго та нижньго рівня ставок і_н та і_в , а – значення коефіцієнта приведення , для якого визначається розмір ставки.

Для оцінки інвестиційних проектів IRR частіше за всього порівнюють зі значенням показника СС (ціна капіталу).

Ціна (вартість) капіталу (Cost of Capital, СС) - загальна сума коштів, яку треба сплатити за використання певного об'єму фінансових ресурсів, виражена у відсотках до цього об'єму. Тобто вартість капіталу – це відношення суми коштів, яку треба сплатити за використання фінансових ресурсів з певного джерела, до загального об'єму засобів з цього джерела, виражене у відсотках.

Якщо джерело фінансування не ідентифіковане, то використовується показник WACC. Цей показник розраховується як середньоарифметична зважена величина вартості окремих елементів капіталу. "Вагами" кожного елементу виступає його питома вага в загальній сумі сформованого (використовуваного) або намічаного до формування капіталу.

де ССj - вартість (ціна) j -го джерела засобів; dj - питома вага j -го джерела засобів в загальній їх сумі (Σdj=1).

Отже , якщо : - IRR>CC, то проект варто прийняти, так як він забезпечує прибуток;

• IRR<CC , то від проекту необхідно відмовитись, оскільки він завдає збитків;

• IRR=CC, то проект не прибутковий, але й не збитковий.

З усього цього можна зробити висновок: не зважаючи на ті, з чим порівнюють IRR, проект може принести прибуток, лише, коли IRR більше деякій порогової величини. Чим більше IRR, тим проект прийнятніший.

5. Тестові приклади

Приклад 1.

Інвестор вкладає 20 ум. од. в момент часу 0, потім ще 8 ум. од. через 2 роки і отрумує прибуток через 5 років 40 ум. од. Знайти IRR проекту.

Розв’язок:

Рівняння вартості виглядає наступним чином:

f(i) = -20 +8 (1+i)^-2+40 (1+i)^-5 = 0.

Таблиця значень f(i) для різних процентних ставок :

i	0.00	0.02	0.04	0.06	0.07	0.08	0.09	0.01
f(i)	12	8.54	5.48	2.77	1.53	0.36	-0.74	-1.77

В силу достатньої умови існування IRR, рівняння має один додатній корінь. Так як f(0.08) > 0 і f(0.09) < 0, використаємо лінійну інтерполяцію з кроком 0.01:

Приклад 2.

Знайти IRR проекту, який розрахований на 4 роки. Спочатку в проект інвестується 15 ум.од. Грошові надходження за проектом 3, 4, 8і 7 ум. од.

Розв’язок:

Візьмемо два довільних значення і₁ = 0.1,i₂= 0.2.Розрахуємо для них

f(i) = -15 + 3 (1+i)^-1 + 4 (1+i)^-2 + 8 (1+i)^-3+ 7 (1+i)^-4.

i	0.1	0.2
f(i)	1.82	-1.72

0.1514

Приклад 3.

Інвестиційному проекту відповвідає таблиця поток платежів:

t	0	1	2	3	4
C(t)	-4	-2	4	-1	5

Знайти IRR.

Розв’язок

Таблиця нарощеного потока платежів за 4 роки :

T	0	1	2	3	4
C(t)	-4	-6	-2	-3	2

В силу достатньої умови існування IRR, рівняння має один додатній корінь

Застосувавши обчислене наближення , знайдемо, що при і₁ =0.10 та і₂ = 0.12 функція f(і) змінює знак. f(i₁) = 0.1514, f(i₂) = -0.1311. Обчислимо тепер значення IRR:

Приклад 4.

Інвестицій проект розрахован на 10 років. Початкова інвестиція 30 ум.од., інвестиція через 3 роки 10 ум.од. і 4 ум.од. через 7 років. Грошові надходження черз 5 років 20 ум.од., і в кінці проекту 40 ум.од. Проект також характеризується неперервним платежем в період з 2 по 10 рік: р(t) = 2, 2 ≤ t ≤ 10. Знайти IRR проекту.

Розв’язок

Рівняння вартості проектумає вигляд :

f(0)=-30-10+20-4+40+2*8 = 32.

Так як функція f(i) монотонно спадає, то рівняння f(i) =0 має єдиний корінь. Лінійна інтерполяція між f(0.08) та f(0.09) дає корінь IRR = 0.08245.

Приклад 5.

Оцінка ефективності інветицій в об‘єкт ЄВРО-2012 – НСК «Олімпійський»:

Націона́льний спорти́вний ко́мплекс «Олімпі́йський» (далі НСК) —універсальна спортивна споруда у Києві, головна спортивна арена України, один з найбільших стадіонів Європи. У2008—2011роках відбуваласьреконструкція стадіонуз метою підготовки до проведенняЧемпіонату Європи з футболу 2012 року. Під час реконструкції було затрачено 4590,32 млн грн (тут та далі – офіційні дані за проектно-кошторисною документацією). Дані інвестицій за роками у млн грн.:

2008	2009	2010	2011
247,36	605,7	1816,09	1921,17

Проект стадіону розрахований на період Т = 30 років.

Щорічні видатки на утримання стадіону, починаючи з 2012 р. – 13 млн грн.

Щорічні прибутки від проведення матчів ФК Динамо Київ, зб. України, концертів , виставок та ін. в 2012 р. – 200 млн грн, з 2013 року планують – 12 млн грн і щорічно збільшуватись на суму близько 0,5 млн грн.Дані щодо щорічних витрат на використання НСК та доходів за наведені оціночно згідно оптимістичної стратегії використання НСК.

Ставка дисконтування і = 12 %.

Значення ЧПВ вираховане за допомогою програми:

NPV = -3 080,78 млн грн.

Песимістична оцінка прибутків від НСК (витрати переважають доходи на 1 млн грн.):

NPV = -3218,43 млн грн.

Зрозуміло що в даній ситуації не може бути мови про окупністо проекту. Отже, проект стадіону НСК обійдеться країні у неймовірно веику кількість збитків (за найліпшим прогнозом, близько 3 млрд грн), доцільніше було би побудувати новий стадіон, це мінімум у 2 рази зменшило б витрати та залучити частину коштів приватних інвесторів.